Зачетное задание по школьной математике. Зачетное задание по алгебре. Решение разделим обе части уравнения на. Промежутку принадлежат два корня и

• Название: Решение разделим обе части уравнения на. Промежутку принадлежат два корня и
• Анкор: Зачетное задание по школьной математике
• Дата: 30.01.2023
• Размер: 1.24 Mb.
• Имя файла: Зачетное задание по алгебре.docx
• Тип: Решение; #912706

Зачетное задание по алгебре

Вариант 1.

1. 
   
   

Решение:





разделим обе части уравнения на .







Промежутку принадлежат два корня и .

2. 
   
   

Решите систему уравнений

Решение:

ОДЗ:

,

Рассмотрим первое уравнение системы









- подставим во второе уравнение системы

















; ;

;

, тогда

Сделаем проверку









Ответ: (3; 6)

3. 
   Найдите все значения х, для которых точки графика функции лежат ниже соответствующих точек графика функции .
   

Решение

Нам нужно решить неравенство



Будем решать неравенство методом интервалов

ОДЗ: ;







нет решений

для всех .

То есть рассмотрим выполнение неравенства на двух интервалах .

При неравенство не выполняется;

При неравенство выполняется.

Ответ: точки графика функции лежат ниже соответствующих точек графика функции при .

4. 
   
   

Решение:

ОДЗ:



Рассмотрим первое неравенство



или

, , нет решений;

, , , , .

Первое неравенство выполняется при и .

ОДЗ: и .

















для всех , следовательно, неравенство выполняется при , .



, , ,

,

Ответ: с учетом ОДЗ ,

Зачетное задание по стереометрии

Вариант 1

1. 
   В единичном кубе A...D₁ найдите угол между прямыми АВ₁ и ВС₁.
   

Решение



Углом между скрещивающимися прямыми АВ₁ и ВС₁ будет угол между прямой и прямой , параллельной прямой .

Рассмотрим треугольник . Все стороны этого треугольника диагонали квадратов со стороной 1. То есть все стороны равны между собой. Значит равносторонний. В равностороннем треугольнике все углы равны . Угол . Следовательно, угол между прямыми АВ₁ и ВС₁ равен .

Ответ: .

2.1. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой и плоскостью .

Решение



Угол между прямой и плоскостью это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Проекцией прямой на плоскость будет прямая . То есть, нам надо найти величину угла АМВ.

Рассмотрим . .

, как угол правильного шестиугольника.

.

То есть . То есть, искомый угол равен .

Ответ: .

3.1. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями и

Решение



Угол между плоскостями это угол между прямыми, образованными при пересечении заданных плоскостей, плоскостью, перпендикулярной линии пересечения данных плоскостей. Так как основание прямой призмы перпендикулярно боковым ребрам призмы, то плоскость перпендикулярна плоскостям и . То есть, нам нужно найти величину угла М.

В треугольнике , следовательно, .

Ответ: .

1. 
   В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до прямой .
   

Решение



Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.

, т. к. в правильной призме боковые грани (и ребра) перпендикулярны основаниям.

, т. к. , (внутренний угол правильного шестиугольника), (угол при основании равнобедренного ).

Значит, прямая перпендикулярна плоскости , а значит, любая прямая, лежащая в этой плоскости перпендикулярна . Значит, . То есть, расстоянием от точки до прямой будет длина отрезка .

- диагональ квадрата со стороной 1. По теореме Пифагора .

Ответ: расстояние от точки до прямой равно .

5.1. В единичном кубе найдите расстояние от точки до плоскости



Решение

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

, длина отрезка - расстояние от точки до плоскости .

- высота пирамиды . Объем пирамиды .

. (диагонали единичных квадратов), .

.

.

С другой стороны, .

.

.

Приравниваем объемы пирамиды : , откуда .

Ответ: расстояние от точки до плоскости равно .

6.1. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и .



Решение

Расстояние между скрещивающими прямыми равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости, проходящей через вторую прямую, параллельно первой прямой.

Плоскость параллельна прямой , так как параллельна прямой , лежащей в плоскости . То есть, расстояние между прямыми и это расстояние от любой точки до плоскости .

Построим плоскость . - середина , - середина .

Так как треугольники и правильные, то их медианы являются высотами. Плоскость будет перпендикулярна прямой и плоскости .

, - расстояние между прямыми и .

Рассмотрим . Его площадь можно найти двумя способами.

, то есть .

В прямоугольном треугольнике : , (по условию), (по построению).

.

. .

, .

Ответ: расстояние между прямыми и равно .