Математика. Контрольная работа 1. Решение. Найдем произведение матриц Найдем. Найдем определитель матрицы

• Название: Решение. Найдем произведение матриц Найдем. Найдем определитель матрицы
• Анкор: Математика
• Дата: 19.11.2021
• Размер: 456.5 Kb.
• Имя файла: Контрольная работа 1.doc
• Тип: Решение; #276522

Вариант № 1
Задание 1.

Найти матрицу , если

, , , .
Решение.

1. Найдем произведение матриц :






2. Найдем .

Найдем определитель матрицы.



Матрица невырожденная, так как ее определитель отличен от нуля. Найдем обратную матрицу , где С_ij – алгебраическое дополнение элемента с_ij матрицы С.

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы С:

; ;

; ;

; ;

; ;



Тогда обратная матрица имеет вид:


3. Вычисляем .



4. В итоге получаем: .



Ответ:

Задание 2. Найти пределы.

а) ; б) .
Решение.

а)

Неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на старшую степень аргумента, т.е. . В результате получим:



При функции, , , , , , являются бесконечно малыми.
б)

Неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на множители и сократим дробь при условии, что и :





;





Ответ: а) 0; б) .

Задание 3.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

;
Решение.

Находим производную функции:



Найдем стационарные точки:









;

Получили две стационарные точки, одна из которых является границей интервала.

Вычислим значения функции в стационарных точках и на границах интервала:







Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Итак, наибольшее значение на данном отрезке равно 19, наименьшее равно -13.

Ответ. Наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке и равно 19, наименьшее достигается в точке и равно -13.

Задание 4. Вероятность того, что к 15 апреля машина не прошла техосмотр, равна 0,35. Какова вероятность, что из 10 машин, стоящих на стоянке техосмотр к данному числу не прошли 3?
Решение.

Вероятность того, что из 10 машин, стоящих на стоянке, техосмотр к 15 апреля не прошли 3, найдем по формуле Бернулли:

, ; ; ; .





Ответ: 0,25.

Задание 5. Из 30 вопросов студент знает 3. Составить закон распределения случайной величины Х – числа вопросов, которые он знает из 4 предложенных.

Найти , , . Составить функцию , построить ее график.

Решение.

Случайная величина - число вопросов, которые студент знает из 4 предложенных. Множество возможных значений : , , , .

Найдем соответствующие вероятности по формуле классической вероятности:

, где - число благоприятных случаев, - число всевозможных случаев.

Число всевозможных случаев:

Число благоприятных случаев при :





Число благоприятных случаев при :





Число благоприятных случаев при :





Число благоприятных случаев при :





Закон распределения случайной величины имеет вид:

	0	1	2	3

Проверка:

Найдем числовые характеристики:















По определению , т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение меньше, чем .

1. Так как наименьшая варианта равна , значит при

2. При .

3. При .

4. При

.

5. Так как - наибольшая варианта, то при



Построим график .



Ответ: ; ;

Задание 6. По корреляционной таблице:

а) построить график опытной линии регрессии;

б) найти выборочный коэффициент корреляции и проверить его значимость;

в) определить линейную модель регрессии.

	4	9	14	19	24	29
10	2	3
20		7	3
30			2	50	2
40			1	10	6
50				4	7	3

Решение.

а) Построим вспомогательную расчетную таблицу.

Y X	4	9	14	19	24	29
10	2	3					5	50	500	35	275	350
20		7	3				10	200	4000	105	1155	2100
30			2	50	2		54	1620	48600	1026	19594	30780
40			1	10	6		17	680	27200	348	7262	13920
50				4	7	3	14	700	35000	331	7999	16550
	2	10	6	64	15	3	100	3250	115300	1845	36285	63700
	8	90	84	1216	360	87	1845
	32	810	1176	23104	8640	2523	36285
	20	170	160	2100	650	150	3250
	200	3100	4600	71000	28900	7500	115300
	80	1530	2240	39900	15600	4350	63700

Для построения эмпирических ломаных регрессии вычислим условные средние и на основании построенной таблицы и получим таблицы, выражающие корреляционную зависимость от и от .

	10	20	30	40	50
	7	10,5	19,0	20,47	23,64

; и т.д.

	4	9	14	19	24	29
	10	17	26,67	32,81	43,33	50

; и т.д.

В прямоугольной системе координат построим точки , соединим их отрезками прямых, получим эмпирическую линию регрессии на . Аналогично строим точки и эмпирическая линия регрессии на .



Построенные эмпирические ломаные регрессии на и на свидетельствует о том, что между величинами существует линейная зависимость. Из графика видно, что с увеличением значения также увеличивается, поэтому можно выдвинуть гипотезу о прямой линейной корреляционной зависимости между величинами.

б) Оценим тесноту связи для этого найдем выборочный коэффициент корреляции.

Из таблицы, используя формулу для выборочного коэффициента корреляции ,

, , , получим:



Значение выборочного коэффициента корреляции говорит о том, что связь между величинами и высокая.

Для проверки значимости вычислим критерий проверки по формуле: .



По таблице приложения 3 найдем критическое значение при и степеней свободы: .

Так как , то нулевую гипотезу отвергаем и считаем, что величины и линейно коррелированны.

в) Предположим, что случайные величины и связаны линейной регрессионной зависимостью. Тогда уравнение регрессии имеет вид:







Строим график.