Проект. зад 2 ДУ. 1 Линейные уравнения 1го порядка

Название	1 Линейные уравнения 1го порядка
Анкор	Проект
Дата	21.05.2020
Размер	88.75 Kb.
Формат файла
Имя файла	зад 2 ДУ.docx
Тип	Решение #124322

1.3. Линейные уравнения 1-го порядка.
Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной.

Оно имеет вид a₀(x)y¹+a₁(x)y=b(x) или

.

Если f(x)

0, то уравнение называется линейным однородным.
Одним из методов решения линейного неоднородного уравнения является метод вариации произвольной постоянной, где общее решение состоит из двух слагаемых: первое является частным решением неоднородного уравнения, а второе–общее решение соответствующего однородного уравнения.
Типовой пример:

.

Решаем соответствующее однородное уравнение:

;

; ln

=ln

+ln c; y=cx.

Считаем с функцией от x. Тогда y=c(x)x;

Подставляя в исходное уравнение, имеем:

; dc=xdx; c(x)=

c₁. Т.о. y=

.

Вторым методом решения линейных уравнений является метод Бернулли. При котором решение ищут в виде y=u(x)v(x). И исходное уравнение сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.
Типовой пример: x²y′–2xy=3.

Разделяем обе части на x²0: y′–

.

Общее решение ищем в виде y=u(x)v(x). Тогда y′=u′v+uv′ и подставляя в исходное уравнение получим:

u′v+uv′–

;

.

Приравняв выражение, стоящее в скобках, к нулю, получим систему ДУ:

Решим первое уравнение системы:

;

; ln u=2ln x; ln u=ln x²; u=x².

Подставим полученное и во второе уравнение системы:

uv′=

; x²; dv=3

; v=3

; v= –

.

Т.о. общее решение имеет вид:

y=x².

Примеры:

y′–4xy=x
y′–ysinx=e-cosxsin2x
y′+2xy=2xe-x
y′+y=
(1+x2)y′–2xy=(1+x2)2
xy′–3y=x4ex
xy′+2y=
xy′+y=
y′cosx–2y sinx=2
y′cosx+ysinx=1
y′=

y′+
4y′+
15.
y′=
y′–
y′–
xy′+y–e^x=0
y′–

1.4. Уравнения в полных дифференциалах.
Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, левая часть которого является полным дифференциалом некоторой функции u(x,y), т. е.

du(x,y)=