Дифференциальные уравнения. Решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение
 Скачать 1.22 Mb.
|
|
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит: 1) независимую переменную ; 2) зависимую переменную (функцию); 3) первую производную функции: В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т.д. Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто имеет вид ( – произвольная постоянная), который называется общим решением дифференциального уравнения. Пример 1 Решить дифференциальное уравнение Полный боекомплект. С чего начать решение? В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение , которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным. В диффурах рулит именно оно! Итак: На втором шагесмотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п. Дифференциалы и – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции: Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы». Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части: Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные: Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу достаточно записать один раз (т.к. константа + константа всё равно равна другой константе). В большинстве случаев её помещают в правую часть. Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, – это общий интеграл. Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение. Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) целесообразно записать тоже под логарифмом. И записать НЕПРЕМЕННО, если получились одни логарифмы (как в рассматриваемом примере). То есть, ВМЕСТО записи обычно пишут Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем свойство логарифмов . В данном случае: Теперь логарифмы и модули можно убрать: Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение. Ответ: общее решение: . Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В нашем случае это делается совсем просто, берём найденное решение и дифференцируем его: После чего подставляем и производную в исходное уравнение : – получено верное равенство, значит, общее решение удовлетворяет уравнению , что и требовалось проверить. Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Ясно, что любая из функций , , и т.д. удовлетворяет дифференциальному уравнению Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере общее решение – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей. После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях: 1) В этом примере нам удалось разделить переменные. Всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка , необходимо сначала провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка , нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке – простейший тип дифференциальных уравнений. 2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое не проинтегрировать, кроме того, существуют неберущиеся интегралы. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. Даламбер и Коши гарантируют... …тьфу, lurkmore.to давеча начитался, чуть не добавил «с того света». 3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла . Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть, выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например: . Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла 4) ...пожалуй, пока достаточно. В первом же примере нам встретился ещё один важный момент, но дабы не накрыть «чайников» лавиной новой информации, оставлю его до следующего урока. Торопиться не будем. Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения: Пример 2 Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию Решение: по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши. Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная. Переписываем производную в нужном виде: Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо: Интегрируем уравнение: Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу. Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: В данном случае: Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом: Если – это константа, то – тоже некоторая константа, переообозначим её буквой : – при этом модуль убираем, после чего константа «цэ» сможет принимать как положительные, так и отрицательные значения Запомните «снос» константы – это второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений. На чистовике можно сразу перейти от к , но всегда будьте готовы объяснить этот переход. Итак, общее решение: . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций. На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Это тоже просто. В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку: То есть, Стандартная версия оформления: Теперь в общее решение подставляем найденное значение константы : – это и есть нужное нам частное решение. Ответ: частное решение: Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа: Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение удовлетворяет начальному условию ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится: – да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется. Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение и находим производную: Подставляем и в исходное уравнение : – получено верное равенство. Вывод: частное решение найдено правильно. Переходим к более содержательным примерам. Пример 3 Решить дифференциальное уравнение Решение: Переписываем производную в нужном нам виде: Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака: И перекидываем множители по правилу пропорции: Переменные разделены, интегрируем обе части: Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы , прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас. Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала , с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году: В результате у нас получились одни логарифмы, и, согласно моей первой технической рекомендации, константу тоже определяем под логарифм. Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. С помощью известных свойств максимально «упаковываем» логарифмы. Распишу очень подробно: Упаковка завершена, чтобы быть варварски ободранной: , и сразу-сразу приводим общий интеграл к виду , коль скоро, это возможно: Так делать, вообще говоря, не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора ;-) В принципе, этот шедевр можно записать в ответ, но здесь ещё уместно возвести обе части в квадрат и переобозначить константу: Ответ: общий интеграл: ! Примечание: общий интеграл часто можно записать не единственным способом. Таким образом, если ваш результат не совпал с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение. Можно ли выразить «игрек»? Можно. Давайте выразим общее решение: Само собой, полученный результат годится для ответа, но обратите внимание, что общий интеграл смотрится компактнее, да и решение получилось короче. Третий технический совет: если для получения общего решения нужно выполнить значительное количество действий, то в большинстве случаев лучше воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Это же касается и «плохих» действий, когда требуется выразить обратную функцию, возвести в степень, извлечь корень и т.п. Дело в том, что общее решение будