Решение Пусть событие клиент выбрал банк по показателю стабильность банка

• Название: Решение Пусть событие клиент выбрал банк по показателю стабильность банка
• Дата: 04.04.2022
• Размер: 370.98 Kb.
• Имя файла: 34420_2 (1).docx
• Тип: Решение; #442456

1. 
   Клиент выбирает банк для получения ипотечного кредита по нескольким показателям: стабильность банка, процентная ставка, условия досрочного погашения кредита. Статистика показывает, что клиенты данного банка удовлетворены первым показателем с вероятностью 0,7, вторым – с вероятностью 0,6, третьим – с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что клиент, обратившийся в банк, будет удовлетворен:
   

а) всеми тремя показателями;

б) только двумя показателями;

в) хотя бы одним из показателей?

Решение:

Пусть событие - клиент выбрал банк по показателю стабильность банка;

- клиент выбрал банк по показателю процентная ставка;

- клиент выбрал банк по показателю условия досрочного погашения.

По условию задачи: , , .

а) Пусть событие В – клиент выберет банк по всеми тремя показателями.



События - независимые события, тогда по теореме о вероятности произведения независимых событий, получаем:



б) Пусть событие С – клиент выберет банк только по двумя показателями;

, где события противоположные событиям .

По теоремам о вероятности суммы и произведения событий, получаем:



в) Пусть событие D – клиент выберет банк хотя бы одним из показателей.

Рассмотрим противоположное событие , противоположное событию D.

События D и образуют полную группу событий, т.е.

, где события противоположные событиям .

По теореме о вероятности произведения независимых событий, получаем:



Тогда вероятность события D равна:



Ответ: а) ; б) ; в) .

2. 
   Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы курса 4 студента, 6 из второй, и 5 студентов из третьей. Вероятности того, что отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,5, 0,4 и 0,2. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из указанных трех групп он вероятнее всего принадлежит?
   

Решение:

Пусть событие А – выбранный участник попал в сборную.

Введем гипотезы:

- выбран студент из -оц группы .

Всего 4+6+5=15 студентов. Тогда:

, , .

По условию задачи:

- вероятность того, что студент из первой группы попадет в сборную;

- вероятность того, что студент из второй группы попадет в сборную;

- вероятность того, что студент из третьей группы попадет в сборную.

По формуле полной вероятности вероятность того, что выбранный студент попадет в сборную равна:



По формуле Байеса найдем вероятность того, что попавший в сборную студент был из -ой группы :







Видно что вероятнее всего студент, попавший в сборную, из второй группы.

Ответ:

3. 
   В стопке из 6 книг 3 книги по математике и 3 по информатике. Выбирается наудачу три книги.
   

Составить закон распределения числа книг по математике среди отобранных.

Найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить функцию распределения.

Решение:

Случайная величина Х - число книг по математике среди отобранных.

Всего 6 книг 3 книги по математике и 3 по информатике.

Найдем вероятности.

- среди отобранных книг нет книг по математике.



- среди отобранных книг одна книга по математике.



- среди отобранных книг две книги по математике.



- среди отобранных книг три книги по математике.



Закон распределения имеет вид:

	0	1	2	3

Найдем математическое ожидание:

.

Найдем дисперсию:



Найдем среднее квадратическое отклонение



Составим функцию распределения и построим график:











Тогда:

4. 
   Случайная величина распределена по геометрическому закону с параметром . Найти:
   

а) ; б) ; в) .

Решение:

Т.к. случайная величина распределена по геометрическому закону, то

;

Тогда

а) по свойству математического ожидания:

;

б) по свойству дисперсии:



в) .

Функция распределения для геометрического распределения:





Ответ: а) ; б) ; в) .

5. 
   Случайная величина и имеют следующий совместный закон распределения: ; ; ; ; ; .
   

1. 
   Выписать одномерные законы распределения случайных величин и , вычислить математические ожидания , и дисперсии , .
   
2. 
   Найти ковариацию и коэффициент корреляции .
   
3. 
   Выяснить зависимы или нет события и .
   
4. 
   Составить условный закон распределения случайной величины и найти и .
   

Решение:

Сгруппируем исходные данные:

	-1	0	1
-1
0

1. 
   Выпишем одномерные законы распределения случайных величин и ,
   

Законы распределения имеют вид:

	-1	0
	0,5	0,5

	-1	0	1

Математические ожидания:





Дисперсии:

2. 
   Найдем ковариацию и коэффициент корреляции .
   

коэффициент корреляции :

3. 
   Выяснить зависимы или нет события и .
   

Т.к. , то события и - независимы.

4. 
   Составить условный закон распределения случайной величины и найти и .
   

Найдем вероятности:





Закон распределения имеет вид:

	-1	0
	0,5	0,5

Математические ожидания:



Дисперсии: