|
Вариант 08. Решение Сделаем замену y y 1, x x получим каноническое уравнение параболы
Контрольная работа № 2 1. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой . Построить графики кривой и прямой.
Решение:
Сделаем замену Y=y-1, X=x+2. Получим каноническое уравнение параболы: .
Найдем точки пересечения параболы и прямой:
Сделаем чертеж:
2. Требуется: 1) построить по точкам график функции в полярной системе координат. Значения функции вычислять в точках ; 2) найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось – с полярной осью.
Решение:
1) ,
ОДЗ:
Составим таблицу для построения:
i
|
|
|
| 0
| 0
| не сущ.
| не сущ.
| 1
| /16
| не сущ.
| не сущ.
| 2
| /8
| не сущ.
| не сущ.
| 3
| 3/16
| не сущ.
| не сущ.
| 4
| /4
| не сущ.
| не сущ.
| 5
| 5/16
| -0,62
| 0,62
| 6
| 3/8
| -0,84
| 0,84
| 7
| 7/16
| -0,96
| 0,96
| 8
| /2
| -1,00
| 1,00
| 9
| 9/16
| -0,96
| 0,96
| 10
| 5/8
| -0,84
| 0,84
| 11
| 11/16
| -0,62
| 0,62
| 12
| 3/4
| 0,00
| 0,00
| 13
| 13/16
| не сущ.
| не сущ.
| 14
| 7/8
| не сущ.
| не сущ.
| 15
| 15/16
| не сущ.
| не сущ.
| 16
|
| не сущ.
| не сущ.
| 17
| 17/16
| не сущ.
| не сущ.
| 18
| 9/8
| не сущ.
| не сущ.
| 19
| 19/16
| не сущ.
| не сущ.
| 20
| 5/4
| не сущ.
| 0,00
| 21
| 21/16
| -0,62
| 0,62
| 22
| 11/8
| -0,84
| 0,84
| 23
| 23/16
| -0,96
| 0,96
| 24
| 3/2
| -1,00
| 1,00
| 25
| 25/16
| -0,96
| 0,96
| 26
| 13/8
| -0,84
| 0,84
| 27
| 27/16
| -0,62
| 0,62
| 28
| 7/4
| 0,00
| 0,00
| 29
| 29/16
| не сущ.
| не сущ.
| 30
| 15/8
| не сущ.
| не сущ.
| 31
| 31/16
| не сущ.
| не сущ.
| 32
| 2
| не сущ.
| не сущ.
|
Построим график линии:
2) Найдем уравнение линии в декартовой системе координат, воспользовавшись формулами:
, , ,
Подставим эти формулы в уравнение линии:
3. Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.
Решение:
1) 2) 3)
Разложим числитель и знаменатель на множители
Тогда 4) 4. Функция ![](595693_html_ffab68c1f967c4b6.gif) представляет собой сумму одночленов. Указать среди них одночлен, эквивалентный функции ![](595693_html_ffab68c1f967c4b6.gif) : а) при ![](595693_html_5e5907f62164920.gif) ; б) при ![](595693_html_180b059c9c827b5a.gif) . Решение: а) Очевидно, что при ![](595693_html_1871d5fd42304a0d.gif) оба слагаемых являются бесконечно малыми. Найдем предел отношения суммы к каждому из слагаемых, используя замену бесконечно малых эквивалентными: ![](595693_html_98e33f8d7df08647.gif) . Т.е. при ![](595693_html_f20932d6a4308ded.gif) . б) Очевидно, что при ![](595693_html_6be741fd5f7b797.gif) , поскольку функция ![](595693_html_5c7a9174919f3b7a.gif) является ограниченной. 5. Исследовать функцию ![](595693_html_92cd802e04726580.gif) на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции. Решение: Внутри каждого промежутка функция непрерывна (как элементарная). Поэтому, если точки разрыва существуют, то в точках x=-1 и х=0. Найдем односторонние пределы в каждой точке: x=-1 Т.к. один из односторонних пределов равен бесконечности, то точка x=-1 является точкой разрыва II рода. x=0 Т.к. оба односторонних предела конечны и равны между собой, то в точке x=0 функция является непрерывной. Сделаем схематический чертеж 6. Решить уравнение ![](595693_html_f0ab96968c375ff0.gif) и изобразить его корни ![](595693_html_e6db82d07bab45c8.gif) на комплексной плоскости. Проверить, что a=9, b=-15, c=11, d=-5 Решение: Подставим a, b, c, d: ![](595693_html_e53027a0c0eed0f3.gif) . Подстановкой убеждаемся, что z=1 – корень уравнения. Разделим многочлен 9 z3-15 z2+11 z-5 на z-1: 9 z3-15 z2+11 z-5 z-1 9 z3-9 z2 9 z2-6 z+5 -6 z2+11 z-6 z2+6 z![](595693_html_9178b0566ef613b0.gif) 5 z-5 ![](595693_html_d98c7f43467aa618.gif) 5 z-5 0 z1=1 Изобразим корни уравнения на комплексной плоскости: Проверим выполнение соотношений: ![](595693_html_9e970428cce704ba.gif) , ![](595693_html_f7da21b71b987396.gif) - верно ![](595693_html_fd474267d330331e.gif) , ![](595693_html_6fcedd086d1df7a9.gif) - верно ![](595693_html_9a847069e2949ed9.gif) , ![](595693_html_6ada835a32976a83.gif) - верно
|
|
|