Семестровая работа №4 по аналитической динамике ЮУрГУ. Камалов А.В. П-329 Вариант№6 Задача №4. Решение Расчётная схема
![]()
|
![]() К ![]() Задача № 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБРАТНОЙ ФОРМЕ Условие задачи и варианты исходных данных Для одной из консервативных систем с двумя степенями свободы, изображенных в таблице 4.1 в положении равновесия, требуется: 1. Cоставить уравнения движения в обратной форме; 2. Определить собственные частоты и формы малых колебаний; 3. Проверить ортогональность собственных форм и изобразить их на графиках; 4. Найти законы движения во времени каждой из масс при свободных колебаниях системы с начальными условиями: ![]() 5. Изобразить найденный закон движения на графике, показать составляющие движения масс по каждой из собственных форм колебаний. Уравнения движения записать в обратной форме. При решении считать: а) положение равновесия устойчиво; б) массы являются точечными и могут перемещаться лишь в вертикальном направлении; в ![]() г) жесткость сосредоточенных упругих элементов и изгибная жесткость балок связаны: Решение: 1.Расчётная схема 2. Введём систему координат .Направим ось xгоризонтально , ось y – вертикально. 3.ЧСС ![]() 4 ![]() ![]() 5.Уравнения движения Отклонения q1 и q2 точек А и В от положения статического равновесия можно рассматривать как результат деформирования упругих элементов под действием прикладываемых к механической системе сил. Так как упругие элементы полагаются невесомыми, то силами, действующими на механическую систему, являются силы инерции движения масс m1 и m2 , которые прикладываются в точках А и В. ![]() ![]() ![]() 6 ![]() а)Изгибающая составляющая ![]() ![]() ![]() ![]() б)Пружинная составляющая ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Подставим найденные коэффициенты податливости в уравнения движения ![]() 7.Собственные частоты и собственные формы Решением системы однородных дифференциальных уравнений второго порядка являются тригонометрические функции времени: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для ![]() Подставим данные соотношения в уравнения (1),(2) и сразу сократим на cos(pt) П ![]() ![]() ![]() После замены получим : ![]() Заметим ,что система (4) имеет нетривиальное решение, если определитель матрицы коэффициентов равен нулю : ![]() ![]() ![]() Решая данное уравнение , получим значения ![]() ![]() Отсюда ![]() Соотношения амплитуд колебаний сосредоточенных масс на собственных частотах, то есть собственные формы, могут быть получены из любого уравнения системы (4). Воспользуемся, например, первым уравнением. Тогда: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() И матрицу собственных форм: ![]() 8.Проверка ортогональности собственных форм ![]() ![]() В силу погрешности (появившейся из-за округления), ответ не стал полностью нулевым,но проверка сработала ![]() И ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Элементы матрицы , не стоящие на главной диагонали , равны нулю , что подтверждает правильность решения системы. Чтобы определить амплитуду колебаний точки оси упругой балки в месте крепления упругого элемента С, следует учесть, что амплитуда колебаний массы m2 складывается из двух составляющих: первая составляющая вызывается деформацией балки, вторая – деформацией пружины: ![]() Удлинение пружины обусловлено действием силы инерции массы ![]() ![]() Для первой собственной формы ![]() Аналогично на второй собственной форме ![]() С ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 9. Свободные колебания Закон изменения во времени обобщенных координат при свободных колебаниях, обусловленных заданием ненулевых начальных условий, получим разложением движения механической системы по собственным формам: ![]() Для системы с двумя степенями свободы имеем ![]() Определим главные координаты рассматриваемой расчетной схемы. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() На графиках рис. а, б показаны изменения во времени обобщённых координат ![]() ![]() |