Курсовая. Трипузова К.Д. 2 курс, МО. Приближенное решение алгебр. Решение алгебраических уравнений. 1 Метод хорд или способ линейной интерполяции
![]()
|
Содержание 1. Введение. 2. Приближённое решение алгебраических уравнений. 2.1 Метод хорд или способ линейной интерполяции. 2.2 Метод касательных или способ Ньютона. 2.3 Комбинированный метод. Комбинированное применение способов хорд и касательных. 3. Заключение. 4. Список литературы. Введение. Известно, что квадратные уравнения решали уже и в античной Греции, но способы решения алгебраических уравнений третьей и четвертой степени были открыты только в XVI веке. Эти традиционные методы дают точные значения корней и выражают их через коэффициенты уравнения с помощью радикалов всевозможных степеней. Впрочем, эти способы приводят к долгим и громоздким вычислениям и вследствие этого почти не имеют практической ценности. Что касается алгебраических уравнений пятой и высших степеней: доказано, что в общем случае их решения не выражаются через коэффициенты с помощью радикалов. Впрочем, это не значит, что в науке нет методов решения уравнений высших степеней. Существует большое количество методик приближенного решения уравнений – алгебраических и неалгебраических (иначе – трансцендентных), которые позволяют вычислять их корни с любой степенью точности, подходящей для конкретных практических целей. К примеру, при помощи графика или же каким- либо другим способом, как правило, удается установить приближенные значения корней. Это позволяет для всякого корня получить грубые приближения по недостатку и по избытку. Таких грубых приближений часто бывает достаточно, чтобы, отталкиваясь от них, получить в итоге все значения корня с той точностью, которая потребуется. Об этом и пойдет речь. Приближенное решение алгебраических уравнений. Рассмотрим некоторые методы численного решения уравнений вида f(x) = 0, где f(x) – заданная алгебраическая или трансцендентная функция действительного аргумента x; в первом случае уравнение называется алгебраическим, во втором – трансцендентным. Не каждое уравнение удается решить точно, и, прежде всего, это относится к большинству трансцендентных уравнений. Известно также, что нельзя точно решить произвольное алгебраическое уравнение пятой степени и выше. Но, поскольку точное решение уравнения в большинстве случаев не требуется, считают, что задача отыскания корней решена, если их значения определены с требуемой степенью точности. Поставленная задача выглядит следующим образом: Дано уравнение f(x) = 0, где f(x) – непрерывная функция в некоторой области. Корни этого уравнения x* - значения аргумента x, которые обращают уравнение в верное равенство. Найти приближенное значение корня x* с точностью ε означает указать интервал длиной не более ε, содержащий точное значение корня x. Чтобы найти приближенные значения корней уравнения нужно решить две задачи: 1)отделение корней, т.е. выделение интервалов из области непрерывности функции, в каждом из которых заключен только один корень уравнения; 2)уточнение корня, т.е. построение итерационного процесса, позволяющего сузить границы выделенного интервала до значения заданной точности. 2.1.Метод хорд или способ линейной интерполяции. Этот метод нахождения простых корней широко применяется при решении конечных уравнений. Другие названия рассматриваемого метода: метод ложного положения, метод линейной аппроксимации, метод пропорциональных частей, метод секущих. Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке ![]() Пусть дано уравнение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Существуют четыре случая расположения дуги кривой, учитывая значения первой и второй производных: прил.1, прил.2. Рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т.е. ![]() Пусть, например, ![]() ![]() ![]() ![]() Уравнение хорды, проходящей через точки А0 и В имеет вид: ![]() а абсцисса ее точки пересечения x1=c с осью Ox (т.е. когда ![]() ![]() Очевидно, что точка x1=c обязательно окажется внутри отрезка ![]() ![]() Точка x1=c будет тем ближе к некому корню ![]() ![]() ![]() ![]() Замечание Хорда всегда расположена со стороны вогнутости дуги графика и, как видно из приведенных выше рисунков, точки x1=c всегда ближе точки x0 к тому концу отрезка ![]() ![]() Пример 1 Методом хорд уточнить корень уравнения ![]() ![]() Решение Имеем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отметим, что приближенное значение с взято с недостатком, т.