Пример решения задач. Решение Разделим оба уравнения на массу (М). Получим вторую стандартную форму записи ду Относительный коэффициент демпфирования (затухания) равен
![]()
|
Задание № А.1. Определить критическую частоту вращения однодискового симметричного ротора, прецессионное движение которого описывается уравнениями: ; Решение: Разделим оба уравнения на массу (М). Получим вторую стандартную форму записи ДУ: ![]() Относительный коэффициент демпфирования (затухания) равен: ![]() Собственная частота равна: ![]() С учётом обозначений: ![]() Ротор является изотропным, т.е. во всех направлениях имеет одинаковые свойства (cx=cy=c). Значит имеет место одна критическая частота вращения: ![]() Задание № А.2. Определить модуль и фазовый сдвиг вращения вектора прогиба ![]() ![]() ![]() ![]() Для упрощения вторую часть уравнения движения заменим силой F(t): ![]() Разделим обе части уравнения на массу (М). Представим уравнение во второй стационарной форме записи, вводим символ дифференцирования ![]() ![]() Коэффициент передачи: ![]() ![]() Для получения операторного уравнения воспользуемся преобразованием Лапласа: ![]() Получим передаточную функцию: . ![]() Получим частотную передаточную функцию (ЧПФ) в исходной форме записи: . ![]() ![]() По ЧПФ найдём фазовый сдвиг вращения вектора прогиба: ![]() Соответственно ![]() Модуль ЧПФ равен: ![]() ![]() Модуль прогиба r равен: ![]() Так как ![]() ![]() ![]() Задание № А.3. Определить критические частоты вращения однодискового ротора, прецессионное движение которого описывается уравнениями: ![]() Запишем вторую стандартную форму для каждого уравнения: ![]() В данном случае ротор анизотропный, т.е. в разных направлениях имеет не одинаковые свойства. Значит, ![]() ![]() ![]() Здесь всего две критических частоты. При этом и 1-я (наименьшая) и 2-я зависят от соответствующих коэффициентов жесткости. Задание № А.4. Оценить методами ТАУ динамическую устойчивость однодискового симметричного ротора, прецессионное вращение которого описывается уравнением ( ![]() ![]() Для упрощения вторую часть уравнения движения заменим силой F(t): ![]() Разделим обе части уравнения на массу (М). Представим уравнение во второй стационарной форме записи, вводим символ дифференцирования ![]() ![]() Коэффициент передачи: ![]() ![]() Для получения операторного уравнения воспользуемся преобразованием Лапласа: ![]() П ![]() . Проверка устойчивости: ![]() ![]() Система устойчивая, т.к. по критерию Гурвица при ![]() Задание № А.5. Определить доступные рабочие частоты вращения однодискового симметричного ротора, колебания которого описываются уравнениями: ![]() Так как ротор изотропный, т.е. ![]() ![]() Соответственно допустимые рабочие частоты вращения: - для жёсткого вала ![]() - для гибкого вала ![]() Задание № Б.1. Получить уравнения состояния и выхода роторной машины, динамика которой описывается дифференциальным уравнением: ![]() Вводя символ дифференцирования ![]() ![]() В форме Коши: фазовые переменные – ![]() ![]() Векторно-матричная форма: ![]() ![]() ![]() Компактная форма: ![]() ![]() Задание № Б.2. Получить уравнения состояния и выхода роторной машины, динамика которой описывается системой дифференциальных уравнений: ![]() Фазовые переменные: ![]() Уравнение в форме Коши: ![]() Векторно-матричная форма: ![]() ![]() ![]() Компактная форма записи: ![]() ![]() Задание № Б.3. Получить уравнения состояния и выхода роторной машины, динамика которой описывается передаточной функцией: ![]() Получим из передаточной функции операторное уравнение: ![]() Обратной формальной заменой s на p и функций-изображений на функции-оригиналы находится дифференциальное уравнение в символической форме записи: ![]() Запишем уравнения состояния и выхода в компактном виде - уравнение состояния: ![]() ![]() ![]() - уравнение выхода ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задание № Б.4. Оценить устойчивость и качество роторной машины, динамика которой описывается системой дифференциальных уравнений: ![]() Вводим символ дифференцирования – ![]() ![]() Найдём операторные уравнения, воспользовавшись формальной заменой символа дифференцирования p на комплексную переменную s и функций-оригиналов на их изображения. ![]() Преобразуем систему. Выразим из второго уравнения ![]() Имеем ![]() ![]() Или ![]() Приведём уравнение ко второй стандартной форме записи: ![]() Запишем передаточную функцию: ![]() Проверка устойчивости системы. Приравниваем знаменатель к нулю: ![]() a0=450; a1=2400; a2=3000,3; a3=1 ; Условия устойчивости: ![]() 3000 ·2400>450·1; Условия выполняются, значит, система устойчивая. Оценку качества системы произведем по полюсам ПФ: ![]() Степень устойчивости: ![]() Степень колебательности: ![]() Задание № Б.5. Составить структурную схему системы автоматического регулирования скорости вращения роторной машины по её уравнениям динамики. ![]() Вводим символ дифференцирования ![]() ![]() Воспользуемся формальной заменой символа дифференцирования p на комплексную переменную s и функций-оригиналов на их изображения. Найдём операторные уравнения: ![]() Приведём уравнение ко второй стандартной форме записи: ![]() Найдём передаточные функции сигналов: ![]() ![]() ![]() ![]() Структурная схема: ![]() |