Ряд и преобразование Фурье методичка. Решение. Найдем сначала
![]()
|
Ряд Фурье Ряд Фурье функции x(t) представляется в виде : ![]() где коэффициенты Фурье a0, an и bn определяются формулами ![]() ![]() ![]() При расчете коэффициентов ряда Фурье необходимо выбрать начальный момент времени t0 периода интегрирования. Как правило, значение t0 выбирают так, чтобы упростить вычисления. Обычно, исходя из этого условия, принимают t0=-Т/2 . Формулы приобретают следующий вид: ![]() ![]() ![]() Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций Если функция x(t), описывающая сигнал, является четной, то есть x(t)=x(-t), то коэффициенты an=0, n=0,1,2,…, и в разложении остаются только постоянная и косинусоидальные составляющие: ![]() Если функция x(t), описывающая сигнал, является нечетной, то есть x(t)=-x(t), то коэффициенты an=0, n=0,1,2,…, и в разложении остаются только синусоидальные составляющие: ![]() Получила распространение и другая форма записи тригонометрического ряда Фурье: ![]() где амплитуда An и фаза n-ой гармонической составляющей связаны с коэффициентами an и bn соотношениям: ![]() или ![]() Пример 1. Найти разложение в ряд Фурье для функции ![]() заданной в интервале [−π, π]. Решение. Найдем сначала a0: ![]() Далее вычислим коэффициенты an: ![]() Заметим, что ![]() Поскольку cos (n − 1)π = (−1)n −1, то для коэффициентов an получаем выражение ![]() Видно, что an = 0 для нечетных n. Для четных n, когда n = 2k (k = 1,2,3,...), мы имеем ![]() Вычислим теперь коэффициенты bn. Начнем с b1: ![]() ![]() Остальные коэффициенты bn при n > 1 равны нулю. Действительно, ![]() Таким образом, формула разложения заданной функции в ряд Фурье имеет вид ![]() График функции и варианты разложения для n = 2 и n = 8 показаны на рисунке 1. ![]() Рисунок 1. Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом ![]() ![]() ![]() Построим график функции (рис. 2). ![]() 1 -3 -2 - 2 3 x Рисунок 2 Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле. Применяя формулы (2) и (3), находим коэффициенты Фурье ![]() ![]() ![]() Разложение в ряд Фурье ![]() ![]() Индивидуальное задание. Разложить в ряд Фурье функцию, построить график функции. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() На отрезке ![]()
21. Разложить функцию ![]() 22. Разложить функцию ![]() ![]() ![]() 23. Разложить функцию ![]() 24. Разложить функцию ![]() [-1;1] в комплексной форме; 25. Разложить функцию ![]() 26. Разложить функцию ![]() 27. Разложить функцию ![]() 28. Разложить функцию ![]() 29. Разложить функцию ![]() ![]() ![]() Преобразование Фурье Представим интеграл Фурье ![]() в виде: ![]() ![]() Функция F( ![]() Формула (2) задает обратное косинус – преобразование Фурье, позволяющее по F(a ) находить f(x). Аналогично, если f(x) – нечетная функция, то A(a ) = 0, тогда формулы (3) и (4) задают соответственно прямое и обратное синус-преобразование Фурье ![]() ![]() Если интеграл Фурье в комплексной форме представить в виде ![]() то функция S(a ) также называется спектральной и S(a ) = 2p C(a ). Преобразованием Фурье называется функция ![]() ![]() а функция f(x) , определенная формулой (7) называется обратным преобразованием Фурье ![]() Преобразование Фурье отличается от спектральной функции только множителем ![]() ( ![]() Если функция f(x) – оригинал с показателем роста ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 1. Для функции ![]() Решение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда косинус - преобразование Фурье функции имеет вид ![]() Пример 2 Найти преобразование Фурье для функции ![]() Решение. Данная функция является затухающим оригиналом, т.к. функция ![]() ![]() ![]() ![]() Воспользуемся формулой (8), связывающей преобразование Фурье с преобразованием Лапласа. Найдем для функции ![]() ![]() Тогда ![]() Получили преобразование Фурье заданной функции: ![]() Индивидуальные задания. Найти синус и косинус – преобразование Фурье для функции: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найти преобразование Фурье следующих функций: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() и) ![]() к) ![]() л) ![]() м) ![]() н) ![]() о) ![]() п) ![]() р) ![]() с) ![]() т) ![]() у) ![]() ![]() |