Диффуры. Вариант№9. Решение дифференциального уравнения

• Название: Решение дифференциального уравнения
• Анкор: Диффуры
• Дата: 26.11.2021
• Размер: 50.58 Kb.
• Имя файла: Вариант№9.docx
• Тип: Решение; #283016

Вариант №9

Задание №339

Найти общее решение дифференциального уравнения:



Решение:

Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка допускающее понижение порядка. Так как в уравнение явно не входит функция , то выполним замену переменной:







Это уравнение Бернулли. Умножим обе части уравнения на (при этом не является решением уравнения)



Выполним замену:





Получили линейное неоднородное уравнение первого порядка. Его решение будем искать в виде:







Выберем функцию таким образом, чтобы выражение в скобках равнялось нулю:



Интегрируем обе части уравнения:



Выберем частное решение при



Подставим данное значение в уравнение (*):









Выполним замену переменной:







Задание №349

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:



Решение:

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдем общее решение однородного уравнения:



Составим и решим характеристическое уравнение:





Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, поэтому общее решение однородного уравнения запишем в виде:



Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения является функцией специального вида с характеристическим числом не совпадающим с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:







Подставим найденные значения в исходное уравнение:









Общее решение уравнения запишем в виде:



Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:







Частное решение уравнения:



Задание №369

Точка массой движется прямолинейно; на нее действует сила, пропорциональная времени, протекшему от момента, когда скорость равнялась нулю (коэффициент пропорциональности равен 2). Кроме того, точка испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости (коэффициент пропорциональности равен 3). Найти скорость в момент сек

Решение:

Используем формулу:







Учитывая, что , получаем линейное неоднородное уравнение:



Найдем общее решение однородного уравнения:





Интегрируем обе части уравнения:





Решение неоднородного уравнения будем искать в виде:



Подставим данные значения в неоднородное уравнение:











Найдем частное решение:



Частное решение:





Задание №379

Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж фигуры.



Решение:

Площадь фигуры найдем по формуле:



Построим область и опишем ее с помощью системы неравенств:



Найдем точки пересечения графиков функций:











Используем значение табличного интеграла:





Задание №429

Исследовать сходимость числового ряда:



Решение:

Это числовой знакоположительный ряд. Для его сходимости применим признак Даламбера:







По признаку Даламбера ряд сходится.

Задание №439

Найти интервал сходимости степенного ряда:



Решение:

Радиус сходимости степенного ряда найдем по формуле:



Ряд сходится абсолютно на интервале (-1;1)

Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:





Общий член ряда по модулю не стремится к нулю, поэтому по признаку Лейбница ряд сходится





Не выполняется обязательный признак сходимости. Общий член ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится.



Задание №469

Функция задана в интервале (0;2). Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале (-2;2) продолжив ее в интервал (-2;0) четно.

Решение:

Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде имеет вид:





Продолжим функцию четным образом:



Тогда коэффициент







Применим формулу интегрирования по частям:









В итоге получаем: