Решение Сила, действующая на диполь с дипольным моментом p в неоднородном поле E f p E
 Скачать 456.47 Kb.
|
|
1. Чему равна емкость конденсатора C? 2. Чему равна напряженность поля E в воздушной части промежутка между пластинами и в части, заполненной диэлектриком? 3. Как распределена поверхностная плотность σ электричества в пла- стине? 4. Определить уменьшение энергии конденсатора ΔW . На что она была израсходована? Считать, что граница жидкость-воздух плоская и все параметры конден- сатора изменяются скачком. Решение: Конденсатор после введения жидкости можно предста- вить в виде двух параллельно соединенных конденсаторов с площадями обкладок S/2, один из которых заполнен диэлектриком с проницаемо- стью ε (Одинаковое напряжение, суммарный заряд равен первоначально- му). Пусть поверхностная плотность конденсатора с диэлектриком внут- ри есть σ 2 , второго конденсатора - σ 1 . Закон сохранения заряда: σ 1 + σ 2 = 2σ 0 (1.52) Равенство напряжений: 4πσ 1 d = 4πσ 2 ε d. (1.53) 14 Из этих двух уравнений выражаем плотности заряда: σ 1 = 2 1 + ε σ 0 σ 2 = 2ε 1 + ε σ 0 Напряженность поля в воздушной части конденсатора: E 1 = 1 1 + ε 2V d в диэлектрике: E 1 = ε 1 + ε 2V d Изменение энергии: ΔW = W 2 − W 1 = E 2 1 8π S 1 d + E 2 D 2 8π S 2 d) − E 2 0 8π S 0 d) = − SV 2 8πd ε − 1 ε + 1 . (1.54) Эта энергия равна работе против силы тяжести по поднятию диэлектри- ка внутрь конденсатора. 4.33 Показать, что сопротивление однородной проводящей среды, за- полняющей все пространство между двумя идеально проводящими обо- лочками произвольной формы, равно ρ/ 4πC), где ρ - удельное сопротив- ление среды, а C - взаимная емкость этой системы электродов-оболочек в вакууме. Решение: Будем считать, что заряды электродов изменяются мед- ленно. Тогда токи в системе можно считать стационарными, а объемных зарядов в среде не будет. Поверхности электродов эквипотенциальны. Тогда распределение электрического поля будет решением задачи: Δϕ = 0 ϕ lef t − ϕ right = V. Эта задача совпадает с задачей в вакууме, поэтому поля в вакууме и в данной среде не отличаются. I = dq dt = j dS) = 1 ρ E dS) = 4π ρ q = 4π ρ CU (1.55) I = U R R = ρ 4πC (1.56) 15 1.5 Пятая неделя 5.5 Найти индукцию B магнитного поля на оси соленоида в точке A, из которой диаметры торцов видны под углами 2α и 2β. Соленоид состоит из N витков, равномерно намотанных на длине l, и по нему течет ток J. Решение: Магнитное поле, создаваемое элементом поверхности dS: dB = [i r]dS cr 3 Составляющая поля, параллельная элементу поверхности: dB τ = B τ ) = dS cr 3 τ [i r]) = dS cr 3 [τ i] r) = dS cr 3 n r)i = i c dΩ (1.57) (Здесь dΩ - телесный угол, под которым видна площадка dS).Для нахож- дения поля на оси надо просуммировать по всей поверхности соленоида dB τ : B = i c dΩ = i c Ω 2 − Ω 1 ) = 2πN J lc cos β − cos α). (1.58) 5.6 При производстве полиэтиленовой пленки широкая полоса про- тягивается по роликам со скростью v = 15 м/с. В процессе обработки (главным образом из-за трения) поверхность пленки приобретает рав- номерно распределенный заряд с поверхностной плотностью σ. Оценить максимальное значение σ и магнитного поля B вблизи поверхности плен- ки, принимая во внимание, что при напряженности электрического поля E 0 = 30 кВ/см в воздухе возникает электрический разряд (пробой). Решение: Напряженность электрического поля пленки можно оце- нить, рассматривая некую точку вблизи поверхности: E = 2πσ. Пробой произойдет при E > E 0 . Магнитное поле создается перемещающимся поверхностным зарядом. Применим теорему о циркуляции магнитного поля для контура ABCD. Считая пленку широкой, а контур расположен- ный вдали от ее краев, можно считать магнитное поле однородным, па- раллельным плоскости пленки и направленным перпендикулярным ско- рости пленки. Отсюда: 2lB = 4π c σvl ⇒ B = E 0 c σv. (1.59) 16 5.14 По оси полого цилиндра натянута заряженная нить, на единицу длины которой приходится заряд χ = 1 ед. СГСЭ. Цилиндр вращает- ся вокруг своей оси с угловой скоростью Ω = 1000 рад/с. Определить мгнитное поле B в материале цилиндра вдали от его торцов, пренебрегая пьезоэффектом всеми эффектами, вызываемыми центробежной силой. Определить также магнитное поле в полости циллиндра и во внешнем пространстве в случаях, если циллиндр: 1) металлический немагнитный; 2) диэлектрический (ε = 3). Решение: Обозначим внутренний и внешний радиусы циллиндра r и R соответственно. Заряженная нить внутри циллиндра создает заря- ды в циллиндре. Их вращение вместе с циллиндром создает ток, из-за которого возникает магнитное поле. В результате система эквивалентна соленоиду с некоторым распредлением поверхностного или объемного тока. Как известно, магнитного поля вне соленоида нет. Поэтому в обо- их случаях можно сказать, что поле вне циллидра есть ноль. Поле внут- ри полости также есть ноль, т.к. взяв прямоугольный контур проходя- щий по оси циллиндра одной стороной и вне циллиндра другой стороной увидим, что ток через контур в силу электронейтральности циллиндра отсутствует, а поля снаружи нет. Значит, и поле внутри полости тоже ноль. Рассмотрим случай металлического циллиндра. На его внутренней стороне образуется индуцированный заряд так, чтобы полностью ском- пенсировать электрическое поле нити (которое есть E x) = 2χ x , x - рассто- яние от нити до точки наблюдения). Поэтому поверхностная плотность заряда на внутренней стороне циллиндра: 2πrσ 1 = χ, σ 1 = χ 2πr (1.60) Из закона сохранения заряда найдем поверхностную плотность заряда на внешней стороне циллиндра: 2πrσ 1 = 2πRσ 2 ⇒ σ 2 = − χ 2πR (1.61) Исходную систему можно заменить системой двух соосных соленоидов соответствующего радиуса, по которым текут поверхностные токи σ 1 Ωr = χΩ 2π = −σ 2 ΩR. Видим, что они равны и противоположно направлены. По- ля, создаваемые ими внутри полости будут компенсироваться. Внутри металла есть только поле внешнего соленоида. Поэтому поле в полости B c = 0 17 a поле в металле B m = 2χ c Ω. Теперь рассмотрим случай диэлектрического циллиндра. Электри- ческая индукция определяется лишь зарядом провололки: D x) = 2χ x Поляризационный заряд на внутренней поверхности определим из усло- вия D = εE 2πσ 1 + 2χ r = 2χ εr откуда σ 1 = − χ π ε − 1 ε Циллиндр в целом электронейтрален, следовательно 2πrσ 1 = 2πRσ 2 Магнитное поле внутри диэлектрика определяется внешней поверхно- стью: B = 4π c σ 2 ΩR = 2χ c Ω ε − 1 ε 5.21 Вдоль плазменного цилиндра радиусом a с параболическим распределением проводимости λ = λ 0 1 − r 2 /a 2 ) течет постоянный ток J. Найти магнитное поле B r) внутри и вне цилиндра в зависимости от расстояния r от оси цилиндра. Решение: По закону Ома: j = λE. Поскольку ток течет вдоль про- вода, то электрическое поле параллельно оси провода. Любое радиаль- ное распределение напряженности поля, кроме однородного, будет про- тиворечить теореме о циркуляции электростатического поля. Поэтому E = −−−→ const. Надем E из условия jdS = J. J = a 0 2πrdrλ r)E. 18 Отсюда E = 2J πλ 0 a 2 Магнитное поле ищем по теореме о циркуляции, охватывая ось циллин- дра окружностью радиуса r. При r < a: B = 1 2πr 4π c a 0 2πr dr j r) ≡ 4Jr ca 2 1 − r 2 2a 2 ) при r > a B = 2 cr J. 5.23 По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, сделанным из немагнитного материала и изолированным друг от друга, текут в противоположных направлениях токи с одной и той же плотно- стью j = 1000 А/см 2 . Проводники ограничены цилиндрическими поверх- ностями. Найти велчичну и направление магнитного поля в полости П. Ток в левом проводнике направлен к читателю, а в правом - от читателя. Расстояние между осями цилиндров AB = d = 5см. 19 Решение: Возьмем произвольную точку C в полости П. Пусть AC = r 1 , BC = r 2 . Распределение токов нужной конфигурации получится, ес- ли рассмотреть два пересекающихся сплошных проводника, по которым текут такие же токи в таких же направлениях. При этом в области пере- сечения проводников (соответствующей полости П) тока не будет. Таким образом, поле в полости можно найти, сложив поля, создаваемые обоими токами. 2πr 1 B 1 = 4π c πr 2 1 ⇒ B 1 = [n r 1 ] r 1 2πr 1 c j 2πr 2 B 2 = 4π c πr 2 2 ⇒ B 2 = [n r 2 ] r 2 2πr 2 c j. B = B 1 + B 2 = 2π c j[n r 1 − r − 2] = 2π c j[n d]. Поле в полости однородно и направлено в плоскости чертежа вверх пер- пендикулярно АВ. 20 1.6 Шестая неделя 6.1 Какой ток нужно пустить по длинному и тонкому однослойно- му соленоиду с плотностью намотки n витков на сантиметр, чтобы ин- дуцкия B была равна индукции постоянного магнита тех же размеров? Намагниченность I постоянна и направлена по оси. Решение: Намагниченность есть магнитный момент единицы объ- ема. Поверхностный ток определяем из условия равенства магнитного момента IV и момента, создаваемого током: I m S/c. Отсюда поверхност- ный ток, создающий такую же намагниченность: i m = cI. (1.62) Ток, который надо пустить по катушке, есть = cI/n. (1.63) 6.4 Бесконечная плоская пластина изготовлена из однородного на- магниченного ферромагнетика, причем вектор намагниченности I па- раллелен плоскости пластины. Найти поля B, H внутри и вне пластины. Решение: Намагниченность плоскости можно заменить соответству- ющей величины поверхностным током. Он будет идти в направлении, перпендикулярном I по обеим поверхностям в разных направлениях. Поэтому вне плоскости поля нет: B = H = 0, т.к. поля от токов по поверхностям компенсируют друг друга. Тангенциальная составляющая H τ непрерывная при переходе через поверхность без поверхностных то- ков проводимости. Поэтому H = 0 и внутри пластины. Индукция же поля есть B = −4πI ( из B = H + 4πI). 6.5 Имеется тонкий длинный постоянный магнит длиной 2l и ради- усом r, намагниченность которого I = const. Начертить качественную картину линий HиB. Найти индукцию B в точке А. Во сколько раз она больше, чем в точке С? 21 Решение: Намагниченность создает поверхностный ток на циллин- дре (1.62). Воспользуемся результатом задачи 5.5. По формуле (1.58) H b = B b = 2πI 1 − r 2 8l 2 ). Считая соленоид тонким, можем найти поле во внутренней точке соле- ноида, близкой к C,считая ее лежащей близко к оси соленоида: B c i = 4πI 1 − r 2 2l 2 ) H c i = B − 4πI = −2πI r 2 l 2 Непрерывность тангенциальной составляющей H позволяет найти на- пряженность в точке C: H c = −2πI r 2 l 2 = B c Отсюда искомое отношение B c B b = r 2 l 2 Качественная картина поля представлена на рисунке. 