КР 5 Преобразование Лапласа_14. Решение Преобразовываем функцию По таблице изображений и оригиналов получаем

• Название: Решение Преобразовываем функцию По таблице изображений и оригиналов получаем
• Дата: 25.11.2022
• Размер: 275.73 Kb.
• Имя файла: КР 5 Преобразование Лапласа_14.docx
• Тип: Решение; #812009

1. Найти изображение по заданному оригиналу :

Решение:

Преобразовываем функцию:



По таблице изображений и оригиналов получаем:

; ;;

Пользуясь линейностью получаем требуемое изображение:

.

Ответ:



Решение:

Раскладываем дробь на простейшие методом неопределенных коэффициентов.

;

Умножаем на знаменатель и приводим подобные:

;



Приравниваем к нулю коэффициенты при каждой степени.

;

; ; подставляем во 2 равенство системы

; ;

; получили разложение на простейшие:

;

По таблице изображений и оригиналов получаем:

; ;

;

Пользуясь линейностью обратного преобразования Лапласа, получаем оригинал:



Ответ: .



Решение:

Находим изображение левой правой части. С учетом данных нам начальных условий.

;

;

;

Теперь ищем изображение правой части. По таблице оригиналов и изображений имеем:



Подставляем в исходное уравнение, получаем операторное уравнение:

; выражаем отсюда :

;

Осталось восстановить оригинал по полученному изображению.

Разложим дробь на простейшие методом неопределенных коэффициентов.

;

Умножаем на знаменатели и приводим подобные:

;





Приравниваем к нулю коэффициенты при каждой степени.

;

Получили разложение нашей дроби на простейшие:

; восстанавливаем оригинал:

; ; последнее слагаемое перепишем в виде:

;

По таблице изображений и оригиналов получаем:

;

(тут мы еще пользуемся теоремами опережения/запаздывания).

По линейности получаем требуемый оригинал

.

Ответ: .

(можно честно подставить в уравнение, и проверить, что ответ верный).



Решение:

Слева имеем свертку функций и ; находим изображение первой функции

;

По теореме о свертке функций (использую таблицу изображений и оригиналов) получим изображение интеграла:

.

Находим изображение правой части. ; ;

Подставляем, получаем операторное уравнение:

; выражаем отсюда .



Восстанавливаем оригинал по этому изображению

Для этого нужно разложить вторую дробь на простейшие. Делаем это методом неопределенных коэффициентов.

; умножаем на знаменатели и приводим подобные:

;

Приравниваем коэффициенты при каждой степени к нулю

;

;

;

;

;

Получили разложение:



(не забыли, что у нас еще было слагаемое).

По таблице изображений и оригиналов получаем: ;

; ; ;

.

В силу линейности получим

;

Ответ: .

С помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения:

, .(1)

Решение:

Рассмотрим сперва уравнение с такой же левой частью и правой частью 1



Переходим к изображениям

;

;

;

. Получаем операторное уравнение

;

;

Раскладываем нашу дробь на простейшие методом неопределенных коэффициентов.

; умножаем на знаменатели и приводим подобные:

;

; значит, все коэффициенты нули

; получили разложение:

;

Надо найти оригинал по этому изображению.

; ;

(выше написали, почему).

В силу линейности, получаем оригинал (решение уравнения с единицей в правой части) ;

Находим производную ;

Правая часть исходного уравнения ;

Согласно формуле Дюамеля, решение исходного уравнения есть





(формула Ньютона-Лейбница)





Ответ: