мат операции матрицы. Решение а Найдем координаты векторов Найдем смешанное произведение Значит, векторы линейно независимы и образуют базис
![]()
|
1. В декартовой прямоугольной системе координат даны координаты вершин пирамиды ABCD. Постройте чертеж и решите следующие задачи: а) докажите, что система векторов ![]() б) постройте вектор ![]() ![]() в) найдите длину ребра AB; г) вычислите величину угла между ребрами AB и AC; д) напишите уравнение прямой АВ; е) составьте уравнение плоскости АВС; ж) напишите уравнение высоты, опущенной из вершины D на плоскость АВС. A (1,-1,0), B (2,3,1),C (-1,1,1),D (4,-3,5). Решение а) Найдем координаты векторов: ![]() Найдем смешанное произведение ![]() Значит, векторы линейно независимы и образуют базис. б) Координаты точек ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() Подставим координаты: ![]() Составим и решим систему уравнений ![]() Решаем систему методом Крамера. Основной определитель системы: ∆ = 1 (2 10-2 (-2)) - 4 ( (-2) 10-2 3) +2 ( (-2) (-2) - 2 3) = 124 Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. ∆1 = (-1) 1 + 1a11∆11 + (-1) 2 + 1a21∆21 + (-1) 3 + 1a31∆31 = = (-2) (2 10-2 (-2)) - 4 ( (-2) 10-2 3) + (-3) ( (-2) (-2) - 2 3) = 62 ![]() Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. ∆2 = (-1) 1 + 1a11∆11 + (-1) 2 + 1a21∆21 + (-1) 3 + 1a31∆31 = 1 (4 10- (-3) (-2)) - 4 ( (-2) 10- (-3) 3) +2 ( (-2) (-2) - 4 3) = 62 , ![]() Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. ∆3 = (-1) 1 + 1a11∆11 + (-1) 2 + 1a21∆21 + (-1) 3 + 1a31∆31 = = 1 (2 (-3) - 2 4) - 4 ( (-2) (-3) - 2 (-2)) +2 ( (-2) 4-2 (-2)) = - 62 ![]() Выпишем отдельно найденные переменные Х - новые координаты ![]() ![]() ![]() ![]() в) длина ребра AB; ![]() г) величина угла между ребрами AB и AC Координаты векторов: ![]() ![]() д) напишите уравнение прямой АВ ![]() ![]() е) составьте уравнение плоскости АВС; Составим определитель ![]() ![]() Раскрываем определитель по первой строке. ![]() Уравнение плоскости АВС: ![]() ж) уравнение высоты, опущенной из вершины D на плоскость АВС Нормальный вектор плоскости АВС ![]() Уравнение прямой ![]() ![]() . Для матриц А и В выполните следующие операции А) ![]() Б) ![]() В) ![]() Г) ![]() Д) ![]() где n - любое натуральное число. . ![]() Решение ![]() ![]() ![]() Б) ![]() ![]() Главный определитель ∆=23 (139- (-2027)) - (-15 (-1339- (-2022))) +24 (-1327-122) =3360 Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу. Обратная матрица будет иметь следующий вид: ![]() где Aij - алгебраические дополнения. Транспонированная матрица Найдем алгебраические дополнения матрицы AT. ∆1,1= (139-27 (-20)) =579 ∆1,2=- (-1339-22 (-20)) =67 ∆1,3= (-1327-221) =-373 ∆2,1=- (-1539-2724) =1233 ∆2,2= (2339-2224) =369 ∆2,3=- (2327-22 (-15)) =-951 ∆3,1= (-15 (-20) - 124) =276 ∆3,2=- (23 (-20) - (-1324)) =148 ∆3,3= (231- (-13 (-15))) =-172 Обратная матрица. ![]() Для матриц А и В найдем обратные ![]() Главный определитель ∆=1 (62-0 (-1)) - 4 (-22-03) +7 (-2 (-1) - 63) =-84 Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A-1. Транспонированная матрица. Найдем алгебраические дополнения матрицы AT. ∆1,1= (62- (-10)) =12 ∆1,2=- (-22-30) =4 ∆1,3= (-2 (-1) - 36) =-16 ∆2,1=- (42- (-17)) =-15 ∆2,2= (12-37) =-19 ∆2,3=- (1 (-1) - 34) =13 ∆3,1= (40-67) =-42 ∆3,2=- (10- (-27)) =-14 операция матрица пирамида ребро ∆3,3= (16- (-24)) =14 Обратная матрица. ![]() ![]() Главный определитель ∆=2 (19- (-34)) - (-3 (-29- (-33))) +5 (-24-13) =-40 Обратная матрица будет иметь следующий вид: где Aij - алгебраические дополнения. Транспонированная матрица. Найдем алгебраические дополнения матрицы AT. ∆1,1= (19-4 (-3)) =21 ∆1,2=- (-29-3 (-3)) =9 ∆1,3= (-24-31) =-11 ∆2,1=- (-39-45) =47 ∆2,2= (29-35) =3 ∆2,3=- (24-3 (-3)) =-17 ∆3,1= (-3 (-3) - 15) =4 ∆3,2=- (2 (-3) - (-25)) =-4 ∆3,3= (21- (-2 (-3))) =-4 Обратная матрица. ![]() ![]() В) ![]() ![]() Г) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Д) ![]() где n - любое натуральное число. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() . Решить матричное уравнение ![]() . ![]() Решение Домножим слева на обратную матрицу к А ![]() Главный определитель матрицы А ∆=1 (62-0 (-1)) - 4 (-22-03) +7 (-2 (-1) - 63) =-84 Обратная матрица будет иметь следующий вид: где Aij - алгебраические дополнения. Транспонированная матрица. Найдем алгебраические дополнения матрицы AT. ∆1,1= (62- (-10)) =12 ∆1,2=- (-22-30) =4 ∆1,3= (-2 (-1) - 36) =-16 ∆2,1=- (42- (-17)) =-15 ∆2,2= (12-37) =-19 ∆2,3=- (1 (-1) - 34) =13 ∆3,1= (40-67) =-42 ∆3,2=- (10- (-27)) =-14 ∆3,3= (16- (-24)) =14 Обратная матрица. ![]() . Решить систему линейных уравнений матричным методом и методом Крамера: . ![]() Решение Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю. Определитель: ∆ = 2 (2 (-1) - 1 (-1)) - 1 (1 (-1) - 1 1) + (-1) (1 (-1) - 2 1) = 3 Заменим 1-ый столбец матрицы на вектор результата.
Найдем определитель полученной матрицы. ∆1 = (-1) 1 + 1a11∆11 + (-1) 2 + 1a21∆21 + (-1) 3 + 1a31∆31 = = 1 (2 (-1) - 1 (-1)) - (-4) (1 (-1) - 1 1) + (-4) (1 (-1) - 2 1) = 3 ![]() Заменим 2-ый столбец матрицы на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. ∆2 = (-1) 1 + 1a11∆11 + (-1) 2 + 1a21∆21 + (-1) 3 + 1a31∆31 = =2 ( (-4) (-1) - (-4) (-1)) - 1 (1 (-1) - (-4) 1) + (-1) (1 (-1) - (-4) 1) = - 6 ![]() Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. ∆3 = (-1) 1 + 1a11∆11 + (-1) 2 + 1a21∆21 + (-1) 3 + 1a31∆31 = =2 (2 (-4) - 1 (-4)) - 1 (1 (-4) - 1 1) + (-1) (1 (-4) - 2 1) = 3 ![]() Решение системы: ![]() Проверка: +1 (-2) +11 = 1 11+2 (-2) - 11 = - 4 -11+1 (-2) - 11 = - 4 . Исследовать и решить системы линейных уравнений методом Гаусса: . ![]() ![]() ![]() Решение ) ![]() Работаем со столбцом №1 Добавим 3-ю строку к 2-й:
Умножим 1-ю строку на (k = 1/3 = 1/3) и добавим к 2-й:
Работаем со столбцом №2 Умножим 2-ю строку на (k = - 2/2/3 = - 3) и добавим к 3-й:
Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:
Теперь исходную систему можно записать как: x= - 2/3 - ( - 4/3y + 1/3z) = - 2/3 +4/3y - 1/3z y = - 1 - ( - z) = - 1+z -ая строка является линейной комбинацией других строк. Необходимо переменную z принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные. ![]() Общее решение ![]() ) ![]() Запишем систему в виде расширенной матрицы:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Работаем со столбцом №1 Умножим 2-ю строку на (k = 1/2 = 1/2) и добавим к 3-й:
Умножим 1-ю строку на (k = - 2/3 = - 2/3) и добавим к 2-й:
Работаем со столбцом №2 Умножим 2-ю строку на (k = - 1/2/3 = - 3/2) и добавим к 3-й:
Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:
Ранг основной матрицы системы равен r (A) =2. Ранг расширенной матрицы равен r=3 (в основной матрице системы имеется нулевая строка). Таким образом, система не имеет решения. 3) ![]() Запишем систему в виде расширенной матрицы:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Работаем со столбцом №1 Умножим 2-ю строку на (k = 1/2 = 1/2) и добавим к 3-й:
Умножим 1-ю строку на (k = - 2/3 = - 2/3) и добавим к 2-й:
Работаем со столбцом №2 Умножим 2-ю строку на (k = - 1/2/3 = - 3/2) и добавим к 3-й:
Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:
Теперь исходную систему можно записать как: x= - 2/3 - ( - 4/3y + 1/3z) y = - 1 - ( - z) Необходимо переменную z принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные. ![]() Общее решение ![]() |