Проект. зад 2 ДУ. 1 Линейные уравнения 1го порядка
![]()
|
1.3. Линейные уравнения 1-го порядка. Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид a0(x)y1+a1(x)y=b(x) или ![]() Если f(x) ![]() Одним из методов решения линейного неоднородного уравнения является метод вариации произвольной постоянной, где общее решение состоит из двух слагаемых: первое является частным решением неоднородного уравнения, а второе–общее решение соответствующего однородного уравнения. Типовой пример: ![]() Решаем соответствующее однородное уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() Считаем с функцией от x. Тогда y=c(x)x; ![]() ![]() ![]() ![]() Вторым методом решения линейных уравнений является метод Бернулли. При котором решение ищут в виде y=u(x)v(x). И исходное уравнение сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными. Типовой пример: x2y′–2xy=3. Разделяем обе части на x2 ![]() ![]() Общее решение ищем в виде y=u(x)v(x). Тогда y′=u′v+uv′ и подставляя в исходное уравнение получим: u′v+uv′– ![]() ![]() Приравняв выражение, стоящее в скобках, к нулю, получим систему ДУ: ![]() Решим первое уравнение системы: ![]() ![]() Подставим полученное и во второе уравнение системы: uv′= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Т.о. общее решение имеет вид: y=x2 ![]() Примеры:
1.4. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, левая часть которого является полным дифференциалом некоторой функции u(x,y), т. е. du(x,y)= ![]() Для того, чтобы выражение Pdx+Qdy было полным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Эйлера: ![]() Типовой пример: (x+y+1)dx+(x–y2+3)dy=0. Проверяем условие Эйлера: ![]() Т.о. ![]() ![]() Для определения с(y) дифференцируем найденную функцию U по y и, т.к. ![]() ![]() ![]() Т.о. u(x,y)= ![]() Примеры:
|