Контрольная работа по математике. Математика_Вариант 2. Решение Вычислим определитель по правилу треугольника. т к. 0, то данная система совместна и имеет единственное решение. Находим дополнительные определители Находим z

• Название: Решение Вычислим определитель по правилу треугольника. т к. 0, то данная система совместна и имеет единственное решение. Находим дополнительные определители Находим z
• Анкор: Контрольная работа по математике
• Дата: 03.04.2022
• Размер: 1.33 Mb.
• Имя файла: Математика_Вариант 2.docx
• Тип: Решение; #437113

Математика (вариант 2)
1. Решить систему алгебраических уравнений: по правилу Крамера.



Решение

Вычислим определитель ∆ по правилу треугольника:
.

т.к. ∆ ≠ 0, то данная система совместна и имеет единственное решение.

Находим дополнительные определители:

. . .
Находим
z
Ответ: х = 1; у = 1; z = 1.

2. Даны четыре точки A, B, C, D: A (–2; 1; 3), B (3; 4 ; –6), C (1; –2; 4), D (–5; 2; 3).

Средствами векторной алгебры найти:

1) периметр ∆АВС (Р_∆АВС);

2) угол АВС;

3) площадь ∆АВС;

4) объем пирамиды АВСD.

1) Найдём периметр ∆АВС (Р_∆АВС).

Решение

;

;

;

;



2) Найдём угол АВС.

Решение

(1)

Найдём скалярное произведение по формуле: ;

Для этого найдём координаты векторов:

; ;

Тогда скалярное произведение: .

Длины векторов мы нашли в пункте 1)

Подставим всё в формулу (1):



Тогда угол АВС найдём по таблице Брадиса.

∟АВС ≈ 201⁰.
3) Найдём площадь ∆АВС.

Решение

Найдем вектора по координатам точек:

;

;

Площадь треугольника вычисляем по формуле:

Найдем векторное произведение векторов:

 i (3·1 - (-9)·(-3)) - j (5·1 - (-9)·3) + k (5·(-3) - 3·3) = 

 = i (3 - 27) - j (5 + 27) + k (-15 - 9) = {-24; -32; -24}

Найдем модуль вектора: .

Найдем площадь треугольника: .

4) Найдём объем пирамиды АВСD.

Решение

Найдем вектора по координатам точек:

;

;

;

Объем пирамиды вычисляем по формуле:

Найдем смешанное произведение векторов:



 = 5·(-3)·0 + 3·1·(-3) + (-9)·3·1 - (-9)·(-3)·(-3) - 3·3·0 - 5·1·1 = 0 - 9 - 27 + 81 - 0 - 5 = 40

Найдем объем пирамиды: (кв.ед.)

Ответ: 1) ; 2) ∟АВС ≈ 201⁰; 3) ; 4) .
3. Выполнить действия:



Решение

Выполним по действиям:

1. 
   (3 - 6i) · (2 + 7i) = 3·2 + 3·7i - 6·2i - 6·7i² = 6 + 21i - 12i + 42 = 48 + 9i;
   
2. 
   ;
   
3. 
   48 + 9i - (3 - 2i) = (48 - 3) + (9 + 2)i = 45 + 11i;
   
4. 
   45 + 11i + 6i = 45 + 17i;
   
5. 
   ;
   
6. 
   45 + 17i + = 45 + 20i.
   

Ответ: 45 + 20i.
4. Найти область определения функции: .

x + 3 > 0 x > -3

3x ≠ 0 x ≠ 0

Область определения функции на числовой прямой:


Ответ: x є (-3; 0) V (0; ∞).



5. Найти пределы функций:

Решение

a) .
б) .
в)

Выполним элементарные преобразования: sin(3x)=3x, sin(5x)=5x.

Тогда исходный предел можно представить в виде: .
Используя свойство первого замечательного предела, выполним элементарные преобразования:

Тогда исходный предел можно представить в виде:

г) е⁴

Используя свойства второго замечательного предела:
Получаем:

здесь a = 2, b = 2.

Ответ: a) , б) , в) , г) е⁴.

6. Задана функция у = f(x) и два значения аргумента x₁ и x₂. Требуется установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента, и сделать схематический чертеж.
f(x) = 4^1/(3-x), x₁ = 1, x₂ = 3.

Решение

Функция f(x) неопределена в точке x₂ = 3 и f(x₁) = 2. Следовательно, в точке x₁ = 1 разрыва нет, а в точке x₂ = 3 - точка разрыва.
Точка x₂ = 3 не принадлежит области определения функции, то при x₂ = 3 функция имеет точку разрыва второго рода.

Ответ: Функция f(x) в точке x₁ = 1 разрыва нет, в точке x₂ = 3 - точка разрыва второго рода.


7. Задана функция у = f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют, сделать чертеж.


Решение

Функция неэлементарная, т.к. задана тремя аналитическими выражениями на различных промежутках изменения аргумента, определена на всём множестве действительных чисел.

Исследуем непрерывность функции в точках х=0 и х=3:







Таким образом, в точке x=0 функция непрерывна, а в точке x=3 терпит разрыв первого рода и имеет скачок.
Ответ: Функция f(x) в точке x = 0 разрыва нет, в точке x = 3 - точка разрыва первого рода.

8. Найти производные данных функций:



Решение
а)






б)
.
в)

г)


9. Исследовать на экстремум:


Решение




a) y = 3 – 12x² – 8x³.

y^/ = -24x – 24x² = 0

x = 0 x = -1
y(0) = 3

y(-1) = -1

Ответ: x_min = -1, y_min = -1, x_max = 0, y_max = 3.
б )

2x – x² = 0

x = 0 x = 2
y(0) = 0

y(2) ≈ 0,5


Ответ: x_min = 0, y_min = 0, x_max = 2, y_max ≈ 0,5.

10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = f(x) на отрезке [a; b].


Решение



x = 2, x є [1; 4].
f(1) = 1, f(4) = 4-наибольшее, f(2) = -4-наименьшее.
Ответ: f(4) = 4-наибольшее, f(2) = -4-наименьшее.
11. Студент знает k вопросов из n вопросов программы. Экзаменатор задает три вопроса из имеющихся. Найти вероятность того, что студент знает ответы: а) на все три вопроса; б) только на два вопроса. (k=25, n=30)
Решение

Число всех элементарных исходов равно числу способов, которыми можно выбрать 3 вопроса из 30 возможных, т.е. числу сочетаний из 30 по 3: .

1) число благоприятных исходов равно числу способов, которыми можно выбрать 3 вопроса из 25 выученных, т.е. числу сочетаний из 25 по 3: .

Тогда вероятность того, что студент ответит на все три вопроса равна: .

2) число способов, которыми можно выбрать 2 вопроса из 25 выученных и 1 вопрос из 30-25=5 невыученных равно .

Тогда вероятность того, что студент ответит только на два вопроса равна: .

Ответ: 1) 0,567; 2) 0,369.
12. Две фирмы взяли кредиты в банке. Вероятность того, что первая фирма вернет кредит в срок р₁, а вторая – р₂. Какова вероятность того, что только одна фирма вернет кредит в срок? Обе фирмы вернут кредит в срок? Обе фирмы не вернут кредит в срок?

р₁=0,7; р₂=0,4.
Решение

Пусть А₁ - первая фирма вернет кредит в срок, А₂ - вторая фирма вернет кредит в срок, В - ровно

одна фирма вернет кредит в срок, С - обе фирмы вернут кредит в срок, D - обе фирмы не вернут

кредит в срок.

Событие А₁Ā₂ заключается в том, что первая фирма вернет кредит в срок, а вторая - нет. Событие

Ā₁А₂ заключается в том, что первая фирма не вернет кредит в срок, а вторая – вернет.
В = А₁Ā₂ + Ā₁А₂
Из условия, Р(А₁) = 0,7, Р(А₂) = 0,4, тогда Р(Ā₁) = 1 - 0,7 = 0,3, Р(Ā₂) = 1 - 0,4 = 0,6.

Так как события А₁, А₂ независимы, то

Р(А₁Ā₂) = Р(А₁) ∙ Р(Ā₂) = 0,7 ∙ 0,6 = 0,42,

Р(Ā₁А₂) = Р(Ā₁) ∙ Р(А₂) = 0,3 ∙ 0,4 = 0,12.
Так как события А₁Ā₂ и Ā₁А₂ несовместны, то

Р(В) = Р(А₁Ā₂ + Ā₁А₂) = Р(А₁Ā₂) + Р(Ā₁А₂) = 0,42 + 0,12 = 0,54.
Событие С = А₁А₂, тогда

Р(С) = Р(А₁А₂) = Р(А₁) ∙ Р(А₂) = 0,7 ∙ 0,4 = 0,28.
Событие D = Ā₁ Ā₂, тогда

Р(D) = Р(Ā₁ Ā₂) = Р(Ā₁) ∙ Р(Ā₂) = 0,3 ∙ 0,6 = 0,18.
Ответ: 0,54; 0,28; 0,18.
13. В задачах по данным своего варианта выполните следующие задания:

Задание 1. Постройте статистический ряд.

Задание 2. Вычислите относительные частоты и накопленные относительные частоты.

Задание 3. Представьте графически статистический ряд в виде полигона или гистограммы.

Задание 4. Постройте график накопленных относительных частот.

Задание 5. Запишите эмпирическую функцию распределения.
Вариант 2. В течение квартала на фондовой бирже выполнен сбор данных

по количеству сделок для 100 инвесторов. Результаты представлены ниже.



Решение
Задание 1. Постройте статистический ряд.
Шаг 1. Упорядочим данные x_i (I = 1, … , 100) по возрастанию, найдём x_min = 0 и x_max = 10 наименьшее и наибольшее значения соответственно. Вычислим r = x_max - x_min = 10 – 0 = 10 (размах выборки) и – k число интервалов, на которые разбивается диапазон [x_min; x_max], по формуле Стерджеса: Определим длину интервала .
Шаг 2. Построим статистический ряд:

Интервал	[0; 1,25)	[1,25; 2,5)	[2,5; 3,75)	[3,75; 5)	[5; 6,25)	[6,25; 7,5)	[7,5; 8,75)	[8,75; 10]
Частота ni	29	14	13	15	16	5	4	4

Примечание – При построении интервалов начальное значение x_начпервого интервала надо вычислять по формуле x_нач = x_min – 0,5h, конечное значение x_кон последнего интервала должно удовлетворять условию x_кон - h < x_max < x_кон .

В данном примере частота последнего интервала меньше пяти (4 соответственно). Поэтому объединим последний интервал с предпоследним. И в этом случае частота будет меньше пяти (8 соответственно). Поэтому объединим последние три интервала. Соответственно изменятся и частоты объединённых интервалов:

Интервал	[0; 1,25)	[1,25; 2,5)	[2,5; 3,75)	[3,75; 5)	[5; 6,25)	[6,25; 10]
Частота ni	29	14	13	15	16	13

Задание 2. Вычислите относительные частоты и накопленные относительные частоты.
Построим группированный ряд наблюдений, найдём середины интервалов, вычислим относительные и накопленные относительные частоты, а также плотности относительных частот (табл. 4). Обратим внимание, что длина последнего интервала равна 3,75.

Таблица 4

Номер интервала	Интервал	Частота ni	Относительная частота	Накопленная относительная частота	Плотность относительной частоты
1	[0; 1,25)	29	0,29	0,29	0,232
2	[1,25; 2,5)	14	0,14	0,43	0,112
3	[2,5; 3,75)	13	0,13	0,56	0,104
4	[3,75; 5)	15	0,15	0,71	0,120
5	[5; 6,25)	16	0,16	0,87	0,128
6	[6,25; 10]	13	0,13	1,00	0,035

Задание 3. Представьте графически статистический ряд в виде полигона или гистограммы.
Поскольку исследуем статистический ряд для непрерывной случайной величины, выполним построение гистограммы относительных частот. В роли значения функции, описанной в легенде,

выступает плотность относительной частоты.


Задание 4. Постройте график накопленных относительных частот.
Используем вычисленные накопленные частоты, полученные на предыдущем шаге, и построим график накопленных относительных частот.

Задание 5. Запишите эмпирическую функцию распределения.
Эмпирическую функцию распределения записываем, используя вычисленные накопленные относительные частоты: