теоия игр45. Решение Матрицей моделируется игра партнеровАиВ интересы которых противоположны

• Название: Решение Матрицей моделируется игра партнеровАиВ интересы которых противоположны
• Дата: 06.06.2022
• Размер: 89.12 Kb.
• Имя файла: теоия игр45.docx
• Тип: Решение; #571890

6) Для следующих платежных матриц определить нижнюю и верхнюю цены игры, наличие седловых точек, минимаксные стратегии.



Решение:

Матрицей моделируется игра партнеров А и В интересы которых противоположны.

Игрок А имеет четыре стратегии: А₁, А₂, А₃, А₄.

В распоряжении игрока В три стратегии В₁,В₂,В_3.

Найдем нижнюю цену игры:

Найдем верхнюю цену игры:

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 2, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 2.

Седловая точка (2, 1) указывает решение на пару альтернатив (A2,B1). Цена игры равна 2.
18) Решить аналитическим методом в смешанных стратегиях игру 2 × 2. Решение проиллюстрировать графически.



Решение:



Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение будем искать в области смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегиям второго игрока. Левая и правая вертикальные линии на рисунке 1 соответствуют первой и второй стратегиям игрока А. На них отложены величины, равные значениям элементов платежной матрицы для стратегий игрока В.




В₂=3
В₁=1

В₂=2


В₁=5

х₂ х₁

По формулам:











Находим оптимальные смешанные стратегии и цену игры:

V=

Ответ: оптимальные смешанные стратегии , цена игры составляет V=

Данный ответ означает следующее:

- если 1 игрок с вероятностью будет применять 1 стратегию и с вероятностью , то при достаточно большом кол-ве игр с данной матрицей его выигрыш составляет в среднем не менее .

- если 2 игрок с вероятностью будет применять 1 стратегию и с вероятностью , то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его проигрыш составит в среднем не более .

21. Найти графическим методом решение матричной игры.
21.
Решение:



Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение будем искать в областях смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегиям второго игрока.

В1=7
В4=6
		В2=5
В3=4
	К	В4=3
В2=1		В3=1
		В1=0

Выделяем нижнюю границу выигрыша B₂КB₃. Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка К, лежащая на пересечении прямых B₂B₂ и B₃B₃, для которых можно записать следующую систему уравнений:
y = 1 + (5 - 1)p₂
y = 4 + (1 - 4)p₂
Откуда
p₁ = ⁴/₇
p₂ = ³/₇
Цена игры, y = ¹⁹/₇
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию B₁, которая дает явно больший проигрыш игроку B, и, следовательно, q₁ = 0.
q₂+4q₃ = y
5q₂+q₃ = y
q₂+q₃ = 1
или
q₂+4q₃ = ¹⁹/₇
5q₂+q₃ = ¹⁹/₇
q₂+q₃ = 1
Решая эту систему, находим:
q₂ = ³/₇.
q₃ = ⁴/₇.

Ответ:

Цена игры: y = 19/7, векторы стратегии игроков:

Q(0, 3/7, 4/7), P(4/7, 3/7).
33) Решить задачу симплекс-методом. (В облегченном варианте достаточно свести задачу матричной игры к построению первой симплекс-таблицы).



Решение:



Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий.

Для определения оптимальной стратегии игрока А имеем следующую задачу линейного программирования:





Начальная симплекс-таблица

БП	x1	x2	x3	x4	s1	s2	s3	r1	r2	r3	Решение	Отношение
r1	4	1	2	2	-1	0	0	1	0	0	1	1 / 2 = 1 2
r2	3	1	3	5	0	-1	0	0	1	0	1	1 / 5 = 1 5
r3	1	3	2	3	0	0	-1	0	0	1	1	1 / 3 = 1 3
Q	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	--
G	-8	-5	-7	-10	1	1	1	0	0	0	-3	--

Оптимальное значение функции Q(x)=

достигается в точке с координатами: ,

Для нахождения оптимальной стратегии игрока В имеем следующую задачу линейного программирования:





Начальная симплекс-таблица

БП	x1	x2	x3	s1	s2	s3	s4	Решение	Отношение
s1	4	3	1	1	0	0	0	1	1 / 1 = 1
s2	1	1	3	0	1	0	0	1	1 / 3 = 1 3
s3	2	3	2	0	0	1	0	1	1 / 2 = 1 2
s4	2	5	3	0	0	0	1	1	1 / 3 = 1 3
Q	1	1	1	0	0	0	0	0	--

Оптимальное значение функции Q(x)=

2 5

достигается в точке с координатами: , .

Задача 50.

Решить задачу игры с природой, проведя соответствующее моделирование условий.

Решить игру с природой по критерию Гурвица, α=0,5

 

Решение:

1. Для матрицы выигрышей:

К(А1)=0,5∙30+0,5∙(15)=22,5

К(А2)=0,5∙75+0,5∙(20)=47,5

К(А3)=0,5∙80+0,5∙(25)=52,5

К(А4)=0,5∙85+0,5∙(5)=45

Лучшая стратегия А3.

2. Для матрицы потерь:

К(А1)=0,5∙15+0,5∙30=22,5

К(А2)=0,5∙20+0,5∙75=47,5

К(А3)=0,5∙25+0,5∙80=52,5

К(А4)=0,5∙5+0,5∙85=45

Лучшая стратегия А3.

Список используемой литературы
1.Дубина И.Н. Основы теории экономических игр: учебное пособие для вузов / И.Н. Дубина. – М.: КноРус, 2010. – 208 с.

2. Методология и технология имитационных исследований слож-ных систем: современное состояние и перспективы развития: Мо-ногр./ В.В. Девятков - М.: Вуз. учеб.: ИНФРА-М, 2013. - 448 с. - (ЭБС.znanium.com)

3. Количественные методы в экономических исследованиях : учеб-ник для вузов /под ред. .М.В.Грачевой,Ю.Н.Черемных,Е.А.Тумановой. - 2-е изд.,перераб.и доп. - М. : ЮНИТИ, 2013. - 687с.

4. Тихомиров Н.П. Риск-анализ в экономике / Н.П. Тихомиров. − М.: Экономика, 2010. – 318 с.

5. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных странах: учебник для вузов / О.И. Ларичев. – М.: Логос, 2008. – 391 с.

6. Экономико-математические методы и модели. Задачник: учебно-практическое пособие / под ред. С.И. Макарова, С.А. Севостьяновой. − 2-е изд., перераб. − М.: КНОРУС, 2009. − 208 с.