курсовая. Решение задач по математике для студентов

Название	Решение задач по математике для студентов
Анкор	курсовая
Дата	20.04.2021
Размер	447 Kb.
Формат файла
Имя файла	Mat3.doc
Тип	Решение #196890

Контрольные по математике. Решение задач по математике для студентов.

№ 1 Брошены две игральные кости, на каждой из которых могут выпасть цифры от 1 до 6. Найти вероятность того, что сумма выпавших на обеих костях очков равна 5, а произведение 4.

Решение.

Рассмотрим событие А – сумма выпавших на обеих костях очков равна 5.

Вероятность события А вычислим с помощью классического определения вероятности

где n – общее число равновозможных элементарных исходов испытания; m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A.

Общее число различных случаев равно

В сумме число 5 можно получить 4 способами: (1;4), (4;1), (2;3), (3;2)

Тогда искомая вероятность равна

Рассмотрим событие В – произведение выпавших на обеих костях очков равно 4.

Вероятность события В вычислим с помощью классического определения вероятности .

Общее число различных случаев равно

Произведение очков, равное 4 можно получить 3 способами:(1;4), (4;1), (2,2).

Тогда искомая вероятность равна

_Ответ:

№ 11 Даны независимые случайные величины X и Y. Найти математическое ожидание произведения

и суммы

дискретных случайных величин. Вычислить дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение

х_i	1	2		y_i	0,5	1
p_i	0,2	0,8		q_i	0,3	0,7

Решение.

Так как X и Y – независимые величины, то мы имеем

Математические ожидания величин X и Y найдем по формулам

Тогда

Дисперсию D(X) найдем по формуле

Тогда

Среднее квадратическое отклонение

найдем по формуле

Ответ:

№21 Задана непрерывная случайная величина Χ функцией распределения F(х). Требуется: 1) найти плотность распределения вероятностей f(x) ; 2) схематично построить графики функций f(x) и F(х);
3) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х; 4) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (

Решение.

1) Плотность распределения вероятностей f(x) будем искать как производную от функции распределения

2) Построим график функции f(x)

Построим график функции F(x)

3) Вычислим математическое ожидание

Дисперсию вычислим по формуле

, где

Среднеквадратическое отклонение равно

4) Вероятность попадания на интервал (

) будем искать по формуле

Ответ: 1)

,3)

4)
№31 Заданы среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х, выборочная средняя

и объем выборки n. Требуется: 1) найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а с доверительной вероятностью

=0,95; 2) принимая

, написать теоретическую плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график; 3) следуя правилу “трех сигм”, определить приближенно максимальное и минимальное значения случайной величины Х; 4) оценить вероятность того, что Х примет значение, превышающее

Решение.

1) Для определения доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся формулой

По таблице функции Лапласа из соотношения

найдем

.

Определим точность оценки

Следовательно, доверительный интервал будет

2) Так как CВ Х распределена нормально, то плотность распределения будет иметь вид

Так как мы принимаем

и по условию

, то

Постоим график

3) По правилу “трех сигм” почти все значения случайной величины Х лежат в промежутке

4) Для нормального распределения функция распределения запишется

Вероятность попадания на отрезок

будем искать по формуле

Ответ: 1)

, 2)

,

3)

, 4)
№41 Отдел технического контроля проверил n партий изделий и установил, что число Х нестандартных изделий в одной партии имеет следующее эмпирическое распределение, сведенное в таблицу, где

- число нестандартных изделий в одной партии;

- число партий, содержащих

нестандартных изделий. Требуется при уровне значимости

проверить гипотезу о том, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Использовать критерий согласия Пирсона

.

n=250; α =0,05

	0	1	2	3	4	5	6
	101	91	44	10	2	1	1

Решение.

Находим выборочную среднюю

В качестве оценки параметра

распределения Пуассона

выберем полученное значение выборочного среднего

Проверим гипотезу о том, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, пользуясь критерием Пирсона

.

