Строительная механика самолета МАТИ 2004. Решение проблемы определяется степенью полноты и достоверности информации, которой располагает конструктор относительно взаимосвязи между геометрическими параметрами
 Скачать 3.6 Mb.
|
1 2 Строительная механика самолета" ЛА – самолет, вертолет, дирижабль, ракета или космический корабль должен воспринимать действующие на него в процессе эксплуатации нагрузки без повреждений и недопустимых изменений формы, те. быть достаточно прочными жестким. (Это необходимое условие безопасной эксплуатации любого инженерного сооружения) Конструкция ЛА должна отличаться еще и минимальной массой. Требования минимальной массы находятся в противоречии с требованиями достаточной прочности и жесткости. Разрешение этого противоречия является одной из основных проблем, возникающих при создании ЛА; оно осуществляется в процессе расчета, проектирования и экспериментальной отработки как конструкции в целом, таки отдельных ее элементов и обусловливает эффективность ЛА. Решение проблемы определяется степенью полноты и достоверности информации, которой располагает конструктор относительно взаимосвязи между геометрическими параметрами конструкции свойствами материала допустимым уровнем нагружения конструкции Эта взаимосвязь формируется в процессе расчета на прочность ЛА и его элементов. Расчет на прочность предусматривает определение расчетных нагрузок выбор расчетных схем и моделей, адекватно описывающих реальные элементы конструкции анализ напряженно-деформированного состояния (НДС, устойчивости и динамического поведения отдельных моделей и их совокупности переход от расчетных моделей к реальным объектами оценку их работоспособности. Причины появления строительной механики наличие широкого класса расчетных схем, моделирующих элементы конструкций самого разнообразного назначения наличие специальных (требующих достаточно сложного математического аппарата) методов, необходимых для решения вопросов о НДС, устойчивости и динамическом поведении моделей. Строительная механика – это наука о принципах и методах определения напряженно-деформированного состояния типовых расчетных моделей, анализа их устойчивости и динамического поведения Формирование строительной механики связано с именами выдающихся ученых и инженеров И.Г. Бубнова, Б.Г. Галёркина, АН. Крылова, С.П. Тимошенко. Развитие ряда направлений строительной механики по расчету летательных аппаратов, судов, наземных транспортных средств и сооружений связано с работами советских ученых В.В. Болотина, В.З. Власова, А.А. Гвоздева, А.Н. Динника, А.А. Ильюшина, А.Ю. Ишлинского, АИ. Лурье, В.В. Новожилова, П.Ф. Папковича, ЮН. Работнова, АР. Ржаницына, ИМ. Рабиновича, А.Ф. Смирнова, Н.С. Стрелецкого, В.И. Феодосьева, Ю.А. Шиманского и др. Отличие строительной механики ЛА отличается от других направлений этой науки анализом тонкостенных конструкций повышенными требованиями к точности расчетных методов (с учетом ограничений массы конструкции должны гарантировать ее безопасную работу на пределе возможностей материала). Успехи в развитии строительной механики в нашей стране связаны с работами ЛИ. Балабуха, АС. Вольмира, Э.И. Григолюка, С.Н. Кана, В.И. Кли- мова, К.С. Колесникова, ЮГ. Одинокова, А.Ю. Ромашевского, И.А. Свердлова, В. М. Стригунова и др. Наряду с аналитическими методами исследования традиционных расчетных моделей интенсивно развиваются численные методы расчета сложных систем с помощью ЭВМ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ ПО ЭЛЕМЕНТАМ КОНСТРУКЦИИ. ПРОСТЕЙШИЕ СИЛОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КОНСТРУКЦИИ ЛА 1. Основной задачей инженера, проектирующего силовую схему ЛА – создание легкой конструкции, воспринимающей эксплуатационные нагрузки, не разрушаясь и не изменяя первоначально заданных размеров и формы. Всякая конструкция под нагрузкой деформируется. Чем больше жесткость, конструкции, тем меньше испытываемые ею деформации. На практике добиваются жесткости, гарантирующей невозможность появления в эксплуатации больших деформаций, мешающих нормальной работе ЛА. От жесткости аппарата в целом и каждой из его частей зависит его поведение при действии динамической. Неправильный выбор жесткостных характеристик ЛА может привести к возникновению больших колебаний и разрушению конструкции (при полете с большой скоростью или при посадке). Для конструкции ЛА характерно применение оболочек c тонкой стенкой. Тонкостенные оболочки (в отличие от массивных конструкций) не могут воспринимать сосредоточенных сил и моментов, возникающих в местах прикрепления различных агрегатов ив местах сочленения отдельных частей конструкции. Она приспособлена для восприятия распределенных сил (давления или сил инерции). Для восприятия оболочки сосредоточенных сил, необходимо в местах их приложения создать надежно подкрепленные, неподвижные опорные точки (узлы), используя специальные силовые элементы. Основные силовые элементы конструкции могут иметь разнообразные размеры и форму. К ним относятся СТЕРЖНИ, БАЛКИ, ПЛАСТИНКИ И ОБОЛОЧКИ. Сочетания этих элементов образуют силовые схемы отдельных агрегатов ЛА. Силовые схемы агрегатов, соединяясь между собой надлежащим образом, образуют силовую схему ЛА. Соединение элементов в силовую схему агрегата и соединение агрегатов между собой должно обеспечить жесткость и неизменяемость конструкции, а размеры элементов выбираются так, чтобы гарантировать их прочность при действии эксплуатационных нагрузок. Особенности работы элементов конструкции под нагрузкой и основные принципы создания силовых схем, обеспечивающих жесткость и неизменяемость конструкции Стержни и балки применяются в качестве подкрепляющих или соединительных элементов. Стержнем принято считать всякую деталь удлиненной формы, которая имеет малую жесткость на изгиб и кручение и вследствие этого работает главным образом на растяжение или сжатие. Поперечное сечение стержней, применяемых в авиационных конструкциях, большей частью тонкостенное незамкнутое (угольники, тавры, швеллеры, иногда – трубчатое. Длина стержня значительно (в десятки, сотни раз) больше его поперечных размеров. Для обеспечения выгодных условий нагружения стержней (нагрузку продольными силами, их концы снабжают шарнирами (цилиндрические или шаровые шарниры, исключающими передачу изгибающего и крутящего моментов. Когда конец стержня жестко защемлен, он может передавать небольшой изгибающий момент, но основными (расчетными) напряжениями все же будут напряжения ? от растяжения (сжатия , (где N – продольная сила – площадь поперечного сечения стержня. В случае сжатия стержень необходимо проверить на устойчивость по формуле Эйлера. Если критические напряжения кр не превосходят предела пропорциональности ? пц материала к , (1.2) min i l = ? – гибкость стержня – приведенная длина стержня (определенная с учетом условий закрепления концов min min = – минимальный радиус инерции сечения стержня – минимальный момент инерции сечения стержня; Е – модуль упругости материала стержня. Если действующие напряжения больше предела упругости, то расчет на устойчивость ведут по эмпирической формуле в к , (1.3) к – критические напряжения, э в ? ? = ? в временное сопротивление материала стержня; э ? – критические напряжения, вычисляемые по формуле Эйлера (Присоединении нескольких стержней в один узел, на который действует внешняя сила, следует располагать стержни таким образом, чтобы их оси пересекались в точке, лежащей на линии действия внешней силы (избежать внецентренного нагружения стержней и сводит к минимуму возможные дополнительные напряжения изгиба. а – клепаный многостержневой узел б – сварной узел Рис. При правильном расположении стержней узел считают шарнирным, несмотря на наличие жесткой косынки или сварных швов, соединяюших стержни. Примеры применения стержней в авиационных конструкциях а – подкосы шасси самолета; б – штоки и цилиндры гидравлических подъемников г тяги проводки рулевого управления в – раскосы ферменных нервюр Рис. 2. 