Контрольная работа интегралы Вариант 1. Решение. Для вычисления данного интеграла сделаем замену. После подстановки в интеграл получим Решение
![]()
|
Контрольная работа 1 Вариант №1 Найти неопределённые интегралы 1. ![]() Решение. Для вычисления данного интеграла сделаем замену ![]() После подстановки в интеграл получим: ![]() 2. ![]() Решение. Для вычисления данного интеграла преобразуем подынтегральную функцию и применим подстановку ![]() После подстановки в интеграл получим: ![]() 3. ![]() Решение. Для вычисления данного интеграла применим подстановку ![]() После подстановки в интеграл получим: ![]() 4. ![]() Решение. Для вычисления данного интеграла применим подстановку ![]() После подстановки в интеграл получим: ![]() 5. ![]() Решение. Применим формулу интегрирования по частям ![]() ![]() 6. ![]() Решение. Для вычисления данного интеграла необходимо сделать замену ![]() После подстановки в интеграл получим: ![]() 7. ![]() Решение. Применим подстановку ![]() ![]() 8. ![]() Решение. Применим формулу синуса двойного угла: ![]() 9. ![]() Решение. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей: ![]() Коэффициенты найдем из условия: ![]() Приравняем коэффициенты с одинаковыми степенями при x: ![]() ![]() Таким образом, ![]() ![]() Вычислить определённые интегралы 10. ![]() Применим формулу интегрирования по частям ![]() ![]() Ответ: ![]() 11. ![]() Применим тригонометрическую формулу произведения косинуса на синус: ![]() Ответ: ![]() Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость 12. ![]() Решение. Это несобственный интеграл I рода (с бесконечным пределом интегрирования). Согласно определению несобственного интеграла I рода ![]() имеем ![]() Ответ: интеграл расходится. 13. ![]() Это несобственный интеграл II рода. Согласно определению несобственного интеграла II рода ![]() имеем ![]() Данный интеграл сходится. Ответ: интеграл сходится. Выяснить сходимость несобственных интегралов 14. ![]() Решение. Так как на промежутке ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку интеграл в правой части неравенства сходится, то исследуемый интеграл тоже сходится согласно общему признаку сравнения несобственных интегралов. Ответ: интеграл сходится. 15. ![]() Так как при ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку данный интеграл расходится, то исследуемый интеграл тоже расходится согласно общему признаку сравнения несобственных интегралов. Ответ: интеграл расходится. 16. Найти площадь области, ограниченной кривыми ![]() Решение. Координаты точек пересечения линий находим из системы: ![]() Отсюда: ![]() ![]() Строим заданные линии на плоскости ХOУ. Составляем определенный интеграл: ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Искомая площадь: ![]() Ответ. ![]() 17. Найти длину дуги кривой ![]() Решение. Длина дуги кривой заданной параметрическими уравнениями находится по формуле: ![]() Находим: ![]() ![]() ![]() Получаем: ![]() ![]() |