Решение а Запишем ряд с общим членом

• Название: Решение а Запишем ряд с общим членом
• Дата: 24.05.2023
• Размер: 138.92 Kb.
• Имя файла: 121212.docx
• Тип: Решение; #1157704

1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимости:

а)

б)

Решение:

а) Запишем ряд с общим членом:

Применением интегральный признака Коши. Функция - не отрицательна при и монотонно убывает, тогда

- т.е. интеграл расходится. Тогда по интегральному признаку Коши расходится и ряд .

б) Запишем ряд с общим членом: .

Исследуем данный ряд с помощью признака Даламбера. Здесь , . Применяем признак Даламбера:



Получили . По признаку Даламбера ряд сходится.

Ответ: а) расходится; б) сходится.
3. Найти область сходимости рядов:



Решение:

По признаку Даламбера ряд сходится, если , где - общий член ряда.

Тогда



Из последнего следует, что

Таким образом интеграл сходимости: .

*** При , получаем числовой знакоположительный ряд который расходится, так как по интегральному признаку Коши расходится и интеграл:

.
*** При , получаем числовой знакочередующийся ряд который сходится условно, так как ряд из модулей расходится: . А ряд сходится по признаку Лебница, общий член ряда по абсолютному значению стремится к нулю, причем монотонно:

.

Таким образом, область сходимости первоначального ряда будет: .

Ответ: - область сходимости ряда.

4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням : .

Решение:

Ряд Тейлора по степеням :

Вычисляем

;



и т.д.

Получаем разложение



Ответ:
5. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение:

Воспользуемся известным разложением в ряд Тейлора функции ,

.

Тогда

Полученный числовой ряд есть ряд знакочередующийся, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница. Следовательно, чтобы вычислить требуемое значение с точностью , достаточно взять всего три члена ряда, при этом ошибка будет меньше 4-го члена:

.

Таким образом, с требуемой точностью



Ответ: .

6. Взяв три члена разложения в степенной ряд подынтегральной функции, вычислить

.

Оценить погрешность полученного результата.

Решение:

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, для этого в основное разложение косинуса взяв три члена ряда, разделив каждое слагаемое на получим разложение подынтегральной функции:

.

Этот ряд можно интегрировать в любых конечных пределах, т.е.



. Для оценки погрешности используем признак Лейбница:

.

Ответ: , .
7. Решить дифференциальное уравнение

.

Определить три ненулевых члена разложения в ряд решения.

Решение:

Ищем решение этой задачи Коши в виде ряда Маклорена:



По условию , далее поочередно вычисляем:

;

;

и т.д.

Таким образом получаем разложение в степенной ряд:



Ответ:
8. Разложить в ряд Фурье функцию

.

Решение:

Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке по формуле

, где ,



У нас , тогда






Таким образом, имеем следующее разложение функции:



Ответ: .
377. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной кривой

, с осью и прямой .

Решение:

Координаты центра тяжести однородной плоской фигуры найдем по формулам:

.

Изобразим область интегрирования:



При изменении значения от 0 до 4, значения меняются от 0 до . Вычислим двойные интегралы перейдя к повторным:

;

;

.

Находим координаты центра тяжести:



- координаты центра тяжести.

Ответ: .