5 3. Балка (в отличие от стержня, представляет собой конструктивный элемент, способный воспринимать изгибающие моменты. Сечение балки выбирается так, чтобы обеспечить наибольшую жесткость изгиба в плоскости действия наибольших эксплуатационных нагрузок. Наиболее рациональной формой сечения балки является двутавр (рис. 3). При малом весе имеет большим моментом инерции I x и большой момент сопротивлениях относительно оси х–х, перпендикулярной плоскости действия внешних сил Р, изгибающих балку (рис. Рис. Расчетные напряжения в балках определяются по формуле x max max W M = ? , (где max M – максимальный изгибающий момент. Балка одновременно может воспринимать еще и продольную силу N (рис. Расчетные напряжения вычисляются по формуле для продольно-поперечного изгиба x p max W Nf M F N + + = ? , (1.5) М р – максимальный изгибающий момент от поперечной нагрузки – наибольший прогиб балки (плечо силы N, создающей дополнительный изгибающий момент). Рис. 4. Для двухопорных балок, изгибаемых поперечной нагрузкой, направленной в одну сторону, величину прогиба f можно вычислить по приближенной формуле э f ? = 1 , (1.6) f p – наибольший прогиб балки, вызванный действием только поперечной нагрузки; N э = э критическая сила при выпучивании балки в плоскости действия поперечной нагрузки. Напряжение э вычисляется по формуле (Если балка подвергается действию продольной сжимающей силы, то, кроме расчета на прочность, обязательна проверка ее устойчивости. При достаточной прочности, но недостаточной устойчивости балки приходится ставить дополнительные боковые связи, уменьшающие свободную длину поясов балки и увеличивающие их критическую силу. Как балки работают лонжероны крыльев малой толщины, подкрепляющие элементы крыла (подкосные балки, рис. 5) и фюзеляжа, лонжероны рулей и оперения. Стойка шасси – балка трубчатого сечения, работающая на изгиб со сжатием при посадке с лобовым или боковым ударом. Рис. Балки плохо работают на кручение (сечения, рациональные сточки зрения их работы на изгиб, имеют малый момент сопротивления кручению (за исключением трубчатого сечения). При передаче крутящего момента балку разгружают от кручения с помощью дополнительных силовых элементов, либо использовать для передачи крутящего момента сочетание двух или нескольких параллельных балок, воспринимающих кручение за счет изгиба в разных направлениях. При расчете балок пренебрегают их жесткостью на кручение (считают, что они работают только на продольно-поперечный изгиб). Разделение удлиненных элементов на стержни и балки является условными зависит не только от формы и размеров элемента, но и от способа нагружения, характера закрепления (его действительной роли в конструкции Один и тот же элемент в разных условиях может работать и как стержень, и как балка в зависимости от соотношения величин приложенных к нему продольных и поперечных сил. Пример: Стержни верхнего пояса фермы (риса, нагружены только узловыми нагрузками, работают только на сжатие. Если кроме сосредоточенных сил, на верхний пояс действует распределенная нагрузка р (рис. 6, б, то элементы этого пояса работают как балки и размеры элементов пояса определяются величиной поперечной нагрузки ране узловыми нагрузками P 1 , Р, Р 3 Рис. 6 4. Пластинки характерный элемент конструкции летательною аппарата. Это не только обшивка крыла, фюзеляжа и оперения, но и тонкие стенки и перегородки (диафрагмы), устанавливаемые внутри конструкции. Стенки нервюр (риса) и шпангоутов (рис. 7, в, стенки лонжеронов крыла (рис. 7, б, створки и крышки люков – тонкие пластинки, работающие совместно с подкрепляющими их стержнями и балками. Рис. 7 Особенность тонких пластинок – способность воспринимать только распределенные усилия, лежащие в их плоскости. Сосредоточенные силы и распределенные усилия, перпендикулярные плоскости пластинки, вызывают в тонких пластинках большие напряжения и деформации. Пластинки обладаю большой жесткостью на сдвиги служат основным элементом авиационной конструкции, воспринимающим погонные сдвигающие усилия q (рис. 8, а). Могут также работать на растяжение, если растягивающие усилия приложены в их срединной поверхности (рис. 8, б). Жесткость реальных пластинок на растяжение значительно уменьшается благодаря неизбежному наличию начальной волнистости (рис. 8, в). Пластинка не сможет воспринять больших растягивающих усилий до тех пор, пока начальная волнистость не исчезнет под действием внешней нагрузки (пока не произойдет обтяжка пластинки). Рис. Тонкие пластинки плохо работают на изгиб, кручение и сжатие (потеря устойчивости и выпучивание). Опертая по краям пластинка воспринимает небольшую распределенную поперечную нагрузку р (рис. 9). Возникающие напряжения изгиба (особенно прогибы) оказываются очень большими при сравнительно малом давлении р. Рис. Пример = 0,4 кг/см 2 вызывает в толстой дуралюминовой квадратной пластинке (размер стороны – 30 см, толщина ? = 0,6 см) напряжения ? = 300 кг/см 2 и наибольший прогиб f = 10 мм Пластинку, нагруженную нормальными к поверхности силами (обшивку), приходится подкреплять часто расположенными ребрами, воспринимающими основную часть изгибающего момента. Пластинки – удобный конструктивный элемент имеют малый вес обеспечивают создание поверхности, воспринимающей аэродинамические силы защищают внутреннюю полость конструкции от воздействия внешней среды. Конструктивное применение пластинок затрудняется тем, что они не могут воспринимать сосредоточенных усилий. Сосредоточенная сила, даже лежащая в плоскости пластинки, вызывает большие местные деформации (смятие или вытягивание материала) и разрушение конструкции. Для передачи сосредоточенных сил на тонкую стенку приходится применять специальные конструктивные меры, обеспечивающие включение в работу значительной части пластинки. Утолщение самой пластинки вместе приложения силы ведет к недопустимому усложнению технологии производства. Распространенным приемам является окантовка пластинки стержнями приклепывание к пластинке стоек вместе приложения сосредоточенной силы. Оболочки – элементы, имеющие вид криволинейных поверхностей. Наиболее употребительны оболочки, имеющие форму тел вращения сферические цилиндрические в виде усеченного конуса. Оболочки в чистом виде (встречаются в конструкции двигателей ЛА): – кожухи внутренний обтекатель входного устройства двигателя корпус компрессора, камеры сгорания форсажные камеры сопла, выхлопные и удлинительные трубы. Оболочками являются топливные баки, воздушные баллоны, гидро- аккумуляторы. Обшивку фюзеляжа и криволинейной части крыла можно также рассматривать как оболочку, подкрепленную с внутренней стороны продольными поперечным силовыми наборами. Для уменьшения веса конструкции оболочки делать тонкими (не могут воспринимать больших изгибающих моментов и легко теряют устойчивость при сжатии). Оболочки, как и пластинки, воспринимают сдвигающие и растягивающие силы, действующие в их срединной поверхности. Незамкнутая цилиндрическая оболочка хорошо работает на растяжение вдоль образующей (риса) и на сдвиг (рис. 10, б) под действием усилий, распределенных вдоль ее краев Рис. Рис. Замкнутая осесимметричная оболочка способна воспринимать внутреннее давление р (риса) и крутящий момент М к рис. 11, б). В первом случае стенка оболочки работает на растяжение в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Напряжения ? 1 , и ? 2 , возникающие в элементе abcd, показаны на рис. 11, а. Во втором случае крутящий момент вызывает появление касательных усилий q, которые образуют в поперечном сечении замкнутую цепочку стенка оболочки работают на сдвиг (см. элемент сна рис. 11, б). Замкнутая цепочка сил, лежащих в плоскости эквивалентна паре сил (см. теоретическую механику. Эта пара внутренних сил уравновешивает крутящий момент к приложенный к оболочке. Если оболочка незамкнутая, то сдвигающие силы, действующие в срединной поверхности оболочки, не образуют замкнутой цепочки и не приводятся к паре сил. Они не могут уравновесить крутящий момент М к Незамкнутые оболочки не могут работать на кручение. Небольшой крутящий момент, действующий на незамкнутую оболочку, вызывает большие напряжения и большие углы закручивания. Плохая работа тонкостенных оболочек на изгиб объясняется появлением сжимающих напряжений и местной потерей устойчивости (смятием) сжатой зоны оболочки (рис. 12. в Рис. Использование тонкостенных оболочек ставит перед конструктором задачу о рациональной передаче на конструкцию сосредоточенных сил. Непосредственное приложение сосредоточенных сил к оболочке недопустимо, так как ведет к большим местным деформациями разрушению оболочки (риса и б). Места соединения оболочек или точки прикрепления к оболочке каких- либо грузов и агрегатов приходится усиливать с помощью стержней или рам (лонжероны, стрингеры, нервюры, шпангоуты Основные принципы соединения простейших элементов в силовую схему. ОБРАЗОВАНИЕ УЗЛОВ. Для создания рациональной силовой схемы ЛА необходимо добиваться такого взаимного расположения и соединения простейших силовых элементов, при котором каждый из них выполняет свойственную ему функцию, а конструкция в целом обладает требуемой прочностью и жесткостью. В дальнейшем, пренебрегая второстепенными напряжениями, которые могут возникать в конструктивных элементах благодаря различию между идеализированной схемой и реальной конструкцией, будем считать, что стержни могут воспринимать только растяжение или сжатие, балки – только изгиб (поперечный или продольно-поперечный), тонкие стенки – сдвига трубы и замкнутые оболочки – кручение и внутреннее (или внешнее) давление. В конструкции перечисленные элементы соединяются таким образом, чтобы обеспечить нормальную работу силовой схемы для всех возможных случаев нагружения. Сосредоточенные силы действуют в узлах, соединяющих между собой отдельные части конструкции, или в местах прикрепления к конструкции каких- либо грузов, приборов или агрегатов. В точках приложения сосредоточенных сил приходится создавать конструктивные узлы, способные воспринять силу и распределить ее по тонкостенным элементам конструкции. Всякая авиационная конструкция имеет ограниченное количество точек (узлов), способных воспринимать сосредоточенные силы. Конструктивные элементы, подкрепляющие узел, при расчете заменяются соответствующей системой стержней. Плоский узел. Неподвижное прикрепление материальной точки в плоскости требует как минимум двух стержней, оси которых не лежат на одной прямой. Точка в плоскости имеет две степени свободы. Каждый стержень представляет собой связь, уничтожающую одну степень свободы. Точка А (риса, прикрепленная стержнями АВ и АС, оси которых составляют угол a, будет неподвижной в том смысле, что сила Р, лежащая в плоскости АВС, может вызвать лишь малые перемещения точки Аза счет деформации прикрепляющих стержней. Усилия в стержнях АВ и АС находятся по правилам статики составление двух уравнений равновесия точки А под действием данной силы Р и двух неизвестных усилий N A ив прикрепляющих стержнях графически, путем построения силового треугольника (рис. 13, били параллелограмма сил. Зная усилия в стержнях, можно подобрать их сечения так, чтобы напряжения и упругие деформации стержней находились в допустимых пределах. Из силового треугольника рис. 13, б видно, что величины усилий в стержнях зависят не только от силы Р, но и от угла a между стержнями. Изменяя угол ? , можно убедиться, что при очень острых (близкий к нулю) и очень тупых углах (близких к 180°) усилия в стержнях будут намного больше силы Р. Для обеспечения прочности и жесткости необходимо ставить стержни с большой площадью поперечного сечения, имеющие большой вес. В связи с этим в реальных конструкциях избегают углов, близких кили к При ? = 0° и ? = 180° оси стержней лежат на одной прямой (рис. 13, в), усилия в стержнях теоретически стремятся к бесконечности. Прикрепление узла оказывается мгновенно подвижным (мгновенно изменяемым. Пространственный узел. Плоский узел может воспринимать только силы, лежащие в его плоскости. Произвольно направленные силы можно прикладывать только к узлам, неподвижно закрепленным в пространстве. Материальная точка в пространстве имеет три степени свободы, и для ее закрепления необходимы три стержня, не лежащие водной плоскости (три связи, аннулирующие все степени свободы). На рис. 14 показан пример пространственного узла, к которому приложена произвольно направленная сила Р. Рис. Рис. 14 Как и для плоского узла углы между стержнями АВ, АС и AD не должны быть близки кили к 180°. Если все три стержня лежат водной плоскости, то мы имеем плоский статически неопределимый узел. В плоскости имеется один лишний стержень, и усилия в стержнях не могут быть найдены из условий равновесия. В направлении, перпендикулярном плоскости, узел является изменяемыми не может воспринимать никакой нагрузки. Усилия в стержнях пространственного узла находятся из трех уравнений равновесия точки Ас учетом действия внешней силы и неизвестных реакций стержней. Составив уравнения проекций всех сил, действующих на узел, натри взаимно перпендикулярные оси, получаем систему трехлинейных уравнений стремя неизвестными усилиями в прикрепляющих стержнях. Графический метод нахождения усилий сводится к последовательному разложению силы Р на составляющую P 1 , действующую в плоскости каких- либо двух стержней, и на усилие в третьем стержне. Составляющая P 1 раскладывается по направлениям остальных двух стержней. Пример: Сила Р, действующая на узел А (риса, может быть разложена на P 1 ирис, басила, лежащая в плоскости АВС и направленная вдоль линии АЕ, раскладывается на составляющие N AB ирис, в. Расчет сводится к двукратному построению силового треугольника (либо параллелограмма сил). Рис. 15 15 3. ПРИКРЕПЛЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ. Для неподвижного прикрепления плоского твердого тела (диска) в его плоскости достаточно трех стержней, оси которых не пересекаются водной точке (рис. 16, а). Если же стержни расположить неправильно, так, что их оси пересекутся в некоторой точке О (рис. 16, б, то они не будут в состоянии аннулировать три степени свободы диска в плоскости (возможен поворот диска вокруг точки Она малый угол). Прикрепление по схеме рис. 16, б недопустимо. Параллельность стержней можно рассматривать как предельный случай пересечения, когда точка пересечения стержней удаляется в бесконечность. Прикрепление диска тремя параллельными стержнями также является мгновенно изменяемым прикреплением (рис. 16, в). Рис. Усилия в стержнях определяются из уравнений равновесия диска под действием заданной нагрузки Р и искомых реакций стержней. Чтобы избежать решения системы трех уравнений стремя неизвестными, составляем уравнения моментов относительно точек пересечения каждой пары стержней. Рассечем прикрепляющие стержни и заменим их действие на диск неизвестными силами N 1 , N 2 , N 3 рис. 17, а). Усилие N 1 находится из уравнения моментов относительно точки А, где пересекаются стержни 2 и 3: N 1 r 1 – Р р = 0 r р – плечо силы Р – плечо усилия Аналогично усилия в стержнях 2 и 3 находятся из уравнений моментов относительно точек В и СВ том случае, когда одна из точек попарного пересечения прикрепляющих стержней оказывается за пределами чертежа, т.е. когда пара стержней параллельна или почти параллельна, соответствующее уравнение моментов заменяется уравнением проекций сил на ось х или у Рис. Если в результате расчета значения усилий в стержнях оказываются бесконечно большими или неопределенными, то это свидетельствует об изменяемости прикрепления. Твердое тело в пространстве обладает шестью степенями свободы тремя степенями свободы поступательного перемещения вдоль трех осей, не лежащих водной плоскости, и тремя степенями свободы вращения относительно этих осей. Для неподвижного прикрепления твердого тела необходимо и достаточно наличие шести стержней, оси которых невозможно пересечь одной прямой (параллельность рассматривается как пересечение в бесконечно удаленной точке). Если существует прямая, пересекающая все шесть стержней, то она является мгновенной осью вращения тела и прикрепление оказывается мгновенно изменяемым. Реакции стержней, проходящих через мгновенную ось, не могут препятствовать вращению тела вокруг этой осина малый угол. Возможно бесчисленное количество вариантов размещения прикрепляющих стержней. Два частных случая неизменяемого прикрепления, удобные для практического использования. а) Три стержня лежат водной плоскости S, а три стержня образуют пространственный узел А (фигне лежащий в плоскости В этом случае нельзя провести прямую, пересекающую все шесть стержней. Если предположить, что такая прямая лежит в плоскости S и пересекает стержни, 2, 3, то она не может пройти через точку Аи, следовательно, пересечь стержни, 5, 6. Наоборот, если прямая пересекает стержни 4, 5, 6, те. проходит через точку А, то она не может лежать в плоскости S и пересечь все остальные стержни. Рассмотренное прикрепление сводится к неподвижному закреплению в плоскости S диска, принадлежащего твердому телу (заштрихованного на рис. l8, a), и к закреплению точки А этого же тела. б) Стержни пересекаются попарно и точки их пересечения не лежат на одной прямой (рис. 18, б В этом случае также не существует прямой, пересекающей одновременно все шесть стержней, и прикрепление будет неизменяемым. Можно брать пары стержней не пересекающиеся, а параллельные, лишь бы не оказалось четырех параллельных стержней. При соединении деталей и агрегатов авиационного двигателя ив случае прикрепления двигателя к корпусу ЛА необходимо учитывать неизбежность температурного расширения сильно нагретых деталей двигателя, которое при неправильном закреплении может привести к появлению нежелательных температурных напряжений. Тепловое расширение происходит одновременно в радиальном (расширение поперечного сечения) и осевом (продольное расширение) направлениях. Прикрепление нагревающихся элементов должно быть статически определимым, чтобы не препятствовать их свободному расширению. Пример: Неизменяемое прикрепление двигателя к самолету (рис. 18, б) Узлы Аи Вне препятствуют расширению тела в радиальном направлении, так как стержни 1, 2 и 3, 4 могут попарно поворачиваться относительно осей, проходящих через шарниры, прикрепляющие их к фюзеляжу самолета. Продольное расширение также не вызовет появления температурных напряжении, а приведет к повороту прикрепляющих стержней 5, 6 и к продольному смещению узла С. Примеры ошибочного расположения стержней, не обеспечивающего неизменяемость прикрепления а) Недопустимо расположение четырех стержней водной плоскости S (рис. В этом случае, как бы ни были расположены остальные два стержня 5 и всегда найдется прямая АВ, пересекающая все шесть стержней и являющаяся мгновенной осью вращения тела. Эта прямая проходит через точки Аи В пересечения осей стержней 5 и 6 с плоскостью S. Если стержни 5 и 6 параллельны плоскости S, то мгновенной осью вращения тела является любая прямая, лежащая в плоскости S и параллельная стержнями Рис. 18 б) Четыре стержня пересекаются водной точке А, остальные два расположены произвольно (фиг 19, б). Через точку Аи каждый из стержней 5 и 6 можно провести две плоскости, которые пересекутся по некоторой прямой, проходящей через точку А Эта прямая пересечет все шесть стержней и будет мгновенной осью вращения. в) Стержни лежат в двух плоскостях S и Q (фиг 19, в). Линия пересечения плоскостей S и Q является осью, пересекающей все шесть стержней. При параллельности плоскостей S и Q мгновенная ось вращения расположена в бесконечности. Тело испытывает мгновенное поступательное пе- ремещение. г) Четыре стержня параллельны, остальные два расположены произвольно (рис. 19, г) Через каждый из двух последних стержней можно провести плоскости, параллельные остальным четырем стержням. Эти плоскости пересекутся по прямой, параллельной четырем стержнями пересекающей два непараллельных стержня. Если плоскости окажутся параллельными друг другу, то мгновенная ось вращения удалится в бесконечность и вместо мгновенного поворота тело будет испытывать мгновенное поступательное перемещение. Рис. 19 д) Прикрепляющие стержни пересекаются потри в двух точках Аи В (рис, д). Прямая АВ пересекает все шесть стержней и является мгновенной осью вращения. Мгновенно изменяемая конструкция не является механизмом в полном смысле этого слова, так как малый поворот тела приводит к изменению направлений стержней, после чего дальнейшее перемещение становится невозможным. Для изменяемого прикрепления характерны значительные (перемещения и большие усилия в стержнях, вызываемые ничтожной нагрузкой. Для вычисления усилий в шести стержнях, прикрепляющих твердое тело, используются шесть условий равновесия тела под действием заданной нагрузки и неизвестных реакций стержней. Для упрощения системы уравнений оси выбирают так, чтобы они пересекали пять стержней из шести. Составив сумму моментов сил относительно такой оси, получаем значение усилия в шестом стержне. Ось, пересекающая пять из шести стержней, всегда существует, но практически найти ее непросто. Поэтому обычно сначала вычисляют усилия в нескольких (в трех или четырех) стержнях, используя уравнения моментов относительно осей, которые найти нетрудно, а усилия в остальных стержнях находят из уравнений проекций всех сил натри взаимно перпендикулярные оси. Пример: В случае прикрепления (риса, усилие в стержне 3 находится из суммы моментов сил относительно оси, проходящей через точку Аи точку пересечения стержней 1 и 2. Ось для вычисления усилия в стержне 1 проходит через точку Аи точку пересечения стержней 2 и 3. Усилие в стержне 2 определяется из уравнения моментов сил относительно оси, проходящей через точку А параллельно стержнями. Зная силы N 1 , N 2 , N 3 , вычисляем усилия в остальных трех стержнях, используя три уравнения проекций на оси х, у, z. 20 4. СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ В строительной механике стержневых систем обычно рассматриваются только системы, перемещения и деформации которых являются однородными функциями внешних сил. Задача расчета стержневых систем: при заданных геометрической схеме и внешних нагрузках — определить внутренние силовые факторы — и перемещений элементов системы. Стержневая система, относительные перемещения частей которой невозможны без деформации называется геометрически неизменяемой. Стержневые системы делятся на фермы и рамы в зависимости от типа связей вместе соединения отдельных стержней. Фермой называется геометрически неизменяемая система, в которой стержни в узлах между собой соединяются шарнирно. Внешние силы приложены только в узлах, вследствие чего стержни в ферме работают на растяжение и сжатие. Геометрически неизменяемая стержневая система, в которой элементы в узлах соединены жестко, вследствие чего стержни работают на изгиб или на кручение (сдвиг, называется рамой. Силы в раме могут прикладываться в любом сечении. Фермы состоят из стержней и узлов, соединяющих между собой стержни. На практике идеальных ферм почти нет, т.к. стержни в ферменных конструкциях соединены между собой не шарнирно (сварка или клейка. Для простоты — считаем шарнирно. Фермы нагружаются внешними усилиями в узлах. Ферма может быть плоской и пространственной. Конструктивная схема переходного отсека типа фермы — стыковой шпангоут — стержень (труба) фермы Схема нагружения переходных ферм конической (аи цилиндрической (б) формы Переходный отсек состоит из фермы и проставки. Ферма соединяет первую ступень со второй и обеспечивает свободный выход газов при запуске двигателей второй ступени. Ферма образована стальным шпангоутом швеллерного сечения и крестовинами, закрепленными на нем болтами. Крестовины двутаврового сечения, отштампованы из алюминиевого сплава В. Шпангоут и крестовины имеют теплозащитное покрытие. Проставка клепаной конструкции, включает два шпангоута и обшивку, выполненные из сплава В. Верхний шпангоут проставки служит опорной поверхностью при транспортировке центрального блока. Схема нагружения ферменного крепления двигателя. Прикрепление ферм. Типы опор Опоры фермы могут быть двух типов: а) — шарнирная неподвижная (возникает нормальная и касательная реакции); б) — подвижный шарнир (возникает только нормальная реакция) (см. рисунок Элементарной геометрически неизменяемой системой является треугольник. Для присоединения каждого нового узла нужны два стержня, не расположенные на одной прямой. Для присоединения узла 4 к треугольнику 1-2-3 достаточно стержней и 3-4; для присоединения узла достаточно стержней 4-5 и 3-5 и т.д. Для образования фермы, имеющей k узлов к основному треугольнику присоединяются n – 3 узла, каждый двумя стержнями. Еще три стержня образуют основной треугольник. Такие системы называются простейшими. Между количеством узлов n и количеством стержней m существует зависимость = 2 (n – 3) + или m = 2n – Соединение узла с другим стержнем приведет к перемещению узла только за счет растяжения стержня. Система из n свободных точек на плоскости будет иметь 2n степеней свободы. Каждый стержень, соединяющий точки друг с другом (или крепящий систему к основанию (уменьшает число степеней свободы на 1. Общее число степеней свободы плоской стержневой системы будет равно = 2n – S – в число n не включаются узлы на концах опор). Это необходимое, но недостаточное условие обеспечения геометрической неизменяемости системы. Система, которая может менять свою форму без удлинения стержней, называется геометрически изменяемой Для геометрически неизменяемой системы Если W = 0 — она статически определимая. (Для определения внутренних сил в каждом стержне достаточно уравнений равновесия) То. для статически определимых геометрически неизменяемых плоских систем 2n = S + Сложные системы образуются из простейших путем замены в них стержней, либо соединением между собой двух или нескольких простейших систем (с помощью стрех соединирельных стержней, которые не должны пересекаться водной точке или быть параллельными). Минимальное число стержней геометрически неизменяемой системы, не имеющей креплений к основанию, равно S = 2n – 3. Если S < 3n – 3, система будет геометрически изменяемой Статически неопределимой системе соответствует условие S > 2n – Для пространственной системы стержней число степеней свободы = 3n – S – Минимальное число стержней, требуемое для закрепления системы, равно шести (S 0 = Необходимое условие геометрической неизменяемости и статической определимости без учета опорных связей при W = 0 имеет вид = 3n – Если S > 3n – 6, то ферма статически неопределима. При S < 3n – 6 связей не хватает для того, чтобы система была геометрически неизменяемой. Усилия в этих стержнях (реакции) могут быть определены при помощи уравнений равновесия. Для этого приравняем к нулю сумму всех сил, действующих на ферму, включая и реакции х — проекция действующих сил на ось Х; у i — проекция действующих сил на ось У. Реакции в точках опоры фермы определяются точно также, как если бы вместо фермы была балка. Статически определимая фермата, в которой нельзя отбросить ни одного стержня без того, чтобы она не превратилась в механизм (те. отдельные части фермы смогут перемещаться друг относительно друга). Статически неопределимая ферма — та, которая после удаления отдельных стержней не превращается в механизм. Пример: рамка с двумя раскосами. Такие фермы широко применяются в конструкциях. Более живучи, т.