Пример решения задач. Решение Разделим оба уравнения на массу (М). Получим вторую стандартную форму записи ду Относительный коэффициент демпфирования (затухания) равен

• Название: Решение Разделим оба уравнения на массу (М). Получим вторую стандартную форму записи ду Относительный коэффициент демпфирования (затухания) равен
• Дата: 06.12.2022
• Размер: 406 Kb.
• Имя файла: Пример решения задач.doc
• Тип: Решение; #831165

Задание № А.1.

Определить критическую частоту вращения однодискового симметричного ротора, прецессионное движение которого описывается уравнениями:

;

Решение:

Разделим оба уравнения на массу (М). Получим вторую стандартную форму записи ДУ:



Относительный коэффициент демпфирования (затухания) равен: .

Собственная частота равна: .

С учётом обозначений:



Ротор является изотропным, т.е. во всех направлениях имеет одинаковые свойства (c_x=c_y=c).

Значит имеет место одна критическая частота вращения:

.

Задание № А.2.

Определить модуль и фазовый сдвиг вращения вектора прогиба статически неуравновешенного однодискового симметричного ротора, прецессионное движение которого при описывается уравнением ( ):

_.

Для упрощения вторую часть уравнения движения заменим силой F(t):

_.

Разделим обе части уравнения на массу (М). Представим уравнение во второй стационарной форме записи, вводим символ дифференцирования :

<sub>.

Коэффициент передачи: .</sub>



Для получения операторного уравнения воспользуемся преобразованием Лапласа:

.

Получим передаточную функцию:

.

Получим частотную передаточную функцию (ЧПФ) в исходной форме записи:

_.


По ЧПФ найдём фазовый сдвиг вращения вектора прогиба:

.

Соответственно



Модуль ЧПФ равен:





Модуль прогиба r равен:


Так как , то . Тогда



Задание № А.3.

Определить критические частоты вращения однодискового ротора, прецессионное движение которого описывается уравнениями:



Запишем вторую стандартную форму для каждого уравнения:

;

В данном случае ротор анизотропный, т.е. в разных направлениях имеет не одинаковые свойства.

Значит, .Будем иметь критические частоты:

;

.

Здесь всего две критических частоты. При этом и 1-я (наименьшая) и 2-я зависят от соответствующих коэффициентов жесткости.
Задание № А.4.

Оценить методами ТАУ динамическую устойчивость однодискового симметричного ротора, прецессионное вращение которого описывается уравнением ( ):

_.

Для упрощения вторую часть уравнения движения заменим силой F(t):

_.

Разделим обе части уравнения на массу (М). Представим уравнение во второй стационарной форме записи, вводим символ дифференцирования :

<sub>.

Коэффициент передачи: .</sub>



Для получения операторного уравнения воспользуемся преобразованием Лапласа:

.

П олучим передаточную функцию:

.
Проверка устойчивости:





Система устойчивая, т.к. по критерию Гурвица при _{ } необходимое условие устойчивости (а_i > 0, i = 0,1,2) также является и достаточным условием.
Задание № А.5.

Определить доступные рабочие частоты вращения однодискового симметричного ротора, колебания которого описываются уравнениями:



Так как ротор изотропный, т.е. , то имеет место одна критическая частота вращения

.

Соответственно допустимые рабочие частоты вращения:

- для жёсткого вала

- для гибкого вала

Задание № Б.1.
Получить уравнения состояния и выхода роторной машины, динамика которой описывается дифференциальным уравнением:



Вводя символ дифференцирования запишем уравнение во второй форме.



В форме Коши:

фазовые переменные –



Векторно-матричная форма:





.

Компактная форма:

,

Задание № Б.2.
Получить уравнения состояния и выхода роторной машины, динамика которой описывается системой дифференциальных уравнений:



Фазовые переменные:



Уравнение в форме Коши:



Векторно-матричная форма:





.

Компактная форма записи:

, .


Задание № Б.3.
Получить уравнения состояния и выхода роторной машины, динамика которой описывается передаточной функцией:



Получим из передаточной функции операторное уравнение:



Обратной формальной заменой s на p и функций-изображений на функции-оригиналы находится дифференциальное уравнение в символической форме записи:



Запишем уравнения состояния и выхода в компактном виде

- уравнение состояния:

;

<sub>- уравнение выхода

,

где

; ; ;</sub>

;.


Задание № Б.4.

Оценить устойчивость и качество роторной машины, динамика которой описывается системой дифференциальных уравнений:



Вводим символ дифференцирования – , и записываем уравнения в символическом виде:



Найдём операторные уравнения, воспользовавшись формальной заменой символа дифференцирования p на комплексную переменную s и функций-оригиналов на их изображения.



Преобразуем систему. Выразим из второго уравнения и подставим в первое.

Имеем





Или



Приведём уравнение ко второй стандартной форме записи:


Запишем передаточную функцию:

;

Проверка устойчивости системы. Приравниваем знаменатель к нулю:



a₀=450; a₁=2400; a₂=3000,3; a₃=1 ;

Условия устойчивости:

3000 ·2400>450·1;

Условия выполняются, значит, система устойчивая.

Оценку качества системы произведем по полюсам ПФ:



Степень устойчивости: ;

Степень колебательности:

Задание № Б.5.
Составить структурную схему системы автоматического регулирования скорости вращения роторной машины по её уравнениям динамики.



Вводим символ дифференцирования и записываем уравнения в символическом виде:



Воспользуемся формальной заменой символа дифференцирования p на комплексную переменную s и функций-оригиналов на их изображения. Найдём операторные уравнения:



Приведём уравнение ко второй стандартной форме записи:



Найдём передаточные функции сигналов:









Структурная схема: