математика кр3и 4. Контрольная работа 3 07 Линия задана уравнением r r() в полярной системе координат. Требуется
![]()
|
Контрольная работа № 3 3.07 Линия задана уравнением r = r(φ) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от ![]() ![]() ![]() 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить тип линии. ![]()
Сделаем чертёж. ![]() Найдем уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат ![]() Подставим это значение в уравнение линии: ![]() ![]() 3)Эта линия является эллипсом, с центром в точке (1,0). 3.17. Для заданной функции найти точки разрыва, если они существуют, и построить график. ![]() Данная функция определена для всех значений х ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4 ![]() ![]() ![]() ![]() 0 При х=0 ![]() ![]() ![]() ![]() В точке х=0 f(0-0) =f(0+0)= f(0), значит х=0 точка непрерывности. При х=4 ![]() ![]() ![]() В точке х=4 f(4-0) ![]() Построим схематический график. ![]() 3.27 Найти производные функций. 1) ![]() ![]() 2) ![]() ![]() 3) ![]() ![]() 4) ![]() ![]() 5) ![]() ![]() 3.37 Найти производные функций. 1) ![]() ![]() 2) ![]() ![]() 3) ![]() ![]() 4) ![]() ![]() 5) ![]() ![]() 6) ![]() ![]() 3.47 Найти производные функций 1) ![]() ![]() 2) ![]() Прологарифмируем обе части уравнения ![]() ![]() ![]() 3) ![]() ![]() 4) ![]() Дифференцируем обе части равенства, учитывая, что у есть функция от х, получим ![]() 3.57 Найти пределы функций 1) ![]() 2) ![]() 3) ![]() 4) ![]() 5) ![]() 3.67 Найти экстремумы и промежутки монотонности функций; построить графики функций ![]() Область определения функции все числа. Определим критические точки. Для этого найдем производную y'. ![]() ![]() Определим знак первой производной на интервалах. y'(x) ![]() ![]() ![]() – + – + ![]() Значит, на промежутках (-,-1),(0;1)– функция возрастает, на промежутках (-;-1) (0 ;1)– функция убывает. Значит, при х=0– максимум, у(0)=5, при х=-1 и х=1– минимум, у(-1)=у(1)=4,75. Определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную y'' функции: ![]() тогда y'' = 0– имеет решение при х= ![]() ![]() Определим знак второй производной на интервалах. y'' (x) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, при x (-; ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3.77 Исследовать функции методами дифференциального исчисления и построить их графики 1) ![]() Найдем область определения D(y). Очевидно D(y) = (–;+). Исследуем функцию на непрерывность. ![]() Значит, y=-2 – горизонтальная асимптота. ![]() Определим критические точки. Для этого найдем производную y'. ![]() Тогда y' = 0 или ![]() ![]() ![]() y'(x) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Значит, на промежутках ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() у( ![]() Определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную y'' функции: ![]() ![]() Определим знак второй производной на области определения. ![]() ![]() ![]() – + – + ![]() -5 -2 1 Таким образом, при x (-;-5), (-2;1) график функции выпуклый, при x (-5;-2), (1;+ ) график функции вогнутый. Выясним, имеет ли функция вертикальные асимптоты y=kx+b. ![]() 7) По результатам исследования строим график функции: ![]() ![]() Найдем область определения D(y). Очевидно D(y) = (–;1), (1;+). Исследуем функцию на непрерывность при х=1. ![]() Значит, х=1 – вертикальная асимптота. ![]() Определим критические точки. Для этого найдем производную y'. ![]() ![]() y'(x) ![]() ![]() ![]() ![]() 0 1 2 Значит, на промежутках (0;1),(1; 2) функция убывает, на промежутках (-;0), (2,+ )– функция возрастает. Значит, при х=2 – минимум, у(2)=1, при х=0 – максимум, у(0)=-3. Определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную y'' функции: ![]() ![]() Определим знак второй производной на области определения. ![]() + – ![]() 1 Таким образом, при x (-;1) график функции выпуклый, при x (1;+ ) график функции вогнутый. Выясним, имеет ли функция вертикальные асимптоты y=kx+b. ![]() 7) По результатам исследования строим график функции: ![]() 3.87 Определить количество действительных корней уравнения ![]() Вычислим производную: ![]() Знак второй производной всегда положительный, значит, функция всегда возрастает и пересекает ось Ох один раз. Значит, имеется только один действительный корень. Искомый корень находится в интервале (0,1). Тогда f(0)= 03+0-1= -1<0, f(1)= 13+1-1=1>0 . Т.к. f(0)*f(1)<0 и ![]() 1) ![]() f(b)*f(с)<0, значит, принимаем а1=с=0,5, b1=b=1. Переходим к отрезку [а1, b1]= [0,5,1]. ![]() 2) ![]() f(0,75)=0,753+0,75-1= 0,17>0. f(а1)*f(с1)<0, значит, принимаем а2=а1= 0,5, b2=с= 0,75. Переходим к отрезку [а2, b2]= [0,5;0,75]. ![]() 3) ![]() f(0,625)=0.6253+0,625-1=-0,13<0. f(b2)*f(с2)<0, значит, принимаем а3=c2=0,625, b3=b2=0,75. Переходим к отрезку [а3, b3]= [0,625;0,75]. ![]() 4) ![]() f(0,6875)=0.68753+0,6875-1= 0,0125<0. f(а3)*f(с3)<0, значит, принимаем а4=b3=0,625, b4=c3=0,6875. Переходим к отрезку [а4, b4]= [0.625;0,6875]. ![]() 5) ![]() f(0,66875)=0.668753+0,66875-1= -0,03<0. f(b4)*f(с4)<0, значит, принимаем а5=c4=0,66875, b5=b4=0,6875. Переходим к отрезку [а5, b5]= [0,66875;0,6875]. ![]() 6) ![]() f(0,6781)=0.67813+0,6781-1= -0,0101<0. f(b5)*f(с5)<0, значит, принимаем а6=c5=0,6781, b6=b5=0,6875. Переходим к отрезку [а6, b6]= [0,6781,0,6875]. ![]() 7) ![]() f(0,6828)=0.68283+0,6828-1= 0,0011>0. f(a6)*f(с6)<0, значит, принимаем а7=a7=0,6781, b7=c6=0,6828. Переходим к отрезку [а7, b7]= [0,6781;0,6828]. ![]() 8) ![]() f(0,6805)=0.68053+0,6805-1= -0,0044<0. f(b7)*f(с7)<0, значит, принимаем а8=c7=0,6805, b8=b7=0,6828. Переходим к отрезку [а8, b8]= [0,6805;0,6828]. ![]() 9) ![]() f(0,68165)=0.681653+0,68165-1= -0,0016<0. f(b8)*f(с8)<0, значит, принимаем а9=c8=0,68165, b9=b8=0,6828. Переходим к отрезку [а9, b9]= [0,68165;0,6828]. ![]() 10) ![]() f(0,68223)=0.682233+0,68223-1= -0,0002<0. f(b9)*f(с9)<0, значит, принимаем а10=c9=0,68223, b10=b9=0,6828. Переходим к отрезку [а10, b10]= [0,68223;0,6828]. ![]() Значит, можно принять ![]() Контрольная работа № 4 4.07Найти неопределенный интеграл. Результаты проверить дифференцированием. А) ![]() Проверим результат дифференцированием: ![]() Б) ![]() Проверим результат дифференцированием: ![]() В) ![]() Проверим результат дифференцированием: ![]() 4.17 Найти неопределенные интегралы. А) ![]() Б) ![]() 4.27 Найти неопределенные интегралы. А) ![]() Б) ![]() Разобьем дробь на слагаемые: ![]() ![]() 4.37 Найти неопределенные интегралы. А) ![]() Б) ![]() 4.47 Вычислить определенные интегралы. А) ![]() Б) ![]() 4.57 Вычислить площади фигуры, ограниченных линиями А) ![]() ![]() ![]() Б) ![]() ![]() Площадь вычисляется по формуле: ![]() ![]() 4.67 Вычислить значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака ![]() Воспользуемся формулой Симпсона ![]() Разобьём на 10 интервалов :
![]() 4.77 Проверить сходимость несобственных интегралов. ![]() Несобственный интеграл сходится.0> |