Ряд и преобразование Фурье методичка. Решение. Найдем сначала
 Скачать 0.82 Mb.
|
|
Ряд Фурье Ряд Фурье функции x(t) представляется в виде :  где коэффициенты Фурье a0, an и bn определяются формулами    При расчете коэффициентов ряда Фурье необходимо выбрать начальный момент времени t0 периода интегрирования. Как правило, значение t0 выбирают так, чтобы упростить вычисления. Обычно, исходя из этого условия, принимают t0=-Т/2 . Формулы приобретают следующий вид:    Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций Если функция x(t), описывающая сигнал, является четной, то есть x(t)=x(-t), то коэффициенты an=0, n=0,1,2,…, и в разложении остаются только постоянная и косинусоидальные составляющие:  Если функция x(t), описывающая сигнал, является нечетной, то есть x(t)=-x(t), то коэффициенты an=0, n=0,1,2,…, и в разложении остаются только синусоидальные составляющие:  Получила распространение и другая форма записи тригонометрического ряда Фурье:  где амплитуда An и фаза n-ой гармонической составляющей связаны с коэффициентами an и bn соотношениям:  или  Пример 1. Найти разложение в ряд Фурье для функции  заданной в интервале [−π, π]. Решение. Найдем сначала a0:  Далее вычислим коэффициенты an:  Заметим, что  Поскольку cos (n − 1)π = (−1)n −1, то для коэффициентов an получаем выражение  Видно, что an = 0 для нечетных n. Для четных n, когда n = 2k (k = 1,2,3,...), мы имеем  Вычислим теперь коэффициенты bn. Начнем с b1:   Остальные коэффициенты bn при n > 1 равны нулю. Действительно,  Таким образом, формула разложения заданной функции в ряд Фурье имеет вид  График функции и варианты разложения для n = 2 и n = 8 показаны на рисунке 1.  Рисунок 1. Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом  , заданную на интервале  формулой .Построим график функции (рис. 2).  y1 -3 -2 - 2 3 x Рисунок 2 Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле. Применяя формулы (2) и (3), находим коэффициенты Фурье  , , .Разложение в ряд Фурье  имеет вид .Индивидуальное задание. Разложить в ряд Фурье функцию, построить график функции.                      На отрезке  разложить в ряд Фурье функции:
21. Разложить функцию  в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [-1/2;1/2] ;22. Разложить функцию  в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [- /2;/2] ;23. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [-1/2;1/2] ;24. Разложить функцию  в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [-1;1] в комплексной форме; 25. Разложить функцию  в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [-3;3] в комплексной форме;26. Разложить функцию  в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [1;3] ;27. Разложить функцию  в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [5;15] ;28. Разложить функцию  в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [0;1] ;29. Разложить функцию  заданную на отрезке  и продолженную на отрезок  четным образом в тригонометрический ряд ФурьеПреобразование Фурье Представим интеграл Фурье  в виде:  (1) (2)Функция F(  ), определенная формулой (1), называется косинусом-преобразованием Фурье для f(x).Формула (2) задает обратное косинус – преобразование Фурье, позволяющее по F(a ) находить f(x). Аналогично, если f(x) – нечетная функция, то A(a ) = 0, тогда формулы (3) и (4) задают соответственно прямое и обратное синус-преобразование Фурье  (3) (4)Если интеграл Фурье в комплексной форме представить в виде  (5)то функция S(a ) также называется спектральной и S(a ) = 2p C(a ). Преобразованием Фурье называется функция  определенная формулой (6) (6)а функция f(x) , определенная формулой (7) называется обратным преобразованием Фурье  (7)Преобразование Фурье отличается от спектральной функции только множителем  (  также называется спектральной функцией).Если функция f(x) – оригинал с показателем роста  , то функция g(x), определенная формулой  , где  называется затухающим оригиналом. Тогда для функции g(x) существует и преобразование Фурье и преобразование Лапласа и они связаны между собой формулой (8)Пример 1. Для функции  найти косинус преобразование Фурье.Решение      Тогда косинус - преобразование Фурье функции имеет вид  Пример 2 Найти преобразование Фурье для функции  Решение. Данная функция является затухающим оригиналом, т.к. функция  - оригинал с показателем роста  и  где  Воспользуемся формулой (8), связывающей преобразование Фурье с преобразованием Лапласа. Найдем для функции  преобразование Лапласа по таблице Тогда  Получили преобразование Фурье заданной функции:  Индивидуальные задания. Найти синус и косинус – преобразование Фурье для функции:        Найти преобразование Фурье следующих функций:  на отрезке [ 0;6]; на отрезке [0;4]; на отрезке [0;10]; на отрезке [0;9]; на отрезке [0;10];  на отрезке [0;9]; на отрезке [0;8]; на отрезке [0;9].и)  к)  ;л)  ;м)  ;н)  ;о)  п)  р)  с)  т)  у)  ф)  |
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [-1;1] ;