Решение Сила, действующая на диполь с дипольным моментом p в неоднородном поле E f p E
 Скачать 456.47 Kb.
|
|
кольцо начнет парить над сверхпроводником, если масса кольца m = 1 г? Решение: На сверхпроводнике возникнут поверхностные токи, пол- ностью компенсирующие магнитное поля витка с током внутри самого сверхпроводника. Эту систему можно представить в виде отраженного в сверхпроводнике кольца. Расстояние между кольцом и его отражением 2h R, поэтому сила их взаимодействия равна силе взаимодействия двух прямолинейных отрезков провода длиной 2πR, расположенных на растоянии 2h с током J каждый. Очевидно, чтобы кольцо парило над сверхпроводником, необходимо, чтобы сила ампера компенисировала си- лу тяжести: mg = 2 2hc 2 J 2 · 2πR откуда J ≥ c mgh 2πR ≈ 8 4 · 10 10 ед. СГСЭ = 25 A. 7.20 Сверхпроводящий шарик летит по направлению к соленоиду вдоль его оси. Индукция поля в центре соленоида B = 1000 Гс. Какова должна быть начальная скорость v шарика, чтобы он смог пролететь через соленоид насквозь? Диаметр соленоида много больше диаметра шарика. Плотность материала шарика ρ = 8 г/см 3 Решение: Воспользуемся задачей 6.26. Представим, что вместо од- ного шарика у нас есть малый объем газа таких шариков. Тогда из- менение энергии магнитного поля со внесенными в катушку шариками должно быть равно или меньше их начальной кинетической энергии. По результату задачи 6.26 магнитная проницаемость газа: µ = 1 − 2πnr 3 Тогда изменение энергии поля: ΔW = V · B 2 8πµ − B 2 8π 30 V · n · mv 2 2 = −ΔW. Отсюда, сокращая n и V : v = 3 8πρ 7.31 В опытах А.Д. Сахарова сверхсильные магнитные поля получа- лись взрывным сжатием отрезка проводящей циллиндрической трубы, внтури которой изначально было создано поле B 0 . Определить магнит- ную индукцию в момент максимального сжатия, если B 0 = 5 · 10 4 Гс, начальный внтуренний радиус R = 5 см, радиус в момент максимально- го сжатия r = 0 5 см. Оболочку, окружающую магнитное поле, считать идеально проводящей. Определить также давление, необходимое для та- кого сжатия. Решение: В данном процессе ввиду идеальности проводящих стенок, магнитный поток через поперечное сечение трубы сохраняется: B 0 · πR 2 = B 1 · πr 2 откуда B 1 = B 0 R r 2 ≈ 5 · 10 6 Гс. Давление, для этого необходимое, есть давление, котороые оказывает магнитное поле на стенки в момент наибольшего сжатия. Оно равно плотности объемной магнитной энергии в трубе: P = B 2 8π ≈ 10 12 = 10 6 атм. 31 1.9 Девятая неделя К задаче 8.51 8.51 Длинный сверхпроводящий соленоид радиусом r 0 = 2 см укреп- лен по центру по центру диска из изолятора, который может свободно вращаться вокруг своей оси. Соленоид замкнут накоротко, и в нем цир- кулирует ток, создающий в центре соленоида индукцию B 0 = 10 4 Гс. На диск вне соленоида нанесены заряды, суммарная величина которых составляет Q = 4 · 10 − 6 Кл. Соленоид разогревается, и ток в нем прекра- щается. Найти момент импульса L, который получает в результате этого вся система. Решение: При изменении магнитного поля возникает вихревое элек- трическое. Вычислим его циркуляцию по окружности радиуса R, чей центр лежит на оси соленоида: 2π · E R) = − 1 c ∂B ∂t · πr 2 0 Закон изменения момента импульса: dL dt = M где момент импульса определяется интегрированием по площади диска электрической силы, действующей на каждый элемент заряда поверхно- 32 сти: M = dM = R 0 2π 0 σR 2 RdϕdR E R) = R 0 2π 0 σRdϕdR · RE R) = R 0 2π 0 σdS · − 1 c ∂B ∂t · πr 2 0 ) = − Q 2c ∂B ∂t r 2 0 . (1.65) Учитывая эти значения, вычислим момент: L = ∞ 0 M dt = − Q 2c r 2 0 B 0 12.3 Пространство внутри длинного соленоида, состоящего из N вит- ков проволоки, заполнено однородным веществом с диэлектрической про- ницаемостью ε и магнитной проницаемостью µ. Длина соленоида равна l, радиус R. По обмотке течет переменный ток J = J 0 cos ωt. Прене- брегая краевыми эффектами, вычислить магнитную и электрическую энергии, локализованные внутри соленоида, и найти отношение макси- мальных значений этих энергий. Провести числовой расчет для R = 5 см, ε = µ = 1, и частоты ν = 100 Гц. Решение: Магнитное поле тока в соленоиде: B = 4π c N J l Магнитная энергия W B = πR 2 l · B 2 8π B 2 8πµ = 2π 2 c 2 l µN 2 J 2 0 R 2 cos 2 ωt. Электрическое поле возникает из-за изменения магнитного поля. Его линии напряженности - коаксиальные с соленоидом окружности: 2πr · E r) = − 1 c ∂B ∂t πr 2 E r) = 2πr c 2 l N J 0 ω sin ωt. 33 Энергия электрического поля: W E = R 0 εE 2 8π 2πrldr = εlN 2 J 2 0 ω 2 sin 2 ωt 4c 2 l R 4 Отношение наибольших энергий электрического и магнтиного полей: W E.max W B.max = εµ 2 ωR 2c 2 ≈ 1 3 · 10 − 15 12.5 Заряженный и отключенный от источника электричества плос- кий конденсатор, состоящий из двух одинаковых дисков радиусом R, пробивается электрической искрой вдоль своей оси. Считая разряд ква- зистационарным и пренебрегая краевыми эффектами, вычислить мгно- венное значение напряженности магнитного поля H внутри конденсато- ра (в зависимости от расстояния r до его оси), если сила тока в электри- ческой искре в рассматриваемый момент времени равна J. Решение: ∇ × H = 4π c j + 1 c ∂D ∂t Найдем ток смещения (второй член в этой формуле). Во-первых, в си- стеме есть изменяющееся поле конденсатора (его заряд уменьшается), во-вторых, в канале искры присутствует электрическое поле, чье значе- ние определяется проводимостью в данной точке пространства. Оценим вклад этого поля в ток смещения: j = 1 λ E s ∂E s ∂t = λ ∂j ∂t ≈ 0 так как по условию разряд стационарный (то есть сила тока не меняется). Ток смещения, вызванный изменением электрического поля конденсато- ра: E c = 4π Q S ∂E c ∂t = 4π J S 34 Интегрируем по окружности, чей центр лежит на оси конденсатора: 2πrH = 4π c J − 1 c 4π S J · πr 2 H r) = 2J cr 1 − r 2 R 2 12.9 Плоскому конденсатору емкостью C, обкладками которого яв- ляются два одинаковых диска, сообщен заряд Q. Затем конденсатор от- ключают от источника электричества. После этого пластины соединяют длинным циллиндрическим проводом, проходящим вне конденсатора, и конденсатор разряжается. Пренебрегая неоднородностью поля на краях конденсатора, показать непосредственным расчетом, что полный поток электромагнитной энергии из конденсатора равен потоку электромаг- нитной энергии, втекающему внутрь провода. Проанализировать явле- ние с точки зрения представления о движении, превращении и сохране- нии энергии. Решение: Вектор потока энергии S = c 4π [E H]. В конденсаторе: E = 4π Q S H r) = − 2J cR 2 r. Поток энергии через боковую поверхность конденсатора: Φ out = 2πRd · S = 4πdJQ R 2 (1.66) Здесь d - расстояние между пластинами конденсатора, R - радиус пла- стин. Рассчитаем поток энергии в провод. Магнитное поле на поверхно- сти провода: H = 2J cδ (1.67) В этой формуле 2δ - толщина провода. Электрическое поле найдем из закона Ома: E = jλ = j · πδ 2 /πδ 2 = J λ πδ 2 35 Пусть L-толщина провода. Тогда E · L = Jλ L πδ 2 = J · R Ω (1.68) (R Ω - сопротивление провода). Входящий поток электромагнитной энер- гии: Φ in = c 4π EH · 2πδL = c 2 EL · 2πHδ = J 2 R Ω Здесь были использованы соотношения (1.67) и (1.68). Преобразуем (1.66): Φ out = 4πQ πR 2 d · J = UJ = J 2 R Ω Видно, что потоки энергий тождественно равны. При этом, энергия, ра- нее сконцентрированная в конденсаторе в виде электрического поля, вте- кает в провод, преобразуясь там в тепло. 