Контрольная работа интегралы Вариант 1. Решение. Для вычисления данного интеграла сделаем замену. После подстановки в интеграл получим Решение

• Название: Решение. Для вычисления данного интеграла сделаем замену. После подстановки в интеграл получим Решение
• Анкор: Контрольная работа интегралы Вариант 1
• Дата: 26.11.2022
• Размер: 254 Kb.
• Имя файла: Контрольная работа интегралы Вариант 1.doc
• Тип: Решение; #813184

Контрольная работа 1
Вариант №1

Найти неопределённые интегралы

1. ;

Решение.

Для вычисления данного интеграла сделаем замену .

После подстановки в интеграл получим:



2. ;

Решение.

Для вычисления данного интеграла преобразуем подынтегральную функцию и применим подстановку .

После подстановки в интеграл получим:



3. ;

Решение.

Для вычисления данного интеграла применим подстановку .

После подстановки в интеграл получим:



4. ;

Решение.

Для вычисления данного интеграла применим подстановку .

После подстановки в интеграл получим:



5. ;

Решение.

Применим формулу интегрирования по частям .



6. ;

Решение.

Для вычисления данного интеграла необходимо сделать замену .

После подстановки в интеграл получим:



7. ;

Решение.

Применим подстановку . Получим



8. ;

Решение.

Применим формулу синуса двойного угла:



9. .

Решение.

Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей:



Коэффициенты найдем из условия:

.

Приравняем коэффициенты с одинаковыми степенями при x:

откуда

Таким образом,



Вычислить определённые интегралы

10. ;

Применим формулу интегрирования по частям .



Ответ: .

11. .

Применим тригонометрическую формулу произведения косинуса на синус:



Ответ: .


Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость

12. ;

Решение.

Это несобственный интеграл I рода (с бесконечным пределом интегрирования). Согласно определению несобственного интеграла I рода



имеем



Ответ: интеграл расходится.

13. .

Это несобственный интеграл II рода. Согласно определению несобственного интеграла II рода



имеем

.

Данный интеграл сходится.

Ответ: интеграл сходится.

Выяснить сходимость несобственных интегралов

14. ;

Решение.

Так как на промежутке имеет место неравенство: , то имеем сопоставление интегралов в виде частного и общего признаков сравнения: .

.

Поскольку интеграл в правой части неравенства сходится, то исследуемый интеграл тоже сходится согласно общему признаку сравнения несобственных интегралов.

Ответ: интеграл сходится.

15. .

Так как при : , то имеем сопоставление интегралов в виде частного и общего признаков сравнения: .



Поскольку данный интеграл расходится, то исследуемый интеграл тоже расходится согласно общему признаку сравнения несобственных интегралов.

Ответ: интеграл расходится.

16. Найти площадь области, ограниченной кривыми



Решение.

Координаты точек пересечения линий находим из системы:



Отсюда: и .

Строим заданные линии на плоскости ХOУ.

Составляем определенный интеграл:



где – линия, ограничивающая область сверху; – линия, ограничивающая область снизу; – наименьшее значение переменной x в области; – наибольшее значение переменной x в области.


Искомая площадь:



Ответ. кв.ед.

17. Найти длину дуги кривой

.

Решение.

Длина дуги кривой заданной параметрическими уравнениями находится по формуле:

.

Находим: , , .

Получаем:

Ответ: .