Строительная механика самолета МАТИ 2004. Решение проблемы определяется степенью полноты и достоверности информации, которой располагает конструктор относительно взаимосвязи между геометрическими параметрами
 Скачать 3.6 Mb.
|
1 2 ? . (Равнодействующая нормальных усилий N равна s = ? ?? 0 . (Для нормальных напряжении ? в случае изгиба относительно оси Х имеем: Проведем мысленно через точку b сечение, перпендикулярное оси Z, и еще одно по образующей перпендикулярно к срединной поверхности. Третье сечение проведем на расстоянии dz от точки b. Рассмотрим равновесие элемента abcd, выделенного таким образом (рис. Рис. 2.3 48 ? ? = M I y x rx . (Подставим (2.4) в равенство (2.3) и учтем, что M x и I rx от координаты s не зависят ds x rx s = ? ? ? 0 . (Интеграл в последнем равенстве представляет собой статический момент относительно оси X части приведенного сечения, заключенной между свободным краем конструкции (точка a) и точкой b, где определяются касательные напряжения ds rx s = ? ? ? 0 . (Тогда rx rx = . (Теперь остается согласно (2.2) продифференцировать правую часть полученного равенства. При этом нужно иметь ввиду, что I rx есть величина постоянная, S rx от координаты Z не зависит, а перерезывающаая сада Q y связана с изгибающим моментом известной зависимостью Q M z y x = Тогда rx rx = . (Итак, получили формулу для определения величины погонной касательной силы Т в продольном разрезе, проходящем через точку В соответствии с принципом парности касательных напряжений, в точке b поперечного сечения будет действовать такая же погонная касательная сила. Анализ формулы показывает, что вдоль оси Z погонные касательные силы изменяются пропорционально перерезывающей силе, а по сечению – пропорционально статическому моменту Для касательных напряжений будем иметь 49 ? ? ? = = T Q S I y rx rx . (Проведя аналогичный вывод для случая изгиба относительно оси, получим следующую формулу ry ry = . (При одновременном изгибе относительно осей Хи результаты, полученные по формулами, нужно алгебраически просуммировать. Если конструкция не имеет продольных элементов, то эпюра статических моментов S rx , вычисленных побудет плавной, без скачков. Ординаты эпюры статического момента будут возрастать до нейтральной оси X (рис. 2.4а). Рис. Если же оболочка подкреплена продольным набором, то статический момент будет определять формула ds y F rx s i i i i m = + ? ? = ? ? ? 0 1 (где m – число продольных элементов на участке дуги длиной от начала координат. При этом эпюра S rx будет иметь вид (2.4 б). В случае очень тонкой обшивки нормальными усилиями в ней пренебрегают и считают, что обшивка работает только на сдвиг. Величина статического момента S rx в этом случае подсчитывается по формуле F rx i i i i m = = ? ? 1 , (2.12) Рис. При этом на эпюре статических моментов на участках между соседними поясами значения статического момента остаются постоянными (рис. 2.5). 2.2. Примеры расчета касательных напряжений в тонкостенных конструкциях с открытым контуром поперечного сечения Пример 1. Определим погонные касательные усилия в тонкостенной конструкции швеллерного типа от действия перерезывающей силы Q y . Размеры сечения и нагрузка показаны на рис. Момент инерции поперечного сечения был найден в 1.3 и получился равным b a b x = + ? ?? ? ?? ? 2 2 . (Для определения касательных напряжений найдем статический момент для сечения т – т верхней полка на расстоянии s от свободного края сечения s x m m ? = Для сечения n – n на расстоянии ? от верхней полки a ab a x n n ? = + = ? ?? ? ?? = + ? ? ?? ? ? ?? ? 2 2 2 2 1 2 . (2.14) Рис. Отсюда видно, что на горизонтальной полке статический момент изменяется по линейному закону, а на вертикальной стенке – по закону квадратной параболы. Эпюра изменения статического момента по сечению представлена на риса. Умножив все ординаты этой эпюры на постоянный множитель Q y /I x , получим эпюру погонных касательных сил Т (рис. 2.6 б. Максимальное значение погонной касательной силы будет в точке 3 сечения. При значении силы Q y = 5000 Н, ? = 0,2 см, a = 50 см, b = 20 см оно будет равно Т = 114,7 Н/см. Рис. Пример 2. Определим теперь погонные касательные силы в тонкостенной конструкции, представляющей собой круговую цилиндрическую оболочку, разрезанную по образующей (рис. 2.7). Для определения момента инерции сечения конструкции выделим бесконечно малый элемент, определяемый двумя радиусами – под углом ? и ? + от края контура. Момент инерции этого элемента равен 52 ( ) dI y ds R Rd x = = ? ? ? ? 