Шпора по линалу и ангему. Семестр 1. Матрицы действия с матрицами
![]()
|
МАТРИЦЫ Действия с матрицами Умножение на число, сложение, вычитание, транспонирование, умножение ![]() Свойства ![]() 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Алгебраические дополнения и миноры Минор ![]() Алгебраическое дополнение ![]() Свойства определителей ∆ транспонированной матрицы = ∆ исходной матрицы Если поменять местами 2 строки/столбца, ∆ изменит знак Если ∆ содержит 2 одинаковые строки/столбца, то ∆=0 Если ∆ содержит нулевую строку/столбец, то ∆=0 Общий множитель в строке/столбце можно выносить за знак определителя ∆ не изменится, если к любой строке/столбцу прибавить (вычесть) любую другую строку/столбец, умноженную на любое число ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ∆≠0→матрица невырожденная Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица Свойства ![]() СЛАУ Система Совместная – имеет хотя бы 1 решение Несовметная – не имеет решений Определённая – имеет единственное решение Однородная – все свободные члены = 0 Неоднородная – есть свободные члены ≠ 0 Метод Крамера Число уравнений = числу переменных ![]() Ранг матрицы – наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличный от нуля. Теорема о базисном миноре: базисные строки/столбцы линейно независимы; любая строка/столбец матрицы А является линейной комбинацией базисных строк/столбцов. Условия совместности СЛАУ: Ранг основной матрицы < числа неизвестных: r < n ∆ = 0 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Декартовы Полярные ![]() Цилиндрические ![]() Сферические ![]() ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ ![]() ![]() ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА ![]() 6. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ Линейная комбинация векторов ![]() ![]() ![]() Линейно зависимые ![]() ![]() Линейно независимые ![]() ![]() Базис в пространстве – любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Направляющие косинусы ![]() ![]() ![]() Критерий коллинеарности векторов ![]() Деление отрезка в данном соотношении λ ![]() ![]() ![]() ![]() СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ![]() Свойства ![]() ![]() ![]() ![]() Угол между векторами ![]() ![]() Проекция вектора на ось ![]() ![]() Условие ортогональности векторов ![]() ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ![]() Свойства ![]() Вычисление векторного произведения ![]() Условие коллинеарности векторов ![]() СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ![]() ![]() Свойства ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Правая тройка→ ![]() Левая тройка→ ![]() Вычисление смешанного произведения ![]() Условие компланарности векторов ![]() ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ![]() КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Алгебраическая форма комплексных чисел ![]() Тригонометрическая форма комплексных чисел ![]() Показательная форма комплексных чисел ![]() ![]() Степень комплексного числа ![]() Корень n-ной степени из комплексного числа ![]() 11. ПЛОСКОСТЬ Общее уравнение плоскости ![]() ![]() ![]() Уравнение плоскости в отрезках ![]() Нормальное уравнение плоскости ![]() Нормирующий множитель ![]() Расстояние от точки до плоскости ![]() Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки ![]() Взаимное расположение плоскостей Совпадают: ![]() Параллельны: ![]() Перпендикулярны: ![]() Угол между 2 плоскостями ![]() 12. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Канонические уравнения прямой ![]() ![]() Параметрические уравнения прямой ![]() Прямая как линия пересечения 2-х плоскостей ![]() Взаимное расположение прямой и плоскости Подставим в уравнение плоскости ![]() ![]() ![]() Угол между прямой и плоскостью ![]() ![]() ![]() Расстояние от точки до прямой ![]() ![]() ![]() Взаимное расположение прямых : ![]() ![]() Или ![]() ![]() Угол между 2 прямыми ![]() 13. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Виды уравнений прямой на плоскости Общее ![]() ![]() Каноническое ![]() ![]() Параметрическое ![]() С угловым коэффициентом ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В отрезках ![]() Нормальное ![]() Нормирующий множитель ![]() В полярной системе координат ![]() Взаимное расположение прямых на плоскости 1)совпадают: ![]() 2)параллельны: ![]() 3)перпендикулярны: ![]() 4)пересекаются: ![]() Уравнение прямой проходящей через 2 данные точки ![]() Расстояние от точки до прямой ![]() Угол между 2 прямыми на плоскости ![]() 14. Кривые второго порядка ![]() Вырожденные кривые: пустое множество, точка, прямая, пара прямых. Невырожденные кривые: эллипс, гипербола, парабола. Эллипс – ГМТ точек М на плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек ![]() ![]() ![]() ![]() Эксцентриситет ![]() ![]() Директрисы ![]() Отношение расстояния r от точки эллипса до фокуса к расстоянию d до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету: ![]() Оптическое свойство: лучи света, вышедшие из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса соберутся в другом фокусе. Гипербола – ГМТ М на плоскости, модуль расстояний от которых до двух фиксированных точек ![]() ![]() ![]() ![]() Эксцентриситет ![]() ![]() Директрисы ![]() Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние от точки М(х,у) гиперболы до этой прямой стремится к 0 при х → ± бесконечность. Асимптоты гиперболы ![]() Отношение расстояния r от точки гиперболы до фокуса к расстоянию d до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету: ![]() Оптическое свойство: лучи света, вышедшие из одного фокуса гиперболы, после отражения от ближайшей ветви гиперболы распространяются так, будто вышли из другого фокуса. Парабола – ГМТ плоскости, равноудалённых от фиксированной точки плоскости (фокуса) и фиксированной прямой плоскости (директрисы). ![]() ![]() ![]() Оптическое свойство: лучи света, вышедшие из фокуса параболы, после отражения от параболыпараллельны оси параболы. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ Параллельный перенос ![]() ![]() Поворот осей координат ![]() ![]() 17. ИНВАРИАНТЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() Если ![]() ![]() Если ![]() Если ![]() Если ![]() Если ![]() Если ![]() ![]() Если ![]() ![]() Если ![]() ![]() 18. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ![]() Вырожденные поверхности: пустое множество, точка, прямая, плоскость, пара плоскостей Невырожденные поверхности: Сфера ![]() ![]() Эллипсоид ![]() Однополостный гиперболоид ![]() Двуполостный гиперболоид ![]() Конус второго порядка ![]() Эллиптический параболоид ![]() Гиперболический параболоид ![]() Эллиптический цилиндр ![]() Гиперболический цилиндр ![]() Параболический цилиндр ![]() Метод сечений z=h, x/y=h
19. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Множество R элементов x, y, z … любой природы называется линейным (аффинным) пространством, если выполнены следующие три требования: 1.Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие третий элемент, называемый суммой этих элементов. 2.Имеется правило, посредством которого любому элементу х множества R и любому вещественному числу λ cтавится в соответствие элемент u этого множества, называемый произведением элемента х на число λ. 3.Указанные правила подчинены восьми аксиомам: ![]() Свойства ![]() ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Вещественное линейное пространство R называется вещественным евклидовым пространством, если выполнены следующие два требования: Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов. Указанные правила подчинены четырём аксиомам: ![]() Свойства: ![]() ![]() |