Математика Линейная алгебра. Задание 1 (В4). Решение. Вычислим определитель системы Так как, то система является совместной определённой, то есть имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера
 Скачать 41.53 Kb.
|
|
Задача 1. Вар №4 Решить систему линейных алгебраических уравнений:  методом Крамера; матричным методом; методом Гауcса. Решение. Вычислим определитель системы ∆:  Так как  , то система является совместной определённой, то есть имеет единственное решение, которое может быть найдено:методом Крамера. Вычислим определители  ,  и  , которые получаются из определителя  заменой первого, второго и третьего столбца соответственно столбцом свободных коэффициентов. Имеем   . Далее, воспользовавшись формулами Крамера:  ,  ,  ,Получаем  Сделаем проверку. Для этого подставим найденные значения неизвестных в уравнения системы:  ,  матричным методом, или методом обратной матрицы. Введём следующие обозначения:  ,  .Данная система равносильна матричному уравнению  . Откуда  , где  – матрица, обратная к матрице  .Так как  , то матрица невырожденная, следовательно, для неё существует обратная матрица – . Найдём матрицу . Для этого транспонируем матрицу и найдём алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы. ,  ,       Тогда   Следовательно,  Таким образом  методом Гауcса. Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к диагональному виду.  .Вычтем из элементов второй строки соответствующие элементы первой, умноженные на 3; из элементов второй строки соответствующие элементы первой, умноженные на 2:  Разделим вторую строку на -11:  .От элементов первой строки отнимем соответствующие элементы второй строки, умноженные на  . Умножим вторую строку на  и вычтем ее из 3-й: .Разделим третью строку на  . Затем, вычтем ее из первой. .Последний столбец полученной матрицы соответствует неизвестным системы, то есть  Ответ: |