1.10 Десятая неделя 9.8 Последовательно соединенные дроссель L и омическое сопротивле- ние присоединены к источнику постоянного тока с ЭДС ε. Полное омиче- ское сопротивление цепи равно R. Индуктивность дросселя, когда в него вставлен железный сердечник, равна L 1 . Индуктивность же того дрос- селя без железного сердечника L 2 . Вначале сердечник был вставлен. В момент времени t = 0, когда ток в цепи уже установился, очень быстро вынимают железный сердечник (в течение времени, пренебрежимо мало- го по сравнению с временем установления тока). Определить силу тока I в цепи в зависимости от времени для t > 0 Решение: Установившееся значение силы тока в цепи до извлечения сердечника: I 1 = ε R При быстром извлечении сердечника возникающая ЭДС самоиндукции в катушке препятствует изменению потока через катушку. Поэтому можно записать Φ с сердечником = Φ без сердечника или I 1 L 1 = I 2 L 2 36 Из последнего равенства получим начальное значение силы тока для цепи без сердечника. Запишем закон Ома: ε − L 2 dI dt = IR. Решим его, задав начальное условие I 0) = I 2 : I = I 2 − I 1 ) e − R 2 t + I 1 другими словами I = ε R 1 + L 1 − L 2 L 2 e − t/τ где τ = L 2 R 9.16 При отключении цепей постоянного тока, обладающих большой индуктивностью (например, обмоток возбуждения генераторов постоян- ного тока), эти цепи предварительно замыкают на параллельно включен- ное сопротивление r для ограничения перенапряжений. Определить, во сколько раз в этом случае максимальное напряжение на зажимах цепи V mx будет превышать приложенное постоянное напряжение V 0 Решение: Когда катушка подключена к сети, через нее течет ток I 0 = V R . При отключении цепи питания ЭДС самоиндукции в катушке препятствует изменению потока, следовательно, ток не успевает изме- ниться. Далее, происходит затухание тока по закону I = I 0 e − t r+R)/L 37 Напряжение на резисторе r наибольшее в момент отключения (t = 0): V mx = I 1 R − L dI 1 dt = I 1 R − LI 1 R + r L = −I 1 r = V 0 r R 9.17 В колебательном контуре с индуктивностью L и емкостью C совершаются незатухающие колебания силы тока I = I 0 cos ωt, где ω 2 = 1/ LC). Катушкой индуктивности служит прямая длинная проволочная спираль. Как изменятся частота ,амплитуда и энергия колебаний, если в момент времени t = 0 очень быстро (то есть за промежуток времени, много меньший периода колебаний тока) растянуть спираль до удвоен- ной длины? Объяснить, почему при этом меняется энергия колебаний. Решение: Индуктивность катушки обратно пропорциональна ее длине: B ∼ 1 l При быстром изменении параметров катушки магнитный поток через нее не успевает измениться: LI 0 = L 1 I 1 L 1 = 1 2 L ⇒ I 1 = 2I 0 Отсюда видно, что амплитуда колебаний удвоилась. В момент t = 0 конденсатор полностью разряжен, следовательно, вся энергия колебаний запасена в магнитном поле катушки. Эта энергия есть W 1 = 1 2 L 1 I 2 1 = 1 2 · L 2 · 2I 0 ) 2 = 2 1 2 LI 2 = 2W 0 То есть энергия колебаний удвоилась засчет работы, совершенной над катушкой при ее растяжении (т.к. соседние витки катушки притягива- ются друг к другу как провода с одинаковым направлением тока). Частота колебаний, определяемая формулой ν = ω 2π = 1 2π CL/2 = √ 2ν 0 38 увеличилась в √ 2 раз. 9.27 В схеме, изображенной на рисунке, в некоторый момент времени замыкают ключ K, и конденсатор C, имеющий первоначальный заряд q 0 , начинает разряжаться через индуктивность L. Когда ток разряда достигает максимального значения, ключ K вновь размыкают. Какой заряд протечет через сопротивление R? Сопротивление диода D в схеме в прямом направлении много меньше R, в обратном - бесконечно велико. Решение: Ток через диод после размыкания ключа не течет. Поэто- му процесс разрядки конденсатора описывается уравнением q C = −L d ˙q dt (т.