297581 теор.вер. Решение Вероятность, что все шары одного цвета (либо все белые, либо все черные) pp 1 p 2
![]()
|
Содержание Задание № 1 2 Задание № 2 4 Задание № 3 5 Задание № 4 7 Задание № 5 8 Задание № 6 9 Список использованных источников 14 Задание № 1Условие: В первой урне 6 белых и 3 черных шаров, а во второй урне 5 белых и 6 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 3 шара, а из второй –3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров: а) все шары одного цвета; б) только три белых шара; в) хотя бы один белый шар. Решение: Вероятность, что все шары одного цвета (либо все белые, либо все черные) p=p1+p2 ![]() ![]() р=0,014+0,0014=0,0154 Вероятность, что только три белых шара. Представим возможные варианты вытаскивания 3-х белых шаров из двух урн. 1 урна: 0 белых, 1 белый, 2 белых, 3 белых 2 урна: 3 белых, 2 белых, 1 белый, 0 белых Тогда итоговая вероятность: ![]() Хотя бы один белый шар. P=1-p(все черные)=1-0,0014=0,9986 Ответ: р=0,0154; Р=0,254; р=0,9986 Задание № 2Условие: В первой урне 4 белых и 6 черных шаров, а во второй урне 5 белых и 6 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые. Решение: Введём следующие обозначения для событий: H1– из первой урны переложили 3 белых шара H2 – из первой урны переложили два белых и один черный шар, H3 – из первой урны переложили один белый и два черных шара. Н4 – из первой урны переложили 3 черных шара. Т.к. других вариантов вытащить из первой урны три шара нет, эти события составляют полную группу событий, и они несовместны. Найдём вероятности этих событий по формуле гипергеометрической вероятности: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Введём событие A – после перекладывания из второй урны вытащили 3 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, что во вторую урну переложили из первой. Найдём условные вероятности: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() По формуле полной вероятности найдём вероятность события A: ![]() ![]() Ответ: вероятность вынуть все белые шары равна 0,396 Задание № 3Условие: В каждом из 180 независимых испытаний событие ![]() ![]() а) точно 115 раз; б) больше чем 85 и меньше чем 115 раз; в) больше чем 115 раз. Решение: В данном случае n=180, m=115, p=0,6, q=1-0,6=0,4. Находим ![]() Тогда искомая вероятность равна ![]() В данном случае n=180, p=0,6, q=1-0,6=0,4, k1=85, k2=115. Находим х1 и х2: ![]() ![]() Тогда функция Лапласа равна Φ(х1)= -0,5; Φ(х2)=0,3577 Вероятность в данном случае равна P{85≤μ≤115}=Φ(x2)-Φ(x1)=0,3577-(-0,5)=0,8577 В данном случае n=180, p=0,6, q=1-0,6=0,4, k1=115, k2=180. Находим х1 и х2: ![]() ![]() Тогда функция Лапласа равна Φ(х1)= 0,3577; Φ(х2)=0,5 Вероятность в данном случае равна P{115≤μ≤180}=Φ(x2)-Φ(x1)=0,5-0,3577=0,1423 Ответ: 0,03; 0,8577;0,1423. Задание № 4Условие: В урне 8 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимают случайным образом 4 шара. Для случайной величины ![]() а) найти закон распределения; б) построить график функции распределения ![]() в) найти математическое ожидание ![]() ![]() Решение: Поскольку вынимается четыре шара, то возможны следующие элементарные исходы: -4, -2, 0, 2, 4, тогда получаем х=-4, х=-2,х=0, х=2, х=4. ![]() ![]() ![]() Можно построить ряд распределения
Функция распределения СВДТ X: ![]() Вычислим математическое ожидание: М(х)=-4*0,026-2*0,205+0*0,431+2*0,287+4*0,051=-0,104-0,41+0,574+ +0,204=0,264 ![]() M(x2)=(-4)2*0,026+(-2)2*0,205+0*0,431+22*0,287+42*0,051= =0,416+0,82+1,148+0,816=3,2 D(x)=3,2-(0,264)2=3,13 Ответ: М(х)=0,264; D(x)=3,13 Задание № 5Условие: Непрерывная случайная величина ![]() ![]() а) параметр ![]() б) функцию распределения ![]() в) математическое ожидание ![]() ![]() ![]() Решение: Найдем параметр c из условия: ![]() Для нашей функции: ![]() ![]() Функция распределения. ![]() Математическое ожидание. ![]() Дисперсия. ![]() Ответ: М(х)=23/40, D(x)=413/4800 Задание № 6Условие: Для случайной величины, заданной выборкой, с надежностью 0,99 и уровнем значимости 0,025, на отрезке [-6;24] (с числом разбиений отрезка, равным ![]() а) составить интервальный статистический ряд; б) построить гистограмму относительных частот; в) найти точечные и интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения; г) проверить гипотезу о нормальном распределении по критерию согласия Пирсона. Таблица 1 – Исходные данные
Решение: Ширина интервала: h=10 ![]() xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности. xmin - минимальное значение группировочного признака Составим интервальный статистический ряд, таблица 2. Таблица 2 – Интервальный ряд
На рисунке 1 изображена гистограмма. ![]() Рис. 1. Гистограмма В таблице 3 представлен расчет показателей Таблица 3 - Расчет показателей
Средняя взвешенная (выборочная средняя) – точечное математическое ожидание. ![]() Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего). ![]() Среднее квадратическое отклонение. ![]() Доверительный интервал для генерального среднего. ![]() Определяем значение tkp по таблице распределения Стьюдента. По таблице Стьюдента находим: Tтабл(n-1;α/2) = Tтабл(199;0.0125) = 2,258 Стандартная ошибка выборки для среднего: ![]() ![]() Стандартная ошибка среднего указывает, на сколько среднее выборки 10,75 отличается от среднего генеральной совокупности. Предельная ошибка выборки: ε = tkp sc = 2,258*0,51= 1,148 Доверительный интервал: (10,75 – 1,148;10,75+1,148) = (9,782;12,078) С вероятностью 0,975 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения. S*(1-q) < σ < S*(1+q) Найдем доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью γ = 0.99 и объему выборки n = 200 По таблице q=q(γ ; n) определяем параметр q(0.99;200) = 0 7,19(1-0) < σ < 7,19(1+0) 7,19 < σ < 7,19 Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона. ![]() где pi — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа ![]() Где s = 7,172, xср = 10,75 Теоретическая (ожидаемая) частота равна fi = fpi, где f = 200 Вероятность попадания в i-й интервал: pi = Ф(x2) - Ф(x1) Составим вспомогательную таблицу 4. Таблица 4 – Вспомогательная таблица
Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы. Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞). Её границу Kkp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры xcp и s оценены по выборке). Kkp = χ2(3-2-1;0.025) = 241,06; Kнабл = 4,79 Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение. Выводы: Каждое значение ряда отличается от среднего значения 10,75 в среднем на 7,172. Проверка гипотезы по критерию согласия Пирсона показала, что нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения. Список использованных источниковБалдин, К.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В Рукосуев. - М.: Дашков и К, 2016. - 472 c. Блягоз, З.У. Теория вероятностей и математическая статистика. Курс лекций: Учебное пособие / З.У. Блягоз. - СПб.: Лань, 2018. - 224 c. |