к. разрушение отдельных стержней не влечет за собой разрушения фермы. Крепление звездообразного двигателя — 8 стержней, хотя достаточно 6-ти (3 не параллельны друг другу). Расчет статически неопределимых ферм сложен. В статически определимых фермах имеется определенная зависимость между числом стержней и числом узлов. Расчет ферм заключается в определении сил, действующих во всех стержнях. Стержни фермы работают только на растяжение сжатие, т.е. нагружаются со стороны узлов только осевыми силами. Поперечными силами стержни фермы со стороны узлов нагружаться не могут 0 0 = + = + = + ? ? ? Pi Ri yi i xi i M M R y R x Рассмотрим произвольный стержень АВ. Предположим, что на данный стержень со стороны узла А действует не только осевая сила S x , но и поперечная S y . Тогда для равновесия стержня в узле В должны быть приложены силы y B y x B x S S ; S S ? = ? = и момент МВ = S y · l . Но т.к. узел В — шарнир, то момент в нем возникнуть не может, а, следовательно, на узел Ане может действовать сила S y 4.2. Определение усилий в стержнях фермы Рассмотрим равновесие узлов фермы. Выделим какой-нибудь узел. К нему приложены силы со стороны стержней — Стержень сжат — силы к узлу, растянут — от узла. Т.к. узел находится в равновесии, то сумма всех сил, действующих на узел, включая и внешние нагрузки, равна нулю или: Примеры выполнения плоских и пространственных ферм 0 = + = = + = ? ? ? ? iy y ix x S P Y S P X S = 11; n = 7; система статически определима = 8; n = 6; система геометрически изменяема) S = 10; n = 6; система статически неопределима = 6; n = 4; ферма статически определима = 12; n = 6; ферма статически определима Отсюда следующие выводы. Если имеется ненагруженный узел фермы, в котором сходятся два стержня, то усилия в этих стержнях равны нулю. Узел В 0 0 1 2 = ? = ? ? ? S Y S X 2. Если имеется ненагруженный узел, в котором сходятся три стержня, из которых два лежат на одной прямой, а третий расположен к ним под углом, то усилие в третьем стержне равно нулю. Условие равновесия. Узел С ? = = 0 отсюда S 7 = Наиболее употребительными способами расчета ферм являются- способ вырезания узлов- способ сечения. Способ вырезания узлов Построен на том, что сумма всех сил, действующих на узел, равна нулю. Порядок расчета. Имеется ферма, размеры и внешние нагрузки известны. Из условия равновесия фермы (сумма всех сил и моментов, действующих на ферму, равна нулю) определить значения реакций 0 4 = + = + + ? ? x B B A P T ; P R R 0 = ? B M — сумма моментов всех сил относительно любой точки (напр. В) равна нулю. (Определение реакций производится также, как и для балки. Расчет начинаем с узла, в котором сходятся два стержня. (Выбираем узел Из условия ? X = 0 получим S 2 = 0; из условия ? Y = 0 получим S 1 = 0. 3. Переходим к узлу, где сходятся не более двух стержней с неизвестной нагрузкой. (узел VII). Из условия равновесия узла = S 11 ·sin ? ; S 7 = Направления S 11 и S 7 берем произвольно. Причисленном расчете получим знак « —» — выбрали неправильно 26 4. Переходим к следующему узлу (узел Из условий равновесия узла 0 10 11 3 10 Зная 11 S — находим значения сил и 3 S и т.д. Очень часто требуется определить действующие силы не во всех стержнях фермы, а только в нескольких. Определение сил этим методом — громоздко. Лучше использовать способ сечений. Он хорош для ферм, работающих как балки. Способ сечения Найдем значения усилий в стержнях А, В, С. Проведем сечение I —I, пересекающее три интересующих нас стержня. Под действием внешних сил отсеченная часть балки стремится переместиться вниз и повернуться. В сечении фермы как ив поперечном сечении балки должны возникнуть поперечная сила и изгибающий момент М изг. , препятствующие перемещению правой части фермы. Q и М изг. можно найти, рассмотрев ферму, как изгибаемую балку — поперечная сила, может восприниматься только стержнем В — подкосом, ткни усилия в стержне Ани в стержне Сне дают вертикальных составляющих. Момент же может восприниматься только усилиями, возникающими в стержнях Аи Св поясах балки. Определяем величины реакций (как для балки. Рассмотрим отсеченную часть балки. На нее действуют внешние силы, а также внутренние силы S A , S B , S C рассеченных стержней. Под действием всех сил отсеченная часть должна находиться в равновесии Уравнения равновесия 0 3 Сумму моментов удобнее брать относительно узла А 3 3 2 2 Из этих трех уравнений определяем силы, действующие в стержнях. В плоских фермах, работающих на изгиб, как балки, поперечная сила воспринимается раскосами и стойками, а изгибающий момент растяжением или сжатием стержней поясов. Пространственные фермы большей частью состоят из отдельных плоских ферм. При расчете пространственных ферм необходимо помнить, что каждая ферма воспринимает только нагрузки, действующие в плоскости фермы, т.к., в противном случаев стержнях фермы должны были бы возникать усилия, перпендикулярные осям стержней. Если в пространственной ферме в каком-либо ненагруженном внешней силой узле все стержни лежат водной плоскости и только один стержень не расположен в этой плоскости, то действующая в нем сила равна нулю 28 5. ОБРАЗОВАНИЕ ПЛОСКИХ ФЕРМИ ТОНКОСТЕННЫХ БАЛОК. Неизменяемые плоские конструкции, как уже отмечалось, способные воспринимать сосредоточенные силы, лежащие в их плоскости, могут быть созданы путем соединения стержней и дисков. Последовательно присоединяя узлы двумя стержнями, не лежащими на одной прямой, можно получить жесткую, геометрически неизменяемую конструкцию, способную воспринимать силы, приложенные в узлах, – плоскую ферму. Узлы фермы перенумерованы в порядке их последовательного наращивания от неподвижных точек Аи В (рис. 20). Т.к. каждый узел прикрепляется двумя стержнями, то общее количество стержней s плоской фермы, не считая стержня АВ и узлов Аи В, принадлежащих основанию, равно удвоенному количеству п узлов фермы = где s – число стержней фермы; п – число узлов фермы. Нагрузки, приложенные в узлах и лежащие в плоскости фермы, вызывают растяжение или сжатие стержней (на риса часть узлов не нагружена). Нагрузки, действующие на стержни фермы в промежутке между узлами (например, показанная пунктиром на риса сила Р) нежелательны, а подчас и недопустимы (они вызывают изгиб стержня, не предназначенного для работы на изгиб). Внеузловые нагрузки небольшой величины не могут вызвать разрушения фермы, но значительно снижают ее жесткость, т.к. изгиб стержня сопровождается большими взаимными перемещениями частей фермы, соединяемых этим стержнем. На риса показаны перемещения, вызванные изгибом стержня 1–3. Это явление можно устранить, создав дополнительный узел С с помощью добавочного стержня (стойки) С (рис. 20, б, передающего силу Р в узел 2 и тем самым предотвращающего изгиб стержня Рис. 20 Стойка С нагружается только силой Р. Остальные нагрузки фермы никакого влияния на этот стержень не оказывают (даже сила Р, приложенная в нижнем конце стойки). Если сила Р отсутствует, то усилие в дополнительном стержне С равно нулю. Плоская ферма должна конструироваться таким образом, чтобы все точки приложения сосредоточенных сил были бы связаны стержнями с основными узлами фермы. Определение усилий в простейших плоских фермах производится путем последовательного разложения узловой нагрузки на направления стержней, прикрепляющих этот узел к остальной части фермы. Расчет начинается с узла, прикрепленного двумя стержнями, который в процессе образования фермы является последним (узел 7 на риса. Для последующих узлов нагрузкой служит не только внешняя сила, но и ранее найденные усилия в стержнях, примыкающих к данному узлу. Например, для узла риса) нагрузкой является равнодействующая силы P 5 и усилий в стержня и 5–7, которые должны быть определены заранее из рассмотрения равновесия узлов 7 и 6. 