01 Самостоятельная работа тема 1. Решение систем дифференциальных уравнений с помощью операционного исчисления
 Скачать 53.27 Kb.
|
|
Самостоятельная работа по «Высшей математике» на тему: «Решение систем дифференциальных уравнений с помощью операционного исчисления» Выполнил студент: ____________________ Группа: SRQTA-1 Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f ( t ) переходят к уравнению относительно другой функции F ( p ), называемой изображением f ( t ) . Полученное операционное уравнение обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F ( p ) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения. Операционные исчисления. Функции оригинал Операционное исчисление- один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и пользуется большой популярностью у инженеров. Метод был предложен известным американским электротехником и физиком О. Хевисайдом (1892 г.). Он предложил формальные правила обращения с оператором d, dx и некоторыми функциями от этого оператора, используя которые решил ряд важнейших задач электродинамики. Однако операционное исчисление не получило в трудах О. Хевисайда математического обоснования (его математика возникала в физическом контексте, из которого ее нелегко было выделить, многие его результаты оставались недоказанными. Лишь в 20-е годы XX века метод получил обоснование в работах Бромвича и Карсона. Операционный метод решения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различных выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией – сложением. Определение. Функцией- оригиналом - называют функцию f(t) действительного аргумента t, удовлетворяющую условиям: 1) для всех отрицательных значений аргумента функция тождественно равна нулю, т.е. f(t)  при t<02) функция f(t) при t>0 возрастает не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие постоянные M>0, S ≥0 , что |f(t)|≤M  при t>03) на любом конечном отрезке положительной полуоси Ot функция f(t)и ее производные достаточно высокого порядка непрерывны или имеют конечное число разрывов 1-го рода. Простейшей функцией - оригиналом является единичная функция Хевисайда:  (1)Если функция  не удовлетворяет условию (1), то произведение  уже ему удовлетворяет, т.е. будет оригиналом.Преобразование Лапласа. Теоремы преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию F(S) комплексного переменного (изображение) с функцией f(x)  действительного переменного (оригинала). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Виды преобразований Лапласа: 1. Прямое преобразование Лапласа. Преобразованием Лапласа функции действительной переменной f(t), называется функция F(S) комплексной переменной  , такая что: Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа. 2. Обратное преобразование Лапласа. Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного  , называется функция  действительного переменного, такая что: где  — некоторое вещественное число. Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.3. Двустороннее преобразование Лапласа. Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции участвуют значения x < 0/Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:  4. Дискретное преобразование Лапласа. Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций. Различают D-преобразование и Z-преобразование. D-преобразование Пусть  - решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени  , где n- целое число, а  - период дискретизации. Тогда применяя преобразование Лапласа получим: Z-преобразование Если применить следующую замену переменных:  получим Z-преобразование:  Преобразование Лапласа обладает следующими линейными свойствами: Преобразование суммы функций равно сумме преобразований этих функций:  Постоянный множитель можно выносить за знак преобразования:  Из этих двух свойств следует, что линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбинация их преобразований:  На конкретном примере рассмотрим преобразование Лапласа. Пример. Найти изображение функции  .Решение: Используем формулу:  для функции  Тогда получим:  Перейдем к изучению некоторых основных свойств преобразования Лапласа: Теорема подобия. Для любого  ,  Доказательство: Подстановка  в формулу (1) и замена переменного приводит к результату (2): Теорема запаздывания. Для любого   Теорема смещения. Для любого комплексного числа  , Доказательство свойства (3) элементарно путем подстановки его левой части в интеграл (1). Дифференцирование оригинала. Если функция  непрерывна при  и  или в более общем случае  являются оригиналами, то  или  ,где под  понимается предел справа в точке t=0 Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на (-t), то есть  Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на p, то есть:  На основе рассмотренных теорем можно составить таблицу преобразования Лапласа. В таблице приведены наиболее часто встречающиеся преобразования. Здесь  - различные постоянные.
