Контрольная работа по высшей математике №9. Решение Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов Откуда
![]()
|
Контрольная работа № 9 Задание 1. Пользуясь определением сходимости числового ряда, исследовать на сходимость заданный ряд и в случае сходимости найти его сумму. ![]() Решение: Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов: ![]() Откуда: ![]() Находим n-ю частичную сумму: ![]() Следовательно, согласно определениям сходимости ряда и его суммы, получаем: ![]() Т.е. данный ряд сходится и его сумма равна: ![]() Задание 2. Исследовать на сходимость знакопостоянные ряды 1. ![]() Воспользуемся сходящимся рядом Дирихле ![]() ![]() Т.к. члены исследуемого ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда, то согласно первому признаку сравнения, исследуемый ряд также сходится. 2. ![]() Воспользуемся сходящимся рядом Дирихле ![]() ![]() Т.к. указанный предел имеет конечное значение, то согласно второму признаку сравнения оба ведут себя одинаково. Т.е. исследуемый ряд также сходится. 3. ![]() Воспользуемся признаком Даламбера: ![]() Т.к. указанный предел меньше 1, то, согласно признаку Даламбера, ряд сходится. 4. ![]() Воспользуемся радикальным признаком Коши: ![]() Т.к. указанный предел меньше 1, то, согласно радикальному признаку Коши, ряд сходится. 5. ![]() Воспользуемся интегральным признаком Коши. Исследуем сходимость несобственного интеграла: ![]() Т.е. несобственный интеграл сходится. Согласно интегральному признаку Коши сходится и исследуемый ряд. Задание 3.2. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд: ![]() Решение: Воспользуемся признаком Лейбница. Проверим выполнимость первого критерия. Очевидно, что с увеличением n знаменатель дроби увеличивается, следовательно, сама дробь уменьшается. Т.е. первый критерий выполняется: ![]() Проверим выполнимость второго критерия ![]() Оба критерия признака Лейбница выполняются. Следовательно, исследуемый ряд сходится. Задание 4. Найти области сходимости степенных рядов: 1. ![]() Находим радиус сходимости ряда: ![]() Т.о. интервал сходимости ряда имеет вид: ![]() Исследуем сходимость ряда на концах интервала: ![]() Получили числовой знакочередующийся ряд, который сходится согласно признаку Лейбница: 1) очевидно, что с увеличением n модули членов ряда монотонно убывают: ![]() 2) ![]() ![]() Получили числовой знакоположительный ряд, который сравним с рядом Дирихле: ![]() Т.о. ряд расходится Окончательно область сходимости ряда имеет вид: ![]() 2. ![]() Находим радиус сходимости ряда: ![]() Т.о. интервал сходимости ряда имеет вид: ![]() Задание 5. Разложить в степенной ряд по степеням х заданные функции 1. ![]() Воспользуемся разложением в ряд функции ![]() Преобразуем исходную функцию: ![]() Подставим вместо х выражение ![]() ![]() Тогда: ![]() 2. ![]() Данная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов: ![]() Откуда: ![]() Воспользуемся рядом: ![]() Откуда: ![]() Задание 8. Пользуясь табличными (известными) разложениями элементарных функций в степенные ряды (ряды Тейлора и Маклорена), вычислить (методом выделения главной части) предел заданной функции. ![]() Решение: Воспользуемся табличными разложениями: ![]() Откуда: ![]() Задание 10. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, удовлетворяющее заданным начальным условиям: ![]() Решение: Ищем решение данной задачи Коши в окрестности точки х = 0 в виде степенного ряда ![]() ![]() Продифференцируем ряд: ![]() Используя начальные условия ![]() ![]() Подставим в исходное уравнение значения х, у и у' с учетом найденных коэффициентов, получим: ![]() Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х левой и правой частей, будем иметь бесконечную систему уравнений: ![]() Откуда: ![]() Откуда решение уравнения имеет вид: ![]() Задание 11. Разложить заданную функцию в тригонометрический ряд Фурье и определить для периодического продолжения функции на ![]() ![]() Решение: Запишем тригонометрический ряд Фурье, соответствующий данной функции ![]() и найдем входящие сюда коэффициенты ![]() ![]() Т.о. ![]() причем ![]() Частотный, амплитудно-частотный и фазово-частотный спектры представляют собой соответственно: ![]() Контрольная работа № 10 1. Найти все значения корня из комплексного числа. ![]() Решение: Представим комплексное число z = -8 в тригонометрической форме: ![]() По формуле Муавра находим корни: ![]() 2. Начертить область, заданную неравенствами. ![]() Решение: Пусть z = x+ yi. Тогда: ![]() Строим область, определяемую полученными неравенствами: ![]() 3. Пользуясь условиями Коши-Римана выяснить, является ли данная функция аналитической или нет хотя бы в одной точке. ![]() Решение: Имеем z = x + yi. Следовательно, ![]() Т.о. ![]() Находим частные производные: ![]() Условия Коши-Римана имеют вид: ![]() Однако в точке х= 0, у = 0 производная не существует, т.к. знаменатель обращается в 0. Т.о. функция не дифференцируема ни в одной точке и нигде не аналитична. 4. Восстановить аналитическую в окрестности точки ![]() ![]() ![]() ![]() Решение: Находим: ![]() По первому условию Коши-Римана: ![]() Находим u(x,y): ![]() Воспользуемся вторым условием Коши-Римана: ![]() Т.о. ![]() Исходная функция имеет вид: ![]() Находим С: ![]() Откуда: ![]() 5. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой. ![]() Решение: Кривая L представляет собой честь окружности радиуса R, лежащую в верхней полуплоскости: ![]() Полуокружность задается параметрическими уравнениями: ![]() Откуда: ![]() 7. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z. ![]() Решение: Найдем точки, в которых знаменатель дроби обращается в 0: ![]() Тогда исходную функцию можно переписать в виде: ![]() С центром в точке z = 0 можно построить три области, в которых данная функция аналитична: ![]() Данная функция является рациональной дробью. Разложим эту дробь на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов: ![]() Откуда: ![]() Преобразуем полученные дроби таким образом, чтобы можно было в каждой из областей воспользоваться формулой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При ![]() ![]() При ![]() ![]() При ![]() ![]() 10. Найти изображения данных оригиналов. а) ![]() б) ![]() Решение: а) ![]() По свойству линейности и пользуясь табличными изображениями получаем: ![]() б) ![]() Воспользуемся свойством интегрирования оригинала и свойством линейности: ![]() Откуда: ![]() 11. Найти оригинал по данному изображению. ![]() Решение: Разложим исходную функцию на сумму простейших дробей: ![]() Т.о. ![]() Используя свойство линейности и таблицу изображений, получаем: ![]() |