2кр. Решение

• Название: Решение
• Дата: 18.07.2022
• Размер: 409.29 Kb.
• Имя файла: 2кр.docx
• Тип: Решение; #632872

0) Найти матрицу .

09. , , .

Решение:

<sub>=

1)</sub> дана невырожденная матрица . Найти обратную матрицу и пользуясь правилом умножения матриц, показать, что , где – единичная матрица.

19.

Решение:

Главный определитель

∆=1∙(-3∙2-(-6∙ (-2)))-1∙ (-1∙2-(-6∙3))+4∙ (-1∙ (-2)-(-3∙3))=10

Обратная матрица будет иметь следующий вид:


где A_ij - алгебраические дополнения.

Транспонированная матрица.


Найдем алгебраические дополнения.



(-3∙2-(-2∙ (-6)))=-18



-(-1∙2-3∙ (-6))=-16



(-1∙(-2)-3∙(-3))=11



=-(1∙2-(-2∙4))=-10



(1∙2-3∙4)=-1010



-(1∙(-2)-3∙1)=5



(1∙(-6)-(-3∙4))=6



-(1∙(-6)-(-1∙4))=2



(1∙(-3)-(-1∙1))=-2

Обратная матрица.





Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

=



2) решить системы линейных уравнений с тремя неизвестными.

29.

Решение:

B^T= (4,7,5)

Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.

Определитель:
∆ = 3 ∙ (3 ∙ 2-3 ∙ 1)-2 ∙ ((-8) ∙ 2-3 ∙ (-3))+(-1) ∙ ((-8) ∙ 1-3 ∙ (-3)) = 22

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.



Найдем определитель полученной матрицы.

∆₁= (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁+ (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁+ (-1)^{3 + 1}a₃₁∆₃₁=

= 4 ∙ (3 ∙ 2-3 ∙ 1)-7 ∙ ((-8) ∙ 2-3 ∙ (-3))+5 ∙ ((-8) ∙ 1-3 ∙ (-3)) = 66



Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.


Найдем определитель полученной матрицы.

∆₂= (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁+ (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁+ (-1)^{3 + 1}a₃₁∆₃₁=

= 3 ∙ (7 ∙ 2-5 ∙ 1)-2 ∙ (4 ∙ 2-5 ∙ (-3))+(-1) ∙ (4 ∙ 1-7 ∙ (-3)) = -44


Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.



Найдем определитель полученной матрицы.

∆₃= (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁+ (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁+ (-1)^{3 + 1}a₃₁∆₃₁=

= 3 ∙ (3 ∙ 5-3 ∙ 7)-2 ∙ ((-8) ∙ 5-3 ∙ 4)+(-1) ∙ ((-8) ∙ 7-3 ∙ 4) = 154


Проверка.
3∙3-8∙ (-2)-3∙7 = 4

2∙3+3∙ (-2)+1∙7 = 7

-1∙3+3∙ (-2)+2∙7 = 5

3) построить треугольник, вершины которого находятся в точках , , . Найти:

1) уравнения сторон треугольника ;

2) координаты точки М пересечения медиан;

3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины ;

4) площадь треугольника.

39. , , .

Решение:

1. 
   Прямая, проходящая через точки A₁(x₁;y₁) и A₂(x₂;y₂), представляется уравнениями:
   

Уравнение прямой AB

Каноническое уравнение прямой:



или 5y -3x +7 = 0

Уравнение прямой AC

Каноническое уравнение прямой:



или 2y + x - 6 = 0

Уравнение прямой BC

Каноническое уравнение прямой:



или
3y -4x +2 = 0


2) Координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(¹/₂;0)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(4;1) и М(¹/₂;0), поэтому:

Каноническое уравнение прямой:



или 7y -2x +1 = 0

Координаты точки M₂ найдем по формулам деления отрезка пополам.


M₂(3;³/₂)
Уравнение медианы BM₂ найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ₂ проходит через точки B(-1;-2) и М(3;³/₂), поэтому:

Каноническое уравнение прямой:



или 8y -7x +9 = 0

Найдем точку пересечения медиан.

Имеем систему из двух уравнений:

7 y -2x +1 = 0

8y -7x +9 = 0

x =⁵/₃ y =¹/₃


3) Уравнение высоты через вершину A

Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой

Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:


Найдем уравнение высоты через вершину A


или 4y +3x -16 = 0

Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:


Найдем расстояние между точкой A(4;1) и прямой BC (3y -4x +2 = 0)



4) Площадь треугольника

Пусть точки A₁(x₁; y₁), A₂(x₂; y₂), A₃(x₃; y₃) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:



Принимая A за первую вершину, находим:



4. даны координаты точек , , , Найти:

1) найти длину ребра ;

2) уравнение плоскости, проходящей через точки , и ;

3) уравнение высоты опущенной из точки на плоскость ;

4) площадь грани ;

5) объем пирамиды .

49. , , , .

Решение:

1. 
   Координаты векторов находим по формуле:
   

X = x_j- x_i; Y = y_j- y_i; Z = z_j- z_i

здесь X,Y,Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i- координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j- координаты точки А_j;

Для вектора AB

X = x₂- x₁; Y = y₂- y₁; Z = z₂- z₁

X = 4-3; Y = 5-(-1); Z = -2-3

AB(1;6;-5)
AC(-1;8;-2)
AD(-1;4;2)
BC(-2;2;3)
BD(-2;-2;7)
CD(0;-4;4)

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:



2) Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:



Уравнение плоскости ABC



(x-3)(6 ∙ (-2)-8 ∙ (-5)) - (y+1)(1 ∙ (-2)-(-1) ∙ (-5)) + (z-3)(1 ∙ 8-(-1) ∙ 6) =

=28x + 7y + 14z-119 = 0

4x + y + 2z-17 = 0


3) Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

Уравнение плоскости ABC: 4x + y + 2z-17 = 0



4) Найдем площадь грани



Векторное произведение:



= i(6 ∙ (-2)-8 ∙ (-5)) - j(1 ∙ (-2)-(-1) ∙ (-5)) + k(1 ∙ 8-(-1) ∙ 6) = 28i + 7j + 14k




5) Объем пирамиды
Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен: