ипотека. вероят ипотека. Решение Используем формулу Бернулли. Вероятность наступления события m раз в n испытаниях p n (m) c m n p m q n

• Название: Решение Используем формулу Бернулли. Вероятность наступления события m раз в n испытаниях p n (m) c m n p m q n
• Анкор: ипотека
• Дата: 01.02.2022
• Размер: 25.79 Kb.
• Имя файла: вероят ипотека.docx
• Тип: Решение; #348498

Задача

а) Ипотечная компания полагает, что уровень дефолта по ее ипотечным кредитам с самостоятельным подтверждением составляет 20%. Если предположить, что эта пропорция верна, какова вероятность того, что:

1. По 5 ипотечным кредитам будет ровно 2 дефолта.

2. Будет как минимум 2 дефолта по 5 ипотечным кредитам.

Дано: р=0,2

n=5

1. 
   P₅ (2) - ?
   
2. 
   P₅ (m>2) - ?
   

Решение:

Используем формулу Бернулли. Вероятность наступления события m раз в n испытаниях:

P_n(m) = C^m_np^mq^n-m

где C^m_n - число сочетаний из n по m.
q=1-p.

1) вероятность, что по 5 ипотечным кредитам будет ровно 2 дефолта. .

2) Будет как минимум 2 дефолта по 5 ипотечным кредитам (событие наступит не менее 2 раз). Используем формулу:

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит не менее k раз равна:

P(x ≥ k) = P_n(k) + P_n(k+1) + ... + P_n(n)

Вероятность того, что в 5 испытаниях событие наступит не менее 2 раз равна:

P(x ≥ 2) = P₅(2) + P₅(3) + ... + P₅(5)


P₅(5) = 0.2⁵ = 0.00032

P(x ≥ 2) = 0.2048 + 0.0512 + 0.0064 + 0.00032 = 0.26272


Задача
б) Через год у него 5000 таких ипотечных кредитов. Если он по-прежнему считает, что уровень дефолтов составляет 20%, каков шанс, что будет по крайней мере 950 дефолтов. Внимательно объясните свою работу.

n=5000

Исходные данные: p = 0.2,

q = 1- p = 1 - 0.2 = 0.8,

Найти: вероятность, что будет по крайней мере 950 дефолтов (событие наступит не менее 950 раз)
Решение
Nxp=5000*0,2=1000

n – большое число.

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: P_n(k₁,k₂) = Ф(x₂) – Ф(x₁)

где Ф(x) – функция Лапласа.
k₁ = 950, k₂ = 5000.

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. Ф(-x) = -Ф(x), получим:

P₅₀₀₀(950 ≤ x < 5000) = Ф(141.42) - Ф(-1.77) = 0.49999 - (-0.4616) = 0.96159


Задача
c) Для своих стандартных ипотечных кредитов компания не уверена, составляет ли ставка по умолчанию 5% или 4%. У него 40 000 таких ипотечных кредитов, и фактически было обнаружено 1900 дефолтов. Рассчитав вероятность получения 1900 или менее дефолтов при допущении 5% и вероятность получения 1900 или более дефолтов при допущении 4%, посоветуйте компании, какое из их предположений кажется более разумным.

Дано:

P1=0,04,

P2=0,05

n=40000

k=1900

Найти: какое событие более разумно.
Решение
1)Найдем вероятность что, событие наступит более 1900 раз;

Исходные данные: p = 0.04, q = 1- p = 1 - 0.04 = 0.96

N = 40000 – большое число,

N x p=400000 x 0,04 =1600

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: P_n(k₁,k₂) = Ф(x₂) – Ф(x₁)

где Ф(x) – функция Лапласа.
k₁ = 1900 + 1, k₂ = 40000.

P₄₀₀₀₀(1901 ≤ x < 40000) = Ф(979.8) - Ф(7.68) = 0.49999 - (0.49999) = 0

2. 
   вероятность получения 1900 или менее дефолтов при допущении 5% (событие наступит не более 1900 раз) .
   

Исходные данные: p = 0.05, q = 1- p = 1 - 0.05 = 0.95

N = 40000 – большое число,

N x p=400000 x 0,04 =1600

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: P_n(k₁,k₂) = Ф(x₂) – Ф(x₁)

где Ф(x) – функция Лапласа.
k₂ = 1900, k₁ = 0.

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. Ф(-x) = -Ф(x), получим:

P₄₀₀₀₀(0 < x < 1900) = Ф(-2.29) - Ф(-45.88) = -0.4893 - (-0.49999) = 0.01069

Фактическая вероятность дефолта составила:

Pф=k/n=1900/40000=19/4000=0,0475 (4,75%).

P1=0,04
Более разумно событие - получения 1900 или менее дефолтов при допущении 5% .