Решение составим сокращенные таблицы истинности обеих формул
 Скачать 1.5 Mb.
|
|
Задания для самостоятельного выполнения: 1. Для заданных множеств А, В и С найдите: , , , , , , , , , , , , , , , , , А С, , . Изобразите на плоскости , , . Найдите считая универсальным множеством множество ℝ – всех вещественных чисел (всю числовую ось): а. – полуинтервал на числовой оси –отрезок на числовой оси – одноэлементное множество b. – интервал на числовой оси – отрезок числовой оси – полуинтервал на числовой оси c. – полуинтервал на числовой оси – отрезок числовой оси – интервал на числовой оси e. – четырехэлементное множество – отрезок числовой оси – интервал на числовой оси f. – интервал на числовой оси – полуинтервал на числовой оси – отрезок числовой оси g. – полуинтервал на числовой оси – отрезок числовой оси – интервал на числовой оси h. – интервал на числовой оси – отрезок числовой оси – двухэлементное множество i. – отрезок числовой оси – интервал на числовой оси – полуинтервал на числовой оси j. – полуинтервал на числовой оси – интервал на числовой оси – трехэлементное множество k. – интервал на числовой оси – отрезок числовой оси - полуинтервал на числовой оси l. – полуинтервал на числовой оси – отрезок числовой оси – трехэлементное множество m. – интервал на числовой оси – отрезок числовой оси - полуинтервал на числовой оси n. – полуинтервал на числовой оси – отрезок числовой оси - интервал на числовой оси o. – интервал на числовой оси – четырехэлементное множество - отрезок числовой оси p. – интервал на числовой оси – полуинтервал на числовой оси - интервал на числовой оси q. – полуинтервал на числовой оси – отрезок числовой оси – интервал на числовой оси r. –отрезок числовой оси – полуинтервал на числовой оси – интервал на числовой оси s. –интервал на числовой оси – трехэлементное множество – отрезок числовой оси t. – полуинтервал на числовой оси – интервал на числовой оси – трехэлементное множество u. – трехэлементное множество – интервал на числовой оси – отрезок числовой оси 2. Для заданного семейства множеств , где Г – заданное индексное множество, найдите объединение и пересечение всех множеств семейства, т.е. и (по всем возможным индексам ). a. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и b. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и c. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и d. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и e. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и f. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и g. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и h. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и i. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и j. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и k. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и l. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и m. , где ℕ– множество всех натуральных чисел и n. , где ℝ – множество всех вещественных чисел и o. , где ℝ – множество всех вещественных чисел и p. , где ℝ – множество всех вещественных чисел и q. , где ℝ – множество всех вещественных чисел и r. , где ℝ – множество всех вещественных чисел и s. , где ℝ – множество всех вещественных чисел и t. , где ℝ – множество всех вещественных чисел и 3. Докажите тождества, используя только определения операций над множествами. a. ; b. ; c. ; d. ; e. ; f. g. ; , где U-универсальное множество h. ; i. , если если , то j. , где U- универсальное множество k. , если , l. ; m. ; Если n. ; o. ; p. ; q. ; r. ; s. ; t. ; 4. Докажите тождество, используя диаграммы Эйлера – Венна. a. b. c. , если и d. e. , если f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. 5. Решить задачу, используя диаграммы Эйлера – Венна.
Практическое занятие № 7 Отношения Пример №1. Даны множества и два бинарных отношения: и . Найдите . Определите, является ли отношение Р2 рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным. Решение: По определению обратное отношение . Таким образом, и . По определению композиции бинарных отношений и и Таким образом, . Тогда . Последние два множества совпадают, что и должно быть по свойствам композиции. Отношение Р2 рефлексивно, т. к. в соответствии с определением рефлексивности Отношение Р2 не является транзитивным, поскольку по определению транзитивности требуется, чтобы для любых пар , таких что и следовало бы, чтобы пара . Однако это не так. Например, пары , но пара . Отношение Р2 не является симметричным, т. к. по определению симмет ричности для любой пары должно быть и . Однако это не так. Например, пара , но пара Отношение Р2 антисимметрично, поскольку для любой пары такой, что обязательно следует, что . Пример №2. Дано бинарное отношение и }, где «mod» – операция нахождения остатка от деления x на y. Найдите область определения и область значений отношения Р.Является ли отношение Р рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным? Является ли оно отношением эквивалентности или упорядоченности? Решение: областью значений отношения Р является множество таких натуральных чисел y, что в остатке от деления на y может быть получено значение 2. В качестве такого делителя y можно взять любое натуральное число. Таким образом, – область значений. Область определения отношения Р – это множество тех натуральных чисел x, для которых может быть получен остаток, равный 2, при делении на. Выразим x через , где и . Отсюда возможными значениями x являются числа: Таким образом, – область определения. Отношение Р не является рефлексивным, т. к. для всех . Действительно, . Отношение Р не является транзитивным, т. к. существуют такие парыи, но. Например, пары и обе , но пара , т. к. . Отношение Р не является симметричным, поскольку существуют такие пары, что, но. Например , пара, но , т.к. . По определению антисимметричности для всех таких пар , что и обязательно следует, что . Но для заданного отноше ния Р не существует партаких, что и , поскольку ра венство не выполняется ни при каких х, . Поэтому данное отношение Р является антисимметричным. По набору свойств отношение Р не является ни отношением эквива лентности, ни отношением упорядоченности. Задания для самостоятельного выполнения: 1. Даны множества и и два бинарных отношения: и . Изобразите Р1, Р2 графически. Найдите .Определите, является ли отношение Р2 рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным: а. b. c. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. u. 2. Найдите область определения и область значений отношения Р.Является ли отношение Р рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисим метричным? Является ли оно отношением эквивалентности или упорядо ченности? a. и , где – вещественные числа } и , где – вещественные числа } b. и , где – вещественные числа } и , где – вещественные числа } c.и, где – вещественные числа} и, где – вещественные числа } d. и, где – вещественные числа } и, где – вещественные числа } e. и, где – вещественные числа } и, где – вещественные числа } f. и, где – вещественные числа } и, где – вещественные числа } g. и, где – вещественные числа } и, где – вещественные числа } h. . и, где – вещественные числа } и, где – вещественные числа } i. и, где – вещественные числа } и, где – вещественные числа } j. и, где – вещественные числа } и, где – вещественные числа } k. и, где – целые числа } и, где – вещественные числа } l. и– кратно 3, где – целые числа } и, где – вещественные числа } m. и– кратно 2, где – целые числа } и, где – вещественные числа } n. и, где – целые числа } и, где – вещественные числа } o. и – нечетно, где – целые числа } и, где – вещественные числа } p. и – четно, где – целые числа } и, где – вещественные числа } q. и, где – целые числа } и, где – вещественные числа } r. и, где – целые числа } и, где – вещественные числа } s. и, где – целые числа } и, где – вещественные числа } t и, где – целые числа } и, где – вещественные числа } u и, где – целые числа } и, где – вещественные числа } |