Решение Вычисляем степень статической неопределимости балки
![]()
|
Задача 1 Для заданной статически неопределимой стальной балки требуется: 1) раскрыть статическую неопределимость; 2) построить эпюру изгибающих моментов; 3) подобрать двутавровое сечение по условию прочности балки; 4) определить угол поворота сечения L и прогиб в сечении К. Дано: Р = 7 кН; Р1 = 6 кН; а = 1 м; R = 160 МПа; E = 2·105 МПа ![]() Решение: 1. Вычисляем степень статической неопределимости балки. По условиям закрепления имеем четыре опорных реакции: три на опоре В и одну на опоре С. Для плоской системы сил можно составить только три уравнения равновесия, поэтому степень статической неопределимости балки n = 4 – 3 = 1, т.е. система один раз статически неопределима. Выбор основной системы. Основная система (ОС) получается из заданной (ЗС) отбрасыванием «лишних» связей и заменой их неизвестными обобщенными силами. ОС должна быть геометрически неизменяемой и статически определимой. Отбросим связь в опоре С. Соответствующая обобщенная реакция – Х1. Получаем эквивалентную систему. Построим эпюры от действия единичной нагрузки Х1 и внешней нагрузки. Запишем каноническое уравнение метода сил. ![]() δ11 – перемещение в ОС по направлению Х1 от действия единичной нагрузки Х1; Δ1Р – перемещение от внешней нагрузки. ![]() ![]() ![]() ![]() Определим коэффициенты канонических уравнений путем перемножения единичных и грузовых эпюр. ![]() ![]() Подставим найденные значения коэффициентов в каноническое уравнение и решим его. ![]() ![]() 2. Построение эпюры M. Окончательная эпюра M строится с использованием принципа суперпозиции. ![]() ![]() Эпюру М строим по суммарным значениям ![]() Выполним деформационную проверку. Для проверки правильности расчётов и построения эпюры изгибающих моментов используем условие равенства нулю угла поворота смежных сечений балки над опорой С (перемещение по направлению отброшенной связи). Этот угол вычисляется перемножением эпюры моментов от единичной нагрузки и окончательной эпюры изгибающих моментов. ![]() Деформационная проверка выполняется. Расчеты проведены верно. 3. Расчет на прочность. Запишем условие прочности ![]() ![]() Опасное сечение С, где действует максимальный изгибающий момент. ![]() Определим требуемый момент сопротивления сечения ![]() По сортаменту выбираем двутавр №12 ![]() ![]() ![]() 4. Определим угол поворота сечения L и прогиб в сечении К. Определим угол поворота в сечении L. Приложим в этом сечении единичный момент ![]() ![]() ![]() ωi– площадь грузовой эпюры yi– значение на единичной эпюре под центром тяжести ωi Разобьем грузовую эпюру на простые фигуры и определим площади фигур и ординаты их центров тяжести на единичной эпюре. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определим угол поворота в сечении L: ![]() Отрицательный знак угла поворота говорит о том, что точка L повернется против направления заданного момента ![]() Определим прогиб в сечении K. Приложим в этом сечении единичную силу ![]() ![]() ![]() Разобьем грузовую эпюру на простые фигуры и определим площади фигур и ординаты их центров тяжести на единичной эпюре. ![]() ![]() ![]() ![]() Определим прогиб в сечении K: ![]() Задача 2 Стальной валделает n оборотов в минуту и передает мощность N, кВт. Требуется подобрать диаметр вала из условия его прочности при совместном действии изгиба и кручения. Дано: n = 120 об/мин; N = 12 кВт; D1 = 0,2 м; D2 = 0,6 м; а = 0,4 м; b = 0,3 м; с = 0,3 м; n = 3; сталь 45 схема 2 ![]() Решение: Определим вращающий момент, передаваемый ведущим валом: ![]() Строим эпюру крутящих моментов. Найдем окружные усилия на шкивах. ![]() ![]() ![]() Найдем проекции сил ![]() ![]() ![]() Определим изгибающие моменты в характерных сечениях. – горизонтальная плоскость Составим расчетную схему, определим реакции в подшипниках. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Проверка: ![]() Опорные реакции найдены верно. Определим изгибающие моменты в характерных сечениях. ![]() ![]() ![]() ![]() Строим эпюру изгибающих моментов MГОР. – вертикальная плоскость Составим расчетную схему, определим реакции в подшипниках. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Проверка: ![]() Опорные реакции найдены верно. Определим изгибающие моменты в характерных сечениях. ![]() ![]() ![]() ![]() Строим эпюру изгибающих моментов MВЕРТ. Определим эквивалентные моменты в характерных сечениях вала. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Опасным является сечение C. Определим диаметр вала, используя условие прочности. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() Принимаем ![]() ![]() Задача 3 Произвести проверку на усталостную прочность вала, рассчитанного в задаче 2. В расчетах принять, что нормальные напряжения изменяются по симметричному циклу, а касательные – по пульсационному. Обработка поверхности вала – тонкая обточка. Нормативный коэффициент запаса усталостной прочности равен 1,5. Дано: d= 80 мм; ![]() ![]() ![]() тонкая обточка; σВ= 560 МПа; σТ= 280 МПа; σ-1= 250 МПа; τ-1= 150 МПа; [n]= 1,5 Решение: По результатам расчетов предыдущей задачи определили, что опасным является сечение С и вычислили требуемый диаметр вала. Определим характеристики циклов переменных напряжений от изгиба и кручения. Вычислим геометрические характеристики поперечного сечения вала. – осевой момент сопротивления ![]() – полярный момент сопротивления ![]() Наибольшие нормальные напряжения от изгиба в двух плоскостях ![]() Наименьшие нормальные напряжения от изгиба ![]() – среднее напряжение цикла ![]() – амплитудное напряжение цикла ![]() Коэффициент асимметрии равен: ![]() Наибольшие касательные напряжения ![]() Наименьшие касательные напряжения ![]() – среднее напряжение цикла ![]() – амплитудное напряжение цикла ![]() – коэффициент асимметрии цикла ![]() Таким образом, нормальные напряжения от изгиба изменяются по симметричному циклу Rσ = –1, касательные напряжения от кручения – по отнулевому циклу Rτ = 0. Определим коэффициенты, учитывающие влияние конструктивно-технологических факторов и асимметрии циклов на предел выносливости по изгибу и кручению. Концентратором напряжений является шпоночный паз в месте посадки шкива. По таблицам для d = 80 мм и σВ = 560 МПа определяем коэффициенты предела выносливости вала при наличии шпоночного паза. ![]() ![]() Значение масштабного коэффициента при d = 80 мм ![]() Коэффициент качества поверхности при тонкой обточке ![]() Примем коэффициенты чувствительности материала марки сталь 45 к асимметрии цикла по нормальным и касательным напряжениям ψσ = 0,1 ψτ = 0,05 Коэффициенты снижения предела выносливости с учетом всех факторов имеют следующие значения: ![]() ![]() Определяем частные коэффициенты запаса прочности по выносливости ![]() ![]() Общий коэффициент запаса прочности по выносливости равен: ![]() Запас усталостной прочности вала не обеспечен, так как он меньше нормативного. Диаметр вала необходимо увеличить или ввести упрочняющую обработку. Задача 4 С заданной точкой М детали связана система декартовых координат x, y, z. Расчётом определены координатные напряжения в этой точке: σX,σY, σZ, τXY, τYZ, τXZ. Провести исследование напряжённо-деформированного состояния окрестности точки М. Материал детали считать упругим и изотропным, с модулем упругости E = 2·105 МПа и коэффициентом Пуассона = 0,3. Исследование напряжённо-деформированного состояния окрестности точки М детали выполнить в следующей последовательности. 1) Изобразить в аксонометрии единичный элемент, выделенный в окрестности точки М координатными сечениями, и показать напряжения, действующие на гранях этого элемента. 2) Записать тензор напряжений в этой точке в осях x, y, z. 3) Определить алгебраические инварианты тензора напряжений I1, I2, I3. 4) Записать алгебраические уравнения для определения главных напряжений и главных осей тензора напряжений. Вычислить главные напряжения σ1,σ2, σ3. 5) Вычислить направляющие косинусы главных осей напряжений I, II, III и изобразить в пространстве x, y, z оси главных напряжений I, II, III. 6) Записать тензор напряжений в точке М в главных осях I, II, III. Определить алгебраические инварианты этого тензора ![]() ![]() 7) Определить нормальное σокти касательное τоктоктаэдрические напряжения. В пространстве главных осей I, II, III изобразить одну из октадрических площадок и показать нормальное и касательное напряжения, действующие на этой площадке. 8) Определить величину наибольшего касательного напряжения τmax . В пространстве главных осей I, II, III изобразить площадку, на которой действует наибольшее касательное напряжение и показать это напряжение. 9) Воспользовавшись соотношениями обобщённого закона Гука, определить величины главных деформаций ε1, ε2 , ε3. 10) Вычислить относительное изменение объема Δ. 11) Определить удельную потенциальную энергию упругой деформации окрестности точки М: - энергию изменения объёма WV, - энергию формоизменения WФ, - полную удельную энергию W . 12) Определить расчётное напряжение в точке М по гипотезе наибольших касательных напряжений ![]() 13) Определить расчётное напряжение в точке М по гипотезе удельной потенциальной энергии формоизменения ![]() 14) Определить расчётное напряжение в точке М по гипотезе прочности Мора ![]() Дано: σX = 60 МПа; σY = – 12 МПа; σZ = 19 МПа; τXY = 0; τYZ = 23 МПа; τXZ = 0; E = 2·105 МПа; = 0,3; ![]() Решение: 1. Изображаем единичный элемент, выделенный в окрестности точки М координатными сечениями и показываем напряжения, действующие на гранях этого элемента. ![]() 2. Записываем тензор напряжений. ![]() 3. Определим алгебраические инварианты тензора напряжений ![]() ![]() ![]() Так как второй и третий инварианты отличны от нуля, то рассматриваемое напряженное состояние является объемным. 4. Определяем главные напряжения и главные оси напряжений. Для этого записываем систему алгебраических уравнений относительно главных напряжений σ и направляющих косинусов l , m, n главных направлений. ![]() которую дополняем условием: ![]() С учётом заданных величин компонентов тензора напряжений, отличных от нуля, приведём эту систему к виду ![]() Т.к. τXY = τXZ = 0, заключаем, что ось Xявляется одной из трёх главных осей напряжений, а напряжение σ = σX= 60 МПа– главным напряжением. Направляющие косинусы его направления, т.е. главной оси X l = 1; m = 0; n = 0. Главные оси напряжений взаимно перпендикулярны, поэтому следующие две главные оси напряжений располагаются в плоскости y, z. Для этих направлений n ≠ 0; l = 0; m ≠ 0. С учётом l= 0 систему разрешающих алгебраических уравнений (3) перепишем в виде ![]() Определим главные напряжения. Запишем определитель ![]() Решим квадратное уравнение ![]() ![]() ![]() 5. Вычислим направляющие косинусы главных осей напряжений. Подставим в первое уравнение системы (4) ![]() ![]() Получим ![]() ![]() ![]() Подставим во второе уравнение системы (4) ![]() ![]() Получим ![]() ![]() ![]() Выписываем найденные величины главных напряжений и соответствующие им направляюще косинусы главных напряжений. При этом для нумерации главных напряжений пользуемся принятым условием ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В пространстве x, y, z по направляющим косинусам строим главные оси напряжений I, II, III. Изобразим элемент, выделенный главными площадками (главные оси повернуты). ![]() ![]() 6. Записываем тензор напряжений в точке М в главных осях I, II, III и определяем алгебраические инварианты этого тензора ![]() ![]() ![]() ![]() Сравнивая величины алгебраических инвариантов ![]() 7. Определяем величины нормального и касательного напряжений, действующих на октаэдрических площадках. ![]() ![]() В пространстве главных направлений I, II, III изображаем одну из октаэдрических площадок и показываем напряжения, действующие на этой площадке (для октаэдрической площадки l = m = n = ![]() ![]() 8. Вычислим наибольшие касательные напряжения. ![]() Напряжение τmax действует на площадке, параллельной главному направлению I и равнонаклонной к главным направлениям IIи III. Изображаем площадку, на которой действует напряжение τmax и показываем это напряжение. ![]() 9. Определяем величины главных деформаций окрестности точки М. Считаем материал детали линейно-упругим и воспользуемся соотношениями обобщённого закона Гука. ![]() ![]() ![]() 10. Определяем относительное изменение объёма окрестности точки М. ![]() 11. Вычисляем удельную потенциальную энергию упругой деформации окрестности точки М. Удельная потенциальная энергия изменения объёма ![]() Удельная потенциальная энергия формоизменения ![]() Полная удельная потенциальная энергия ![]() 12. Определяем расчётное напряжение в точке М по гипотезе наибольших касательных напряжений ![]() 13. Вычисляем расчётное напряжение в точке М по гипотезе удельной потенциальной энергии формоизменения ![]() 14. Вычисляем расчётное напряжение в точке М в соответствии с теорией прочности Мора ![]() где ![]() |