к. из закона сохранения заряда ˙q = I). Используя начальные условия (I = 0 q = q 0 ), получим закон изменения тока: I = q 0 ω sin ωt В момент, когда ток достиг наибольшего значения, ключ размыкают и конденсатор перестает оказывать влияние на систему. ЭДС индукции в катушке положительна (относительно обхода контура по часовой стрел- ке), поэтому диод открывается. Катушка с током I mx = q 0 ω оказывается замкнутой на резистор. Из закона Ома −L dI dt = IR получим закон изменения тока: I = I mx e − t/τ 39 где τ = L/R. Протекший заряд получим, проинтегрировав силу тока по времени: Q = ∞ 0 I t)dt = q 0 L CR 2 9.53 Резонансный контур L R C раскачивается периодически по- следовательными импульсами, такими, что каждый отдельный импульс создает на конденсаторе дополнительное напряжение V . Промежутки времени между двумя последовательными импульсами в целое число n раз больше периода собственных колебаний. Определить амплитуду V 0 установившихся колебаний, считая декремент затухания контура малым. Решение: Будем считать, что раскачка импульсами началась при нулевой энергии колебательного контура. В таком случае, импульсы на- качки будут следовать в момент максимального напряжения на конден- саторе. Декремент затухания есть логарифм отношения двух последователь- ных локальных максимумов напряжения (заряда, силы тока...): d = δT = ln V k V k+1 откуда V k+1 = V k e − d Т.к. декремент затухания мал, период собственных колебаний можно считать равным T = 2π √ LC. 40 Через n периодов амплитуда упадет до значения V k+n = V k+ n−1) e − d = V k+ n−2) e − 2d = . . . = V k e − nd Пусть в момент t k напряжение на конденсаторе было V k после сооб- щения дополнительного заряда импульсом накачки. Через n периодов непосредственно перед очередным импульсом накачки напряжение на конденсаторе стало V k+n . Установившейся амплитудой будем считать на- пряжение V k . После импульса накачки напряжение V k+n увеличится на V 0 , став по величине равным V k . Таким образом: V k = V k+n e nd V k = V k+n + V 0 Выражая отсюда V k , получим V k = V 0 1 − e − nd ≈ V 0 nd = V 0 πnR L C 1.11 Одиннадцатая неделя 10.1 Железный сердечник несет на себе две обмотки. Одна омотка, из большого числа n витков, присоединена к источнику синусоидальной ЭДС ε. Другая обмотка состоит из одного кольца, сопротивление ко- торого R. Точки A B C этого кольца остоят друг от друга на равные расстояния. 1) Что покажет достаточно чувствительный амперметр пе- ременного тока с сопротивлением r, если его присоединить к двум из этих точек? 2) Как изменится показание амперметра, если его перебро- сить в положение, указанное штриховой линией на рисунке? Железный сердечник не имеет магнтиного рассеяния. Индуктивностью кольца и со- единительных проводов можно пренебречь. Решение: ЭДС источника возбуждает в катушке ток ε = −L dI dt Магнитный поток через катушку: Φ 0 = LI 41 через сечение сердечника: Φ = Φ 0 n В любом контуре, охватывающем сердечник, возникает ЭДС индукции: ε i = − dΦ dt Видно, что ε i = ε n Рассмотрим первый способ подключения амперметра. ЭДС индук- ции возбуждается в контуре A − B − C. Запишем законы Кирхгофа: 0 = I 2 1 3 R − I A r ε i = I 1 2 3 R + I A r I 1 = I A + I 2 Решая эту систему, получаем I A = 3ε n 2R + 9r) 42 При втором способе подключения ЭДС индукции возбуждается в контуре A − R 3 − B − r. Поэтому законы Кирхгофа будут выглядеть так: ε i = I 2 R 3 + I 1 2R 3 ε i = I 2 1 3 R − I A r I 2 = I 1 + I A Из этой системы получаем I A = 6ε i n 2R + 9r) 10.3 Для определения мощности, выделяемой переменным током в катушке (индуктивность L, сопротивление r), иногда применяют метод трех амперметров. Параллельно катушке включают известное сопротив- ление R. Измеряют эффективные значения токов: I 1 - через катушку, I 2 - через сопротивление R и полный ток I 0 . Зная показания приборов, определить искомую мощность P . 43 10.3 Составим векторную диаграмму. (Напряжение на катушке равно напряжению на резисторе нагруз- ки, сила тока I 0 складывается из I 1 и I 2 ). Должны выполняться законы Кирхгофа: I 1 + I 2 = I 1 I 1 X L + I 1 r = I 2 R. Сопротивление катушки X L = iωL, ток через резистор r и катушку оди- наковый в каждый момент времени, следовательно на векторной диа- грамме для напряжения токи через катушку и сопротивление r сона- правлены, а по напряжения по фазе отличаются на π/2. Из диаграммы для токов определяем ϕ по теореме косинусов: I 2 0 = I 2 1 + I 2 2 − 2I 1 I 2 cos ϕ cos ϕ = I 2 1 + I 2 2 − I 2 0 2I 1 I 2 Из диаграммы для напряжений получим соотношения между ϕ и сопро- тивлениями r X L , учитывая, что угол между напряжением на R и на r остается ϕ: X L = I 2 R I 1 cos ϕ r = X L tg ϕ ≡ I 2 R I 1 sin ϕ. Используя эти формулы и выражая sin ϕ через cos ϕ, получим мощность: P = I 2 1 r = R 2 I 2 0 − I 2 1 − I 2 2 ). 44 10.23 Емкостный датчик - одно из наиболее чувствительных радио- технических устройств для регистрации малых механических смещений. Обычно емкостный датчик представляет собой электрический колеба- тельный контур в воздушным конденсатором, одна из пластин которо- го подвижна. Оценить минимальное измеряемое перемещение пластинки конденсатора Δd, если контур настроен в резонанс. Напряжение источ- ника питания V = 100 В, минимальное измеряемое изменение напряже- ния на сопротивлении ΔV = 10 мкВ, добротность контура Q = 19 3 и зазор между пластинками d = 1 мм. Решение: Из закона Ома для переменного тока ток в основной цепи равен: I = V R + iωL − 1 iωC ) Напряжение на резисторе V R = IR: V R = V R R 2 + ωL − 1 ωC ) 2 Контур настроен в резонанс, следовательно, будем считать, что ω 2 LC = 1. Емкость конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между об- кладками, следовательно, ΔC C = − Δd d Посчитаем изменение амплитудного значения напряжения, найдя диф- ференциал от V R : Δ V R = 1 2 V R · 2 ωL − 1 ωC ) R 2 + 1 ω 2 C 2 ω 2 LC − 1) 2 ) 3/2 · ΔC ωC 2 = = V R R 3 · ω 2 L C + ΔC) − 1 ωC · ΔC ωC 2 = V L R 2 C ΔC C 2 . (1.69) 45 Добротность колебательного контура есть Q = 1 R L C С учетом этого, последняя формула примет вид: Δ V R = Q 2 V Δd d 2 откуда Δd = d Q ΔV V ≈ 3 · 10 − 9 м. 10.39 Вблизи катушки колебательного контура с параметрами L 1 C R расположена вторая катушка с индуктивностью L 2 . Взаимная индуктив- ность между катушками равна M . Какой будет резонансная частота кон- тура, если выводы второй катушки замкнуты накоротко? Считать, что индуктивное сопротивление второй катушки на рассматриваемой часто- те значительно больше ее омического сопротивления. Решение: Запишем закон Ома для обоих контуров. Пусть в первом контуре течет ток I 1 t), во втором - I 2 t). −L 1 dI 1 dt − M dI 2 dt = q C + I 1 R L 2 dI 2 dt + M dI 1 dt = 0. Подставляя в первое уравнение I 2 и учитывая, что I 1 = ˙q, ˙I 1 = ¨ q, получим: ¨ q L 1 − M 2 L 2 + ˙qR + q C = 0 откуда видно, что резонансная частота контура есть ω 2 = L 2 L 1 L 2 − M 2 )C а при L 1 L 2 = M 2 не будет резонанса, т.к. не будет и колебаний. 46 |