к. с ![]() Если значение приближенного корня x1 не устраивает, его можно уточнить, применяя метод хорд к отрезку ![]() ![]() Продолжая этот процесс, находим: ![]() ![]() Процесс продолжается до тех пор, пока не получим приближенный корень с заданной степенью точности. По приведенным выше формулам вычисляются корни и для случая, когда ![]() Теперь рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. ![]() Пусть, например, ![]() ![]() ![]() Найдем x1 как точку пересечения хорды с осью Ox, полагая y=0: ![]() Корень теперь заключен внутри подотрезка ![]() Применяя метод хорд к отрезку ![]() ![]() ![]() По этим же формулам находится приближенное значение корня и для случая, когда ![]() С учетом сделанного выше отметим, что выбор тех или иных формул метода хорд обуславливается правилом – неподвижным концом отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком ее второй производной. Так, если ![]() ![]() При оценке погрешности приближения пользуются формулой: ![]() ![]() ![]() ![]() Эта формула применима, если выполнено условие ![]() ![]() Пример 2 Методом хорд уточнить до ![]() ![]() Решение Проверим выполнимость условия ![]() ![]() ![]() ![]() Возьмем середину отрезка [-3,-2], т.е. точку x=-2,5, и выберем интервал [-3,-2,5]. Снова проверим условие ![]() ![]() ![]() Теперь возьмем середину отрезка [-3,-2,5], т. е. точку x=-2,75. На суженном отрезке [-2,75;-2,5] сохраняется условие монотонности функции (условие ![]() ![]() Таким образом, для оценки погрешности корня, лежащего на отрезке [-2,75;-2,5], можно пользоваться формулой ![]() ![]() Определим знак второй производной f’’(x) и установим, какой конец отрезка будет неподвижным при использовании метода хорд. Находим f’’(x)=6x+6 и ![]() ![]() ![]() где a=-2,75; f(a)=-1,1019. Если последнее выражение представить в виде: ![]() ![]() Все результаты сведем в таблицу: прил.3 Из этой таблицы следует, что ![]() ![]() 2.2 Метод касательных или способ Ньютона. Пусть корень уравнения ![]() ![]() ![]() Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой ![]() Рассмотрим два случая: а) ![]() ![]() (прил.4) Проведем касательную к кривой ![]() ![]() Поскольку в нашем случае y=0, x=x1,то получаем: ![]() Теперь корень уравнения находится на отрезке [a,x1]. Применяя снова метод Ньютона, проведем касательную к кривой в точке B1 (x1,f(x1)) получим: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() б)Пусть ![]() ![]() (прил.5) Если снова провести касательную к кривой ![]() ![]() ![]() Поскоку y=0, x=x1,то получаем: ![]() Очевидно, корень ![]() ![]() ![]() Итак, получив последовательность ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Анализ полученных формул в случае а) и в случае б) приводит к следующему правилу выбора начального приближения ![]() ![]() -за исходную точку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Примечание Для оценки погрешности приближенного значения корня ![]() ![]() ![]() В том случае, когда отрезок ![]() ![]() ![]() ![]() Если производная f’(x) мало меняется на отрезке ![]() ![]() ![]() Пример 1 Методом касательных уточнить до ![]() ![]() Решение Имеем : f(-2,75)=-2,753+3*2,752-3<0, f’’(x)=6x+6<0, ![]() ![]() Это означает, что вычисления надо вести по формуле ![]() Для удобства все вычисленное сведем в таблицу: (прил.6) Из этой таблицы следует, что ![]() ![]() 2.3 Комбинированный метод. Комбинированное применение способов хорд и касательных. Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, и уточнение корня происходит быстрее. Пусть дано уравнение ![]() ![]() ![]() Если ![]() Если же ![]() Однако, во всех случаях искомый корень ![]() выполняется неравенство: ![]() ![]() ![]() Вычисления следует вести в таком порядке: -если ![]() ![]() ![]() Поскольку теперь искомый корень ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() -если же ![]() ![]() ![]() Комбинированный метод очень удобен при оценке погрешности вычислений. Процесс вычислений прекращается, как только станет выполняться неравенство: ![]() За приближенное значение корня следует принять ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 1 Комбинированным методом хорд и касательных уточнить до ![]() ![]() Решение отделим корни аналитически. Имеем: ![]() ![]() Составим таблицу знаков функции: (прил.9) Данное уравнение имеет три действительных корня: ![]() Уменьшим промежутки нахождения корней до длины, равной 1: (прил. 10) Итак, ![]() 2)уточним комбинированным методом хорд и касательных корень, лежащий в интервале (-7;-6). Имеем f(-7)=-27<0, f(-6)=37>0 и ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() сведем в таблицу: (прил.11) Из таблицы следует, что ![]() 3) Определим ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4) Для уточнения приближенного корня комбинированным методом хорд и касательных на интервале (3;4) имеем: f(3)=-17<0, f(4)=7>0 и ![]() ![]() ![]() Расчетные формулы в этом случае следующие: ![]() ![]() ![]() Приложения Прил.1 ![]() Прил.2 ![]() Прил.3
Прил.4 ![]() Прил.5 ![]() Прил.6
Прил.7 ![]() Прил.8 ![]() Прил.9
Прил.10
Прил.11 ![]() |