22 6.17 На железный сердечник постоянного сечения длиной l = 1 м с зазором d = 1 мм намотана катушка с числом витков N = 1600 по кото- рой течет ток . Зависимость B H) материала сердечника представлена на рисунке. Определить магнитное поле в зазоре. Решение: Будем считать, что поле, создаваемое катушкой, не вы- ходит за пределы сердечника нигде, кроме как в зазоре. Воспользуемся теоремой о циркуляции. Тогда Hdl = 4π c N. 23 H B)l + Bd = 4π c JN H B) = 4π cl JN − d l B. (1.64) Итак, чтобы найти поле в сердечнике, надо найти точку пересечения ли- нии (1.64) и зависимости H B) материала. При подсчете надо перевести величины из СИ в единицы системы Гаусса: 1A = 3 · 10 9 ед. СГС. Ответ: B ≈ 15 кГс H ≈ 5 Э. 6.18 Тонкий тороидальный сердечник радиусом R выполнен из мяг- кого железа с магнитной проницаемостью µ 1. Сердечник разрезан под диаметру, половинки раздвинуты на расстояние L, а затем один из зазоров замкнут постоянным магнитом (см. рис.). Намагниченность ве- щества магнита I. Пренебрегая рассеянием, найти поле в свободном за- зоре. Решение: Заменим намагниченность поверхностным током проводи- мости по магниту. Считая, что поле не выходит из сердечника, запишем теорему о циркуляции: Hdl = 4πI. (здесь использован результат задачи 6.1 (1.63)). Считаем, что в зазо- ре поле в силу малости размера зазора такое же, как и в сердечнике (непрерывность нормальной составляющей B),H = B/µ. Тогда цикру- ляция есть Hdl = 2πR B µ + 2L 24 B = 2πI L + πR µ 1.7 Седьмая неделя 5.28 Определить индуктивность L проводника, показанного на рисун- ке. Ток течет по проволоке диаметром d = 1 мм, расположенной вдоль оси достаточно тонкой металлической трубки, переходит на дно труб- ки, к центру которого припаяна проволока, и возвращается обратно по поверхности трубки. Высота трубки 400 мм, диаметр - 20 мм. Решение: Будем считать, что трубка достаточно тонкая и длинная, чтобы пренебречь краевыми эффектами вблизи ее торцов. Магнитного поля снаружи трубки нет, внутри оно создается только током, текущим по проволоке. Это поле по величине равно J = 2J cr где r - расстояние от оси системы до точки наблюдения (r < R). При из- менении тока в системе, возникнет индукционное электрическое поле. В силу симметрии системы, можно предположить, что вихревое электри- ческое поле будет праллельно оси системы. Его циркуляция по контуру ABCD будет равна изменению потока магнитного поля через прямо- угольник ABCD. Таким образом, для нахождения индуктивности нам 25 нужно найти поток магнитного поля через этот контур. Φ = LJ c L = cΦ J = R d/2 2H r dr = 2H ln 2R d ≈ 240 см 5.30 На один сердечник намотаны две катушки. Индуктивности ка- тушек в отдельности соответственно равны L 1 = 0 5 Г и L 2 = 0 7 Г. Чему равна взаимная индуктивность M ? Рассеяния магнитного поля нет. Решение: Пусть во второй катушке течет ток I 2 . Тогда в сердечнике создается магнитные поток Φ 0 = L 2 I 2 N 2 (здесь N 2 - число витков во вто- рой катушке). Этот поток проходит через каждый из N 1 витков первой катушки, создавая поток Φ 12 = Φ 0 ∗ N 1 через первую катушку. Таким образом, взаимная индуктивность второй катушки на первую есть L 12 = Φ 12 I 2 = N 1 N 2 L 2 Аналогично, предположив, что в первой катушке течет ток I 1 ,посчитаем поток, возбуждаемый ею во второй катушке, и найдем взаимную индук- тивность