2 Интегрируя это выражение по ? в пределах от 0 до 2 ? , имеем ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 3 2 0 2 3 0 2 3 0 2 3 1 2 2 2 2 4 sin cos Найдем касательные напряжения в точке b, определяемые углом (рис. 2.7). Для этого нужно найти статический момент соответствующей части поперечного сечения. Вычислим сначала статический момент выделенного бесконечно малого элемента dS yds R d x = = ? ? ? Интегрируя по ? в пределах от 0 дополучим Подставляя полученные выражения в формулу (2.8), имеем cos . (Эпюры статического момента и погонных касательных сил показаны на рис. 2.8 а,б. Рис. Найденные погонные касательные силы представляют собой внутренние силы, те. силы, с которыми одна часть конструкции через данное сечение действует на другую ее часть. Если рассматривается действие отсеченной части консоли А на оставшуюся часть В (рис, то равнодействующая касательных напряжений должна быть направлена в сторону внешней нагрузки. Если же рассматривается действие оставшейся части на отсеченную, то касательные напряжения должны быть направлены так, чтобы они уравновешивали внешнюю нагрузку, те. равнодействующая касательных сил должна быть направлена против внешней нагрузки. Условимся везде рассматривать действие отсеченной части на оставшуюся. Следовательно, погонные касательные силы будут давать равнодействующую, направленную в сторону внешней нагрузки (рис б и 2.8 б. Центр изгиба открытых сечений Рассмотрим изгиб конструкции с открытым контуром поперечного сечения относительно оси Х. Произведение Tds (рис. 2.10) представляет собой элементарную касательную силу. Сумма проекций всех элементарных касательных сил на ось Y должна равняться перерезывающей силе Q y . Эта сила является равнодействующей касательных усилий, возникающих в поперечном сечении. Выясним, где проходит эта равнодействующая. Для этого выберем в плоскости ХО произвольный полюс р. Элементарная касательная сила даст относительно выбранного полюса момент dM = T ? ds , (где р – длина перпендикуляра, опущенного из полюса ? на направление силы Tds (на направление касательной к средней линии контура). Рис. Рис. 2.10 Обозначим расстояние от равнодействующей до выбранного полюса через x . Согласно теореме Вариньона (момент равнодействующей относительно какой-либо точки равен сумме моментов сил составляющих относительно той же точки) получим x T ds y l = ? ? или x Q T ds y l = ? 1 ? . (Учитывая формулу (2.8), имеем ds rx rx l = ? 1 ? . (Рассматривая изгиб относительно оси Y, аналогично получим y I S ds ry ry l = ? 1 ? . (Из последних двух формул видно, что координаты x и y не зависят от внешней нагрузки, а зависят лишь от геометрии поперечного сечения и материала. Через точку с координатами x и y проходит равнодействующая касательных напряжении, возникающих в поперечном сечении. Эта точка называется центром изгиба открытого сечения. Итак, центром изгиба открытого сечения, называется точка, через которую проходит равнодействующая касательных напряжении. Линия, проходящая через центры изгиба всех сечений, называется осью изгиба конструкции. Она параллельна оси Рис. Рис. 2.12 Отсюда вытекает, что конструкции с открытым контуром поперечного сечения могут воспринимать только такие внешние нагрузки, которые проходят через ось изгиба. В противном случае внутренние силы не в состоянии уравновесить внешнюю нагрузку. Следовательно, все выведенные ранее формулы дин конструкций с открытым контуром сечения справедливы лишь в том случае, если внешние нагрузки проходят через ось изгиба. Пример 1. Пусть требуется определить положение центра изгиба сечения, изображенного на рис. 1.4. Воспользуемся для расчета формулой (2.18), согласно которой x Q T ds y Эпюра погонных касательных сил представлена на рис. 2.11. Если выбрать полюс в нижнем правом углу сечения, то момент относительно него дадут лишь касательные силы, действующие в верхней полке сечения. Плечо ? здесь будет постоянными равным высоте профиля а. Тогда x a Q Tds Последний интеграл представляет собой равнодействующую касательных сил верхней полки или площадь эпюры T на рассматриваемом участке b b y rx 0 2 Отсюда, с учетом формулы (2.13) x b a I b a a b a b b a b b b rx = = + ? ?? ? ?? = + ? ?? ? ?? = + ? ?? ? ?? 2 2 2 2 2 4 4 2 2 1 2 1 Так для контура с размерами b = 20 см, a = 50 см получается, что 7,04 м, те. от полпса ? нужно отложить вправо 7,04 см. Полученная точка будет являться точкой приложения внешней нагрузки. Пример 2. Определим положение центра изгиба сечения, представленного на рис. 2.7. Воспользуемся для расчета формулой 56 x I S ds rx rx За полюс выберем центр окружности (рис. 2.12). Тогда ? = R = Статический момент изменяется по закону 1 Момент инерции I R rx = Следовательно 1 1 2 3 2 0 2 0 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? cos В рассмотренных примерах определяли одну из координат центра изгиба – координату x . Координата y определяется по аналогичным формулам. Рис. Можно показать, что если поперечное сечение конструкции имеет ось симметрии, то центр изгиба лежит на этой оси. На рис. 2.13 представлена эпюра погонных касательных сил для тонкостенной конструкции швеллерного типа при действии сил Q х Смена знака статического момента на оси симметрии свидетельствует о том, что поток касательных сил изменил свое направление. В результате, в симметричных точках поперечного сечения величины погонных касательных сил равны, а их направления – симметричны. Для определения координаты y центра изгиба удобнее полюс выбрать на оси симметрии. Тогда момент от внутренних сил верхней половины сечения уравновешивается моментом внутренних сил нижней половины 57 отсюда те. центр изгиба лежит на оси симметрии сечения. Если сечение имеет две оси симметрии, то центр изгиба будет находиться в точке пересечения этих осей, те. совпадет с центром тяжести поперечного сечения x ds T y Q 0 , y 0 = 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 1 2 |