Решение линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Решение дифференциальных уравнений - основное приложение операционного метода, основанного на преобразовании Лапласа. Операционный метод включает следующие этапы: преобразование дифференциального уравнения с заданными начальными условиями по Лапласу; при этом образуется комплексное алгебраическое уравнение относительно изображения неизвестной функции; решение комплексного алгебраического уравнения; отыскание оригинала, искомого частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Операционный метод решения системы линейных дифференциальных уравнений включает следующие этапы: преобразование системы дифференциальных уравнений по Лапласу; при этом образуется система линейных алгебраических уравнений относительно изображений искомых функций; решение системы алгебраических уравнений, например, методом Крамера; отыскание оригиналов методами обратного преобразования Лапласа. Способ операционного исчисления применим к системе ДУ, когда задание сформулировано следующим образом: Найти частное решение однородной системы дифференциальных уравнений  , соответствующее начальным условиям  .Как вариант, система может быть и неоднородной – с «довесками» в виде функций и в правых частях: Но, и в том, и в другом случае нужно обратить внимание на два принципиальных момента условия: Речь идёт только о частном решении. В скобочках начальных условий находятся строго нули, и ничто другое.Общий ход и алгоритм будет очень похож на решение дифференциального уравнения операционным методом. Из справочных материалов потребуется в решении линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений таблица преобразований Лапласа. Примеры Пример №1 решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям.  .Решение: Начало такое: с помощью таблицы преобразования Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. В задаче с системами ДУ данный переход обычно прост: Используя табличные формулы, учитывая начальное условие  , получаем:  С переменную y проделываем тот же самый путь, меняя в таблице «x» на «y». Используя те же преобразования, учитывая начальное условие  , находим:  Подставим найденные изображения в исходное уравнение:  : Теперь в левых частях уравнений нужно собрать все слагаемые, в которых присутствует  или  . В правые частиуравнений необходимо перенести все остальные слагаемые: Далее в левой части каждого уравнения проводим вынесение за скобки:  При этом на первых позициях следует разместить , а на вторых позициях : Полученную систему уравнений с двумя неизвестными  обычно решают по формулам Крамера. Вычислим главный определитель системы: В результате расчёта определителя получен многочлен  .Далее идет важный технический прием. Данный многочлен лучше сразу же попытаться разложить на множители. В этих целях следовало бы попробовать решить квадратное уравнение  , но сразу можно заметить, что  .Таким образом, наш главный определитель системы:  , значит система имеет единственное решение.Дальнейшее решение проведем по методу Крамера:     В итоге получаем операторное решение системы:  Преимуществом рассматриваемого задания является та особенность, что дроби обычно получаются несложными, и разбираться с ними значительно проще, нежели с дробями в задачах нахождения частного решения ДУ операционным методом. Далее решаем методом неопределенных коэффициентов, с помощью которого раскладываем каждую дробь на элементарные дроби: Разбираемся с первой дробью:    Таким образом:  Вторую дробь разваливаем по аналогичной схеме, при этом корректнее использовать другие константы (неопределенные коэффициенты):    Таким образом:  .В результате операторное решение системы:  Также операторное решение можно записать в следующем виде:  – так будет понятней завершающий этап – обратное преобразование Лапласа.Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:     Подставим полученные изображения в операторное решение системы:  По правилам  можно вынести за скобки, и тогда мы получим правильный ответ. Ответ:  . Пример №2 решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений  с заданными начальными условиями  Решение: Перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:   Подставим найденные изображения в исходную систему ДУ:    Систему решим по формулам Крамера:  , значит, система имеет единственное решение.Полученный многочлен  не раскладывается на множители. В этом случае многочлен можно оставить и в таком виде.     В результате операторное решение системы:  В данном случае метод неопределённых коэффициентов использовать не нужно. В целях применения табличных преобразований перепишем решение в следующем виде:  Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:   Подставим полученные изображения в операторное решение системы:  Ответ: частное решение: . Здесь метод операционного исчисления действительно проще, чем «обычный» способ решения. |
(t) 