14. Элементарной ячейкой плоской фермы является стержневой треугольник АВС (риса. Если этот треугольник зашить тонкой пластинкой, которая на рис, б показана штриховкой, то прочностная надежность и несущая способность (величина нагрузки, которую в состоянии выдержать конструкция не разрушаясь) практически не изменятся. Рис. Жесткость стержневого треугольника в его плоскости (при узловых нагрузках) намного больше жесткости тонкой пластинки. На долю пластинки придется лишь незначительная часть нагрузки. Пластинка не входит в силовую схему конструкции и если ставится, тоне с целью увеличения прочности, а из иных конструктивных соображений, например, для создания сплошной переборки, отделяющей один отсек от другого. Если элемент представляет собой четырехугольник, например, прямоугольник (риса) или трапецию (рис. 22, б, то при чисто стержневой конструкции его можно рассматривать как плоскую ферму, составленную из двух треугольных полей АВС и ACD (или соответственно EFH и FGH), а следовательно, геометрически неизменяемую. Диагональный раскос АС (либо FH) препятствует изменению формы четырехзвенника, образованного наружными стержнями Рис. Рис. 23 Функции диагонального раскоса может выполнять тонкая пластинка, соединенная со всеми четырьмя наружными стержнями (рис. 22, в и а) Четырехзвенник ABCD, стремясь под действием внешних сил превратиться в параллелограмм ABCD, нагружает пластинку сдвигающими усилиями, действующими вдоль ее краев. Рассмотрим прямоугольную тонкую пластинку, окантованную стержневым четырехзвенником и нагруженную по диагонали равными и противоположно направленными силами Р (риса. Каждый стержень оказывается нагруженным составляющими силы Р, равными хи. Эти силы уравновешиваются касательными усилиями q со стороны пластинки. Практически эти усилия можно считать постоянными на протяжении всего стержня. Отделим стержни от пластинки сквозными сечениями, заменим влияние отброшенных связей касательными усилиями q (рис. 23, б) и рассмотрим равновесие элементов. Проектируя на вертикаль все силы, приложенные к стержню, получим sin P q ; qb Сумма проекций всех сил, действующих на стержень AD, дает cos P q ; qb То, по краям элемента действуют равные по величине потоки касательных усилий, что соответствует закону парности касательных напряжений, известному из курса сопротивления материалов. Окаймляющие стержни испытывают действие продольных сил В рассматриваемом примере силы отрицательны, так как стержни работают на сжатие. Наибольшая продольная сила равна внешней силе, действующей вдоль данного стержня. Затем она постепенно уменьшается за счет противоположно направленных усилий q. Для построения эпюры N рассмотрим произвольное сечение стержня CD на расстоянии у от нижнего конца D (рис. 23, в) и просуммируем все усилия, сжимающие отсеченную часть стержня N = q • у. Таким образом, продольная сила в стержне CD меняется по длине линейно от нуля при y = 0 до N = q • b = Р sin ? в точке С. Эпюры N для остальных стержней строятся аналогично. Они изображены на рис. 23, б в виде заштрихованных треугольников. Знаки на эпюрах указывают на сжатие (минус. Растяжение отмечается знаком «плюс». Эпюры N показывают, как стержни постепенно передают сосредоточенную нагрузку на пластинку. В точке приложения силы последняя целиком воспринимается стержнем. Затем стержень постепенно разгружается, передавая нагрузку на пластинку в виде потока касательных усилий q. Соединяя между собой стержневые треугольники или четырехугольные тонкостенные панели, окаймленные стержнями, получают сложные неизменяемые плоские конструкции разнообразных форм (жесткие диски). Неподвижное прикрепление плоских ферми тонкостенных конструкций обеспечивается тремя стержнями, непересекающимися водной точке. Их расчет следует начинать с вычисления усилий в прикрепляющих стержнях. Порядок расчета прикрепленной фермы рассмотрим на примере схемы, показанной на рис. а. Сквозным сечением I–I отделяем ферму от опор и, рассматривая ее как плоский диск, вычисляем усилия N 1 , N 2 , N 3 в прикрепляющих стержнях. Ферма построена так, что и после определения реакций ее невозможно рассчитать по методу последовательного вырезания двухстержневых узлов. Ее можно рассматривать как соединение двух ферменных дисков стержнями 4, 5, 6 (рис, б). Проводим сквозное сечение II–II, вычисляем усилия N 4 N 5 , N 6 из условий равновесия одного из дисков. Затем вычисляем усилия в каждом из ферменных дисков (рис, в), нагруженных заданными силами и найденными усилиями в перерезанных стержнях. Здесь уже имеются двухстержневые узлы, начиная с которых можно провести расчет всех усилий Метод сквозных сечений весьма удобен в том случае, когда необходимо найти усилие в стержне фермы, далеко отстоящем от концевого двухстержневого узла. Пример. Для определения по методу вырезания узлов усилия в стержне 9–11 фермы, пришлось бы вычислить большое количество усилий, пока мы дошли бы до нужного стержня. Расчет не требует большой вычислительной работы, если провести сквозное сечение I–I и рассматривать равновесие правой части фермы, как плоcкого диска, прикрепленного тремя стержнями 9–11, 9–12, 10–12. Усилие N 9–11 находится из уравнения моментов в сил, действующих на правую часть фермы, относительно точки 12, в которой пересекаются два прикрепляющих стержня 9–12 и Сквозные сечения следует выбирать таким образом, чтобы пересечь не более трех стержней. КОНСТРУКЦИИ С ЛИШНИМИ СВЯЗЯМИ Неизменяемые конструктивные элементы и простейшие конструкции содержат минимально необходимое число связей для обеспечения неизменяемости. В силу этого они являются статически определимыми. Усилия в них определяются уравнениями равновесия. Удаление любой связи в такой конструктивной схеме приводит к ее разрушению, превращая ее в механизм. С целью повышения надежности и живучести конструкции применяются статически неопределимые схемы, содержащие большее количество связей, чем это необходимо для сохранения геометрической неизменяемости. Пример. Прикрепление узла в плоскости тремя и более стержнями, а в пространстве четырьмя (или более) стержнями является статически неопределимым. Разрушение одного стержня статически неопределимой конструкции может несколько уменьшить ее жесткость, ноне ведет к немедленному разрушению Ферма на риса, содержит 4 узла и 9 стержней. Минимально необходимое количество стержней для плоской фермы согласно равно s = 2n = 2·4 = Рассматриваемая схема содержит на один стержень больше и, следовательно, является один раз статически неопределимой. Разрушение одного стержня (АС или АВ), делает ферму статически определимой (рис, в разрушение еще одного стержня окончательно выводит конструкцию из строя. Лишние стержни в статически неопределимой системе не могут усилить конструкцию в целом, а усиливают лишь какую-то часть ее, в то время как остальная часть конструкции по-прежнему остается статически определимой и разрушение любого стержня этой части делает конструкцию механизмом. Ферма риса представляет собой статически неопределимый ферменный диск, прикрепленный тремя стержнями, те. статически oпpeдeлимым образом. Разрушение любого из стержней ЕС, DF, Сведет к разрушению конструкции (рис., г, хотя ферма ABCD остается при этом статически неопределимой Лишние связи применяются с целью местного усиления конструкции результат технологических особенностей конструкции (сварные узлы в фермах представляют элементы, поставленные не для увеличение прочности и жесткости, а из других конструктивных соображений. Здесь они обычно играют вспомогательную роль и воспринимают значительно меньшие усилия, чем основные элементы силовой схемы. Нахождение усилий в статически неопределимых системах требует решения системы канонических уравнений. Метод расчета известен читателю из курса сопротивления материалов. Реальные конструкции обычно содержат большое количество лишних связей (десятки, а иногда и сотни. Вычисление коэффициентов и свободных членов и решение системы канонических уравнений с большим числом неизвестных чрезвычайно трудоемкая работа, реально осуществимая лишь при помощи ЭВМ. Более практичным является приближенное определение усилий, при котором удается сильно упростить расчетную схему и свести к минимуму количество лишних неизвестных, пренебрегая теми связями, в которых заданная нагрузка не будет вызывать больших усилий. Усилия в элементах статически неопределимой системы зависят от жесткости элементов. Это свойство используется для упрощения расчетной схемы реальных конструкций. Пример. Под действием силы Р стержни, прикрепляющие узел, удлиняются неодинаково. Удлинения подчинены условию совместности деформаций. При фиксированном значении перемещения узла ? абсолютные деформации стержней зависят только от геометрической схемы узла, но относительные деформации стержней ? , а значит, и напряжения ? в стержнях будут зависеть от длины стержня: более длинный стержень легче вытянуть на туже величину ? , чем короткий Существенную роль играет также площадь поперечного сечения и модуль упругости материала стержней. Более толстый стержень труднее вытянуть на туже величину ? , чем короткий. Изменение жесткости стержней ведет к изменению величины силы Р, потребной для создания перемещения ? и к изменению усилий в стержнях узла. Жесткость стержня на растяжение k равна где Е – модуль упругости материала – площадь поперечного сечения – длина стержня. При постоянной силе Р изменение жесткости ведет к перераспределению усилий в стержнях и изменению величины ? полного перемещения узла. Для трехстержневого узла (риса) стержни которого имеют одинаковое сечение и сделаны из одинакового материала, распределение усилий зависит только от соотношения длин стержней, те – от угла Средний стержень короче боковых и усилие в нем всегда самое большое. При увеличении угла ? боковые стержни удлиняются и усилия в них уменьшаются. При ? , близких к 90°, вся нагрузка практически вocпpинимaeтcя средним стержнем, а усилия в боковых стержнях будут близки к нулю. Если считать угол ? , а значит, и все длины стержней неизменными, то перераспределения усилий можно добиться путем изменения площади сечения или модуля материала стержней. На рис, б показан узел сочень толстым средним стержнем и тонкими боковыми стержнями (последние изображены пунктиром. Ясно, что в этом случае сила Р целиком воспринимается средним стержнем, а боковые будут деформироваться под действием очень малых сил. Наоборот, увеличение сечения боковых стержней и уменьшение сечения среднего стержня (риса) ведет к нагружению боковых стержней и разгрузке среднего стержня, показанного пунктиром. В пределе, при бесконечно малой жесткости среднего стержня, получается статически определимый плоский узел, прикрепленный двумя боковыми стержнями Чем больше разница в жесткостях элементов статически неопределимой системы, тем больше различие в величине усилий, действующих в этих элементах. Обычно усилия в элементах малой жесткости оказываются пренебрежимо малыми по сравнению с нагрузкой жестких элементов, которые являются основными силовыми элементами статически неопределимой конструкции. При расчете реальной конструкции важно правильно выбрать расчетную схему, пренебрегая элементами, в которых действуют заведомо малые усилия. Таким способом удается сильно уменьшить степень статической неопределимости системы. Желательно, чтобы расчетная схема была статически определимой или, в крайнем случае, однажды статически неопределимой. Выбор расчетной схемы определяется не только размерами и формой элементов конструкции, но и способом ее нагружения. Изменение нагрузки изменяет и характер работы отдельных элементов. Поэтому одной и той же конструкции может соответствовать несколько расчетных схем. Для авиационных конструкций выработан ряд стандартных приемов, позволяющих упростить расчет без существенного ухудшения точности результа- тов. Разобранная классификация конструктивных элементов является одним из средств создания упрощенных расчетных схем. Она позволяет среди множества разнообразных элементов определить и выбрать такие, которые в основном выполняют какую-то определенную функцию: работают на растяжение (стержни, на изгиб (балки, на кручение (оболочки, валы), на сдвиг (пластинки) и т.п. О пределение в элементах любой авиационной конструкции разбивается натри этапа) выбор рациональной расчетной схемы, учитывающей как особенности самой конструкции, таки условия ее нагружения) расчет усилий в элементах схемы) экспериментальная проверка расчетных усилий на модели или на реальной конструкции. Первый этап. содержит в себе принципиальные трудности, так как для выбора правильной расчетной схемы необходимо ясно представлять назначение каждого силового элемента и особенности работы всей конструктивной схемы в целом. На этом этапе расчета большую помощь инженеру оказывает сравнительный анализ работы ранее выполненных и надежно функционирующих конструкций, а также экспериментальное изучение напряжений на моделях. На втором этапе используются методы строительной механики, в узком смысле слова, как науки, разрабатывающей приемы вычисления усилий в балках, оболочках и системах, состоящих из стержней и пластинок. Эти методы опираются на статику и теорию расчета статически неопределимых систем, известную из курса сопротивления материалов. Напряжения, получаемые в результате второго этапа расчета, служат критерием правильности размеров, предварительно определенных на первом этапе конструирования грубо приближенными методами. Они выявляют наличие слабых мест или недогруженных элементов конструкции и позволяют внести необходимые коррективы. Третий этап (экспериментальное определение напряжений на модели или натурной конструкции) совершенно необходим для окончательного установления прочностной надежности и целесообразности конструкции летательного аппарата. Стремление к максимальному облегчению всех агрегатов заставляет сводить к минимуму коэффициент запаса прочности, и поэтому неточности, допускаемые при составлении расчетной схемы, могут превзойти величину, покрываемую коэффициентом запаса. Действительное распределение напряжений может оказаться таким, что отдельные элементы будут перегружены и надежность конструкции окажется недостаточной. Проведение испытаний либо убеждает в правильности расчета, либо подсказывает пути улучшения конструкции 38 1. ОПРЕДЕДЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ. Основные допущения Рассмотрим тонкостенную конструкцию, которая в естественном незагруженном состоянии имеет форму цилиндрической оболочки. Поверхность, делящую пополам толщину оболочки, условимся называть срединной поверхностью. Пересечение этой поверхности с плоскостью поперечного сечения будем называть средней линией сечения (штрихпунктирная линия на рис. Материал, из которого изготовлена оболочка, и ее толщина могут быть различными по контуру сечения, но вдоль продольной оси Z оболочки будем считать их неизменяющимися. Материал предположим идеально упругим, подчиняющимся закону Гука при любых деформациях. Полагаем, что конструкция имеет достаточное количество поперечных диафрагм (нервюр), жестких в своей плоскости. Благодаря этому форма поперечного сечения при нагружении оболочки не изменяется. Толщину оболочки считаем достаточно малой, что позволяет принять нормальные и касательные напряжения равномерно распределенными по толщине. Примем следующее допущение о характере деформаций конструкции. Будем считать, что относительные удлинения e zz волокон обшивки в направлении оси Z подчиняются закону плоскости zz = ax + by + c , (где x и y – декартовы координаты точек средней линии сечения (плоскость ХО, совпадает и плоскостью сечения). Если от плоскости поперечного сечения отложить в направлении оси вектора, равные относительной дефор1лации e zz в данной точке средней линии сечения, то согласно принятому допущению концы векторов будут лежать водной плоскости (рис. Рис. 1.1 Рис. 1.2 1. 2. Определение нормальных напряжений в сечении тонкостенной конструкции Рассмотрим тонкостенную конструкцию с произвольным однозамкнутым (круговую цилиндрическую оболочку) контуром поперечного сечения (рис. Рассечем мысленно оболочку на две части плоскостью, перпендикулярной к ее образующим, одну часть отбросим и рассмотрим силы, с которыми эта часть конструкции действует на оставшуюся. Пусть в этом сечении изгибающие моменты Мхи М у , а также нормальные усилия известны. Рис. 1.3 Выделим в плоскости ХО бесконечно малый элемент поперечного сечения длиной ds. При изгибе конструкции в поперечном сечении возникают нормальные напряжения ? . Так как напряжения по толщине оболочки постоянны, то равнодействующая dN z нормальных усилий в пределах выделенного элемента ds будет равна = ?? ds , (где ? – нормальное напряжение в элементе, ? – толщина оболочки. Сила dN z даст относительно оси x элементарный момент, равный dM x = ? y ? ds , (Проинтегрировав правую часть последнего равенства по всему сечению, получим момент внутренних усилий относительно оси X. Он должен быть равен изгибающему моменту в сечении x ds y M . (Аналогично рассуждая, получим для изгибающего момента относительно оси равенство ds x M . (Равнодействующая всех нормальных усилий будет равна z ds N . (Для определения нормальных напряжений воспользуемся законом Гука: ? = E ? zz . (Здесь E – модуль упругости материала оболочки. Если конструкция изготовлена из различных материалов, то модуль упругости для разных участков сечения не будет одинаковым. Для удобства дальнейших рассуждений приведем все элементы сечения к одному материалу с модулем упругости Е , для чего равенство (1.7) перепишем в следующем виде 0 . (Отношение истинного модуля материала Е к модулю E 0 назовем редукционным коэффициентом (коэффициентом приведения) и обозначим его через ? : 0 E E = ? . (1.9) Тогда равенство (1.8) можно записать иначе . (Подставив в последнее равенство ? zz из формулы (1.1), получим = ? E 0 (ax + by + c) = ? (Ax + By + C) , (где A = aE 0 , B = bE 0 , C = cE 0 – некоторые константы. Отметим, что произведение + by + c) = ? r . (есть, очевидно, напряжение в волокне, если бы оно было изготовлено из материала с модулем упругости Е 0 Тогда можно записать = ?? r (Условия для определения констант А, В, С можно получить из равенств. Подставив в них выражения (1.11) для нормального напряжения, будем иметь у x A N , ds x C ds у x A M , ds y C ds у xy A M z y x ? ? + ? ? + ? ? = ? ? + ? ? + ? ? = ? ? + ? ? + ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? l l l l l l l l l 2 2 (Проанализируем полученные выражения. Используя зависимости (и (1.13), можно записать l ds ds N r откуда следует, что произведение ?? ds представляет собой площадь сечения элемента, изготовленного из материала с модулем упругости Е и работающего с напряжениями ? r . Величину ?? ds = dF r будем называть приведенной к модулю упругости Е площадью элемента. Тогда интеграл можно назвать приведенной к модулю Е площадью поперечного сечения. Индексом r будем отмечать другие геометрические характеристики приведенного сечения. Так, например, интегралы ? ? y ds S rx = ? l , ? = ? ? l ry S ds x представляют собой статические моменты, а ? = ? ? l rx I ds y 2 , ? = ? ? l ry I ds x 2 , ? = ? ? l rxy I ds xy – моменты инерции приведенного сечения относительно осей Хи Значения статических моментов и моментов инерции зависят как от геометрии поперечного сечения, таки от выбранной системы координат. Если начало координат совпадает с центром тяжести приведенного сечения, то статические моменты S rx и S ry обращаются в нуль. Если, кроме того, оси Х и Y направлены по главным осям инерции приведенного сечения, то центробежный момент инерции I rxy = 0. В этом случае из равенств (имеем r rx x ry y F N C , I M B , I M A = = = . (Подставляя (1.15) в (1.11), получим следующую окончательную формулу для определения нормальных выражений z rx x ry y F N y I M x I M . (Если все элементы конструкции изготовлены из одного материала, то редукционный коэффициент ? = 1, и мы приходим к известной формуле сопротивления материалов для нормальных напряжений при косом изгибе и растяжении бруса. Приведенный метод определения нормальных напряжений называется методом редукционных коэффициентов. Метод был предложен известным кораблестроителем Бубновым И.Г. Здесь нами рассмотрен простейший вариант метода Бубнова, когда материал конструкции подчиняется закону Гука. По формуле (1.16) можно определить напряжения в тонкостенных конструкциях с разомкнутым, однозамкнутым и многозамкнутым контуром поперечного сечения Пример расчета нормальных напряжений в тонкостенной конструкции Пусть требуется определить нормальные напряжения в тонкостенной конструкции швеллерного типа от действия изгибающего момента M x (рис. 1,4). Точка O совпадает с центром тяжести поперечного сечения, оси хи являются главными центральными осями инерции из-за симметрии сечения. Так как конструкция изготовлена из одного материала, редукционный коэффициент ( ? = Рис. Момент инерции можно представить в виде суммы моментов инерции отдельных частей сечения: где – момент инерции вертикальной стенки, а – момент инерции горизонтальной полки. Тогда, (1.17) Вычисления по формуле (1.16) приведут к эпюре напряжении, представленной на рис. Максимальные напряжения будут иметь место в точках контура со значением y = a/2. При M x = 1·10 5 Нм, ? = 0,2 см, a = см, b = 20 см они станут равными ? max = 353 Мпа. I I I x x x = + ' '' 2 I a x ' = ? 3 12 I ba x '' = ? 2 4 I a ba a b a b x = + = + ? ?? ? ?? ? ? ? 3 2 2 12 4 2 44 1.4. Нормальные напряжения в тонкостенных конструкциях, подкрепленных продольным набором Реальные авиационные конструкции имеют, как правило, продольные силовые элементы – лонжероны, стрингеры. Продольные элементы (пояса) занимают небольшой участок поперечного сечения. В связи с этим можно считать, что сечение представляет собой тонкостенный контур, в ряде точек которого расположены как бы некоторые сосредоточенные площади (рис. Рис. В пределах каждого элемента нормальные напряжения ? i можно считать постоянными. Тогда нормальное усилие в поясе с номером i будет N i = ? i F i , при этом равнодействующая всех нормальных усилий, и изгибающие моменты в сечении конструкции будут равны: (1.18) (1.19) (1.20) Чтобы поручить формулу для вычисления нормальных напряжений, необходимо повторить вывод, аналогичный изложенному в учитывая, что напряжения в оболочке ив поясах ( ? и ? i . соответственно) определяются в соответствии с плоским законом распределения деформация ds y F M x ds x F z i i i n x i i i i n y i i i i n = + = + = + ? ? ? ? ? ? = = = ?? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 ( ) ( ) ? ? ? ? = + + = + + Ax By C Ax By C i i i i Подставляя зависимости (1.21) ив равенства (придем к следующей окончательной формуле: (1.23) Полученная формула имеет такой же вид, как и для неподкрепленной конструкции. При вычислении приведенной площади F r и моментов инерции необходимо учитывать продольные элементы. Для конструкции на рис. 1.6, будем иметь – площадь поперечного сечения элемента продольного набора – число продольных элементов. По мере уменьшения толщины обшивки доля изгибающего момента, воспринимаемого оболочкой, уменьшается. Чем мощнее пояса, тем большую часть изгибающего момента они могут воспринять. В конструкции сочень тонкой обшивкой доля изгибающего момента, воспринимаемого ею, становится настолько незначительной, что можно работой обшивки пренебречь. Тогда при вычислении приведенных моментов инерции и площадей можно учитывать только площади сечений продольных поясов, те ? = + + ? ? ? ? ? ? M I y M I x N F x rx y ry z r F ds F I y ds y F r i i i n r x i i i i n = + = + ? ? ? ? = = ?? ? ? ? ? 1 2 2 1 I y F I x F F F r x i i i i n r y i i i i n r i i i n = = = = = = ? ? ? ? ? ? 2 1 2 1 1 П. Расчёт касательных напряжений. Касательные напряжения в тонкостенных конструкциях с открытым контуром поперечного сечения Будем полагать, что поверхность оболочки свободна от касательных сил, действующих в направлении оси Z. Если бы такие силы действовали на поверхности, то, согласно принципу парности касательных напряжений, вектор касательного напряжения в сечении вблизи поверхности ? z имел бы составляющую, нормальную к поверхности (рис. Отсутствие на поверхности оболочки внешних нагрузок, параллельных оси приводит к тому, что в поперечном сечении вблизи поверхности вектор касательного напряжения ? направлен по касательной к контуру сечения. Т.к. оболочка тонкая, то вектор касательного напряжения считают направленным по средней линии контура. Пусть требуется определить касательные напряжения в точке b поперечного сечения конструкции, представленной на рис. 2.2. Для простоты рассуждений полагаем, что имеет место только изгиб относительно оси Х. Тогда М х ? 0, Q y ? 0, M y ? 0, Q x = 0, N z = Оси Хи здесь ив дальнейшем – главные центральные оси поперечного сечения, приведенного к одному материалу. Рис. Рис. 2.1 При изгибе конструкции в ее элементах возникают нормальные напряжения. Обозначим равнодействующую нормальных усилий в площадке поперечного сечения через. В площадке cd равнодействующая нормальных усилий равна dz + ? ? ), т.к. отсечения к сечении изгибающий момент меняется. Равновесие выделенного элемента возможно лишь в том случае, когда в продольном разрезе bd действуют касательные напряжения. Как говорилось ранее, напряжения ? в тонкостенных конструкциях можно считать постоянными по толщине. Это позволяет оперировать не напряжениями, а погонными усилиями Т = ?? , приходящимися на единицу длины сечения. Спроектируем все силы, действующие на элемент abcd, на ось dz N Ndz + ? ?? ? ?? ? ? = ? ? 1 2 |