Контрольная работа по высшей математике №9. Решение Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов Откуда

Название	Решение Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов Откуда
Анкор	Контрольная работа по высшей математике №9
Дата	20.01.2023
Размер	270.33 Kb.
Формат файла
Имя файла	Kontrolnaya_rabota.docx
Тип	Решение #895529

Контрольная работа № 9
Задание 1. Пользуясь определением сходимости числового ряда, исследовать на сходимость заданный ряд и в случае сходимости найти его сумму.

Решение:

Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов:

Откуда:

Находим n-ю частичную сумму:

Следовательно, согласно определениям сходимости ряда и его суммы, получаем:

Т.е. данный ряд сходится и его сумма равна:

Задание 2. Исследовать на сходимость знакопостоянные ряды

1.

Воспользуемся сходящимся рядом Дирихле

. Так как:

Т.к. члены исследуемого ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда, то согласно первому признаку сравнения, исследуемый ряд также сходится.
2.

Воспользуемся сходящимся рядом Дирихле

. Так как:

Т.к. указанный предел имеет конечное значение, то согласно второму признаку сравнения оба ведут себя одинаково. Т.е. исследуемый ряд также сходится.
3.

Воспользуемся признаком Даламбера:

Т.к. указанный предел меньше 1, то, согласно признаку Даламбера, ряд сходится.

4.

Воспользуемся радикальным признаком Коши:

Т.к. указанный предел меньше 1, то, согласно радикальному признаку Коши, ряд сходится.
5.

Воспользуемся интегральным признаком Коши. Исследуем сходимость несобственного интеграла:

Т.е. несобственный интеграл сходится.

Согласно интегральному признаку Коши сходится и исследуемый ряд.

Задание 3.2. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд:

Решение:

Воспользуемся признаком Лейбница.

Проверим выполнимость первого критерия. Очевидно, что с увеличением n знаменатель дроби увеличивается, следовательно, сама дробь уменьшается. Т.е. первый критерий выполняется:

Проверим выполнимость второго критерия

Оба критерия признака Лейбница выполняются. Следовательно, исследуемый ряд сходится.

Задание 4. Найти области сходимости степенных рядов:

1.

Находим радиус сходимости ряда:

Т.о. интервал сходимости ряда имеет вид:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала:

Получили числовой знакочередующийся ряд, который сходится согласно признаку Лейбница:

1) очевидно, что с увеличением n модули членов ряда монотонно убывают:

Получили числовой знакоположительный ряд, который сравним с рядом Дирихле:

Т.о. ряд расходится

Окончательно область сходимости ряда имеет вид:

Находим радиус сходимости ряда:

Т.о. интервал сходимости ряда имеет вид:

Задание 5. Разложить в степенной ряд по степеням х заданные функции

1.

Воспользуемся разложением в ряд функции

Преобразуем исходную функцию:

Подставим вместо х выражение

Тогда:

Данная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов:

Откуда:

Воспользуемся рядом:

Откуда:

Задание 8. Пользуясь табличными (известными) разложениями элементарных функций в степенные ряды (ряды Тейлора и Маклорена), вычислить (методом выделения главной части) предел заданной функции.

Решение:

Воспользуемся табличными разложениями:

Откуда:

Задание 10. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

Решение:

Ищем решение данной задачи Коши в окрестности точки х = 0 в виде степенного ряда

, где

– коэффициенты, подлежащие определению

Продифференцируем ряд:

Используя начальные условия

, находим:

Подставим в исходное уравнение значения х, у и у' с учетом найденных коэффициентов, получим:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х левой и правой частей, будем иметь бесконечную систему уравнений:

Откуда:

Откуда решение уравнения имеет вид:

Задание 11. Разложить заданную функцию в тригонометрический ряд Фурье и определить для периодического продолжения функции на

частотный, амплитудно-частотный и фазово-частотный спектры.

Решение:

Запишем тригонометрический ряд Фурье, соответствующий данной функции

и найдем входящие сюда коэффициенты

по формулам Эйлера-Фурье

Т.о.

причем

Частотный, амплитудно-частотный и фазово-частотный спектры представляют собой соответственно:

Контрольная работа № 10

1. Найти все значения корня из комплексного числа.

Решение:

Представим комплексное число z = -8 в тригонометрической форме:

По формуле Муавра находим корни:

2. Начертить область, заданную неравенствами.

Решение:

Пусть z = x+ yi. Тогда:

Строим область, определяемую полученными неравенствами:

3. Пользуясь условиями Коши-Римана выяснить, является ли данная функция аналитической или нет хотя бы в одной точке.

Решение:

Имеем z = x + yi. Следовательно,

Т.о.

Находим частные производные:

Условия Коши-Римана имеют вид:

Однако в точке х= 0, у = 0 производная не существует, т.к. знаменатель обращается в 0. Т.о. функция не дифференцируема ни в одной точке и нигде не аналитична.

4. Восстановить аналитическую в окрестности точки

функцию

по известной действительной или мнимой части и значению

Решение:

Находим:

По первому условию Коши-Римана:

Находим u(x,y):

Воспользуемся вторым условием Коши-Римана:

Т.о.

Исходная функция имеет вид:

Находим С:

Откуда:

5. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой.

Решение:

Кривая L представляет собой честь окружности радиуса R, лежащую в верхней полуплоскости:

Полуокружность задается параметрическими уравнениями:

Откуда:

7. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z.

Решение:

Найдем точки, в которых знаменатель дроби обращается в 0:

Тогда исходную функцию можно переписать в виде:

С центром в точке z = 0 можно построить три области, в которых данная функция аналитична:

Данная функция является рациональной дробью. Разложим эту дробь на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов:

Откуда:

Преобразуем полученные дроби таким образом, чтобы можно было в каждой из областей воспользоваться формулой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

При