L 21 = N 2 N 1 L 1 По теореме взаимности L 12 = L 21 . Тогда M = L 12 = L 21 = √ L 12 L 21 = √ L 1 L 2 ≈ 0.6 Г. 8.34 В скрещенных однородных полях E B E⊥B из некоторой точки x 0 разлетаются электроны с одинаковыми скоростями v c, лежащими в плоскости 0xy. Считая E B (в СГСЭ) и пренебрегая взаимодействи- ем электронов между собой, найти, на каком расстоянии l и через какое время T они снова соберутся в одну точку. Изобразить (качественно) траекторию частицы, если известно, что в начальный момент времени она покоилась в в точке x 0 26 Решение: Сила Лоренца, действующая на электрон: F = eE + e c [v B]. Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью V , параллельной оси 0x. Тогда в новой системе отсчета скорость электрона будет равна v = v − V . Сила Лоренца в этой системе отсчета: F = eE + e c [v + V B] = e E + [V B] c + e c [v B]. Электрическое поле обратится в ноль при V = c E c В этой системе отсчета все электроны движутся по окружностям с оди- наковой частотой ω ларм = eB mc Поэтому (в исходной системе отсчета) через время T = 2π mc eB все электроны соберутся в точке x = x 0 + 2π mc 2 E eB 2 Траектория изначально покоившегося электрона будет циклоидой (т.к. в движущейся системе отсчета он не покоится). 27 8.64 В однородное магнитное поле с индукцией B помещена тонкая металлическая лента шириной d и толщиной a так, что плоскость лен- ты перпендикулярна к индукции B. По ленте пропускают ток J. Найти разность потециалов V , возникающую между краями ленты (т.е. на рас- стоянии d), если концентрация свободных электронов в металле равна n. Решение: Сила, действующая на электрон: F e l = e E l + E t ) + e c [v B] − av. Здесь E l - электрическое поле, создаваемое источником тока и обеспе- чивающее течение тока, −av - сила, возникающая из-за наличия сопро- тивления в металле, E t - поле, возникающее из-за разделения зарядов на боковых поверхностях пленки. В стационарном состоянии поперечные и продольные (по отношению к направлению тока) компоненты силы скомпенсированы. Поэтому: E t = e c vB. J = env · ad V = E t · d = JB anc 1.8 Восьмая неделя 6.26 На сколько отличается от единицы магнитная проницаемость µ "идеального газа", состоящего из большого числа сверхпроводящих ша- риков радиуса r? Концентрация шариков мала, так что nr 3 1. 28 Решение: Пусть газ помещен в однородное поле B 0 . Индукционные токи на поверхности шарика полностью компенсируют внешнее поле. Пусть i θ) - поверхностная плотность тока, θ - широта. Магнитное поле, создаваемое всеми этими токами, внутри шара однородно и равно B 0 Вычислим его в центре шара. Для этого воспользуемся выражением для индукции магнитного поля на оси кольца: dB = 2πR 2 cr 3 dJ = 2πr 2 sin 2 θ cr 3 i θ)rdθ B 0 = θ=π θ=0 dB = 2π c π 0 i θ) sin 2 θ dθ. Найдем магнитный момент шарика. Элемент поверхностного тока созда- ет момент dM = − dJ c πR 2 = − πi θ)r dθ c r 2 sin 2 θ. Отсюда магнитный момент всего шарика есть: M = − πr 3 c π 0 i θ) sin 2 θ dθ. Видим, что интеграл в этом выражении можно выразить из (1.8): M = − 1 2 B 0 r 3 Отсюда магнитный момент единицы объема (намагниченность): I = − n 2 B 0 r 3 H = B − 4πI H = B 0 1 + 2πnr 3 ) B = µH отсюда, пользуясь малостью nr 3 : µ ≈ 1 − 2πnr 3 29 6.35 Над плоской поверхностью сверхпроводника первого рода на изолирующем слое толщиной h = 5 мм лежит тонкое сверхпроводящее кольцо радиусом R = 10 см, по которому течет ток J. При каком токе J |