Уравнение параболического типа. Уравнения параболического типа. Решение задачи Коши Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности,,, 5) с условием на прямой

• Название: Решение задачи Коши Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности,,, 5) с условием на прямой
• Анкор: Уравнение параболического типа
• Дата: 01.07.2022
• Размер: 2.41 Mb.
• Имя файла: Уравнения параболического типа.rtf
• Тип: Решение; #622075

Разностные схемы для уравнений параболического типа

1. Решение задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности
, , , (3.5)
с условием на прямой t=0
, . (3.6)
Требуется найти функцию  , которая при  и  удовлетворяла бы уравнению (3.5), а при выполняла бы условие (3.6).

Будем считать, что задача (3.5), (3.6) имеет в верхней полуплоскости единственное решение  , непрерывное вместе со своими производными
, i=1, 2 и , k=1, 2, 3, 4.
Запишем задачу (3.5), (3.6) в виде . Для этого достаточно положить




Будем далее считать, что t изменяется в пределах . В рассматриваемом случае
,
Г − объединение прямых t=0иt=T.

Выберем прямоугольную сетку и заменим область   сеточной областью  . К области   отнесем совокупность узлов  , где

 

, , ,

, , , .
Заменим задачу   разностной схемой вида  . Обозначим через   точное значение решения задачи   в узле  , а через   – соответствующее приближенное решение. Имеем

 




Для замены выражений  и воспользуемся формулами численного дифференцирования. Имеем:
, (3.7)
, (3.8)
, (3.9)
(3.10)
Назовем некоторую совокупность узлов, привлекаемых для замены задачи   в узле  , разностной схемой  ,шаблоном. Наиболее употребительные шаблоны изображены на рис. 3:


 



Рис. 3. Явный и неявный шаблоны
Рассмотрим явный двухслойный шаблон. Для него
(3.11)
Здесь мы воспользовались формулами (3.7) и (3.10) и обозначили
.
Введем обозначение

(3.12)
Теперь на основании формул (3.11), (3.12) можно записать разностную схему для задачи :
, (3.13)
где разностный оператор  определяется по правилу

Аналогично, если использовать неявный двухслойный шаблон, можно получить такую разностную схему:
, (3.14)
где



На основании формул (3.11) и (3.13) можно записать
,
где
Аналогично, используя (3.11), (3.10), (3.14), получим
,
.
Выясним порядок аппроксимации разностных схем (3.13) и (3.14). В качестве возьмем линейное множество всех пар ограниченных функций
. 
Норму в  определим правилом

Пусть  , где r и s– некоторые положительные числа.

Предположим, что для  и верны оценки
, .
Тогда легко получить
, (3.15)
. (3.16)
Для параболических уравнений, как мы увидим далее, в случае схемы (3.13) можно взять S=2, а в случае схемы (3.14) можно взять S=1.

Из формул (3.15), (3.16) следует, что разностные схемы (3.13), (3.14) аппроксимируют задачу  с погрешностью порядка S относительно h.

Разностная схема (3.13) позволяет по значениям решения на нулевом слое, то есть по значениям  вычислить значения на первом слое  . Для этого достаточно в (3.13) положить n= 0и произвести вычисления, носящие рекурсионный характер. Потом по значениям   можно аналогично при n= 1 вычислить значения  и т.д. В силу этого разностную схему (3.13) называют явной.

Разностная схема (3.14) такими свойствами не обладает. Действительно, если мы в (3.14) положим n=0, то в левой части полученной формулы будет линейная комбинация из значений  , в правой части будут значения известной функции   и . Для вычисления значений на первом слое в этом случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений. По этой причине схему (3.14) называют неявной.

2. Устойчивость двухслойных разностных схем

Определим норму в пространстве по правилу
.
Рассмотрим явную разностную схему (3.13). Выясним, при каких значениях r, возможна устойчивость этой схемы.

Для доказательства устойчивости надо показать, что разностная схема однозначно разрешима и при любых
, 
имеет место оценка  ,

где М – постоянная, не зависящая от и и .

Разностная схема (3.13) – явная, и поэтому ее однозначная разрешимость очевидна.

Перепишем формулу в виде
, , (3.17)
.
Пусть выполнено условие
или . (3.18)
Тогда из (3.17) получим:
,

или

. (3.19)
Неравенство (3.19) означает, что при  ,   не превосходит , то есть не возрастает с увеличением n.

Это свойство однородной разностной схемы принято называть принципом максимума. Положим в (3.19) . Это даст
,

,

.
Заметим, что   есть число, независящее от m и n. Просуммировав последние неравенства и, учитывая, что  , получим
(3.20)
где обозначено

На основании (3.20) можно записать
или .
Таким образом, разностная схема (3.13) при выполнении условия (3.18), налагаемого на  и h, устойчива. Условие (3.18) весьма жестко, ибо из него следует, что

. (3.21)
Это приводит к тому, что если мы желаем сохранить устойчивость, то при вычислениях по схеме (3.13) шаг по времени  приходится выбирать очень малым.

Обратимся теперь к разностной схеме (3.14), соответствующей шаблону, изображенному на рис. 4,


Рис. 4. Неявный двухслойный шаблон
и перепишем ее в виде

(3.22)
Посмотрим, какие надо проделать вычисления, чтобы, используя формулы (3.22), можно было вычислить, например, значения   на первом временном слое со значениями   на нулевом временном слое. Положив в формулах (3.22) n=0, получим:
(3.23)
Формулы (3.23) представляют собой бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных   .

Решение таких систем является сложной и трудоемкой задачей, поэтому разностные схемы (3.14) неудобны для задач Коши на бесконечных отрезках и применяется редко. Однако если отрезок оси x, на котором рассматривается задача Коши, конечен, то есть  , а на прямых x=aи x=b дополнительно заданы некоторые ограничения на решение  , то разностные схемы вида (3.14) оказываются весьма эффективными. В частности, можно показать, что такие схемы являются абсолютно устойчивыми, то есть устойчивыми при любых значениях .

Если, например, на отрезках прямых x=a и x=b, заданы условия ,  , то вид системы (3.23) существенно изменится:
(3.24)
Формулы (3.24) представляют собой систему M+1 алгебраических уравнений относительно . Матрица этой системы трехдиагональна и ее можно решить методом прогонки. Отсюда ясно, что реализация неявных разностных схем требует больших вычислительных затрат для вычисления решения на одном временном слое, но таких слоев может быть немного из-за того, что в этом случае отсутствуют ограничения на соотношение  . Если пользоваться явной разностной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляется по рекурсионному правилу и связано с минимальными вычислительными затратами, однако из-за ограничения
 

число временных слоев в случае явных схем может быть существенно большим по сравнению с числом временных слоев для неявных схем.

Рассмотрим теперь вопрос о сходимости схемы (3.13). Эта схема аппроксимирует задачу (3.5), (3.6) с погрешностью порядка   и устойчива при . Поэтому схема (3.13), по теореме об аппроксимации и устойчивости, будет сходящейся. При этом погрешность для приближенного решения будет величиной порядка .