математика. Решение а) уравнение стороны ав расстояние d между точками M1(x1 y1) и M2(x2 y2) определяется по формуле
 Скачать 113.83 Kb.
|
|
Задание 1. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты CD, опущенной из вершины С на сторону АВ; в) уравнение медианы АЕ; г) длину медианы АЕ. А(1;1), В(4,13), С(10,5) Решение: а) уравнение стороны АВ Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле: d = (x2-x1)2 + (y2-y1)2 |AB| = (4-1)2 + (13-1)2 = 32 + 122 = 153 = 12.37 б) уравнение высоты CD, опущенной из вершины С на сторону АВ Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: x - x0A = y - y0B Найдем уравнение высоты через вершину С x - 14 = y - 13 y = 3/4x + 1/4 или 4y -3x - 1 = 0 Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой CD. D(217/25;169/25) Найдем уравнение высоты через вершину B x - 4-4 = y - 139 y = -9/4x + 22 или 4y +9x -88 = 0 Найдем точку пересечения высот. Имеем систему из двух уравнений: 4y -3x - 1 = 0 4y +9x -88 = 0 Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение. Получаем: x = 29/4 y = 91/16 в) уравнение медианы АЕ Уравнение медианы AE найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(1;1) и E (7;9), поэтому: Каноническое уравнение прямой: x - 17 - 1 = y - 19 - 1 или x - 16 = y - 18 или y = 4/3x -1/3 или 3y -4x +1 = 0 г) длину медианы АЕ Найдем длину медианы. Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой: |R| = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 |AE| = (7 - 1)2 + (9 - 1)2 = 62 + 82 = 100 = 10 Обозначим середину стороны AC буквой E. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. xm = xA + xC2 = 1 + 102 = 11/2 ym = yA + yC2 = 1 + 52 = 3 M(11/2;3) Задание 2. По графику технического обслуживания бригад техников заменили видов реле. Матрица задает количество замененных реле каждой бригадой в первом квартале, матрица – соответственно во втором; – количество замененных реле -го типа -й бригадой в 1-м и 2-м кварталах соответственно. Найти: а) количество замененных реле за полгода; б) прирост количества замененных реле во втором квартале по сравнению с первым по видам реле и бригадам. Проинтерпретировать результат.  ,  Решение: Матричное уравнение запишется в виде: A·X = B. Вычислим определитель матрицы А: Минор для (1,1): Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = 2*(4* - 1*) - 1*(4* - 1*) + 3*(4* - 4*) = 0 Минор для (2,1): Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = 1*(4* - 1*) - 1*(7* - 1*) + 3*(7* - 4*) = 0 Минор для (3,1): Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = 1*(4* - 1*) - 2*(7* - 1*) + 3*(7* - 4*) = 0 Минор для (4,1): Найдем определитель для этого минора. ∆4,1 = 1*(4* - 4*) - 2*(7* - 4*) + 1*(7* - 4*) = 0 ∆ = 6*0-7*0+5*0-8*0 = 0 Определитель матрицы А равен detA=0 Так как A вырожденная матрица (определитель равен 0), следовательно уравнение решения не имеет. Задание 3. Найти производные указанных функций. а)  б) в) Решение: а) = Ответ: б) Решение: Здесь: Ответ: 5·x4·ln(x)+x4 в) Решение: = (sin(x))ʹ = cos(x) Ответ: Задание 4. Исследовать данную функцию на экстремум и построить её график. Исследование предусматривает нахождение точек экстремума, интервалов возрастания и убывания функции, точек перегиба графика функции и определение интервалов выпуклости и вогнутости графика.  Решение: 1) Область определения функции. Точки разрыва функции. 2) Четность или нечетность функции. Функция общего вида 3) Периодичность функции. 4) Точки пересечения кривой с осями координат. Пересечение с осью 0Y x=0, y=-6 Пересечение с осью 0X y=0 Нет пересечений. 5) Исследование на экстремум. y = -1/4*x^(3)+9/8*x^(2)+3*x-6 1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная. Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю -3·x2+9·x+12 = 0 Откуда: x1 = -1 x2 = 4
В окрестности точки x = -1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = -1 - точка минимума. В окрестности точки x = 4 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 4 - точка максимума. 2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная. Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю. Откуда точки перегиба: x1 = 3/2
6) Асимптоты кривой. Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: Находим коэффициент k: = Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.  Задание 5. Решите задачу Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть на 10 см пружину, если известно, что для удлинения ее на 1 см необходимо приложить силу в 1 кН. Решение: Согласно закону Гука, сила |