Расчет теоретических частот

Расчеты приведем в таблице


0	101	0,405	101,25
1	91	0,368	92
2	44	0,168	42
3	10	0,051	12,75
4	2	0,012	3
5	1	0,002	0,5
6	1	0,0003	0,07

Малочисленные частоты

можно объединить, и при этом объединить соответствующие им теоретические частоты.


101	101,25	0,0006
91	92	0,011
44	42	0,095
10	12,75	0,593
4	3,57	0,052
	Сумма	0,752

Получили

. Найдем число степеней свободы

. Так как проверяется гипотеза о распределении Пуассона, то

, так как после объединения малочисленных частот осталось 5 строк.

По таблице критических точек распределения

по уровню значимости

и числу степеней свободы k = 3 находим критическую точку

7,8

Так как

, то гипотеза о том, что CВ Х распределена по закону Пуассона принимается.

Ответ: гипотеза верна

№ 51 В процессе эксплуатации ЭВМ возникают неисправности (сбои). Поток сбоев считаем простейшим. Среднее число сбоев за сутки равно m. Найти вероятности следующих событий:

А - за n суток нет ни одного сбоя;

В – за одни сутки будет хотя бы один сбой;

С – за неделю произойдет не менее k сбоев.

Решение.

Решение задачи будем искать по формуле

Где m- среднее число сбоев за сутки, к- количество сбоев за сутки, t- количество суток.

Рассмотрим событие А - за 2 суток (t=2)нет ни одного сбоя (к=0). Тогда вероятность этого события равна

Вероятность события В – за одни сутки (t=1) будет хотя бы один сбой найдем как вероятность противоположного события

- за сутки ни одного сбоя. Воспользуемся свойством вероятности противоположных событий

Тогда

Найдем вероятность того, что за неделю произойдет не менее 3 сбоев (событие С). Воспользуемся свойством вероятности противоположных событий

Где событие

- за неделю произошло 0,1,2 сбоев. Найдем вероятность события

_Тогда

Ответ:

№61 Задана матрица

вероятностей перехода дискретной цепи Маркова из i-го состояния в j-ое за один шаг (i, j=1, 2). Распределение вероятностей по состояниям в начальный момент t=0 определяется вектором

=(0,4; 0,6). Найти:

матрицу Р₂ перехода цепи из состояния i в состояние j за два
шага;
распределение вероятностей по состояниям в момент t=2;
вероятность того, что в момент t=1 состоянием цепи будет i=2;
стационарное распределение.

Решение.

1) Для дискретной цепи Маркова в случае ее однородности справедливо соотношение

где Р₁ – матрица переходных вероятностей за один шаг;

Р_n - матрица переходных вероятностей за n шагов;

Найдем матрицу Р₂ перехода за два шага

2) Распределение вероятностей по состояниям в момент t=2 определяется формулой

,

так как из состояния в момент времени t=0 в состояние в момент времени t=2 система переходит за два шага.

3) Распределение вероятностей по состояниям в момент t=1 определяется формулой

Вероятность того, что в момент t=1 состоянием цепи будет i=2 равна

р₂(1)=0,84.
4) Для определения стационарного распределения вероятностей составляем систему уравнений

Где

- элементы матрицы Р₁. К данной системе добавляется еще и условие нормировки

В итоге получим

Следовательно,

- стационарное распределение вероятностей

Ответ: 1)

, 2)

, 3) р₂(1)=0,84,

4)

№81 Найти спектральную плотность стационарной случайной функции Х(t), если ее корреляционная функция имеет вид

Решение:

Спектральную плотность будем находить по формуле

Учитывая, что

в интервале (0,1), имеем

Ответ:

91.На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой данным дифференциальным уравнением, подается стационарная случайная функция Х(t) с математическим ожиданием m_x и корреляционной функцией k_x(τ). Найти: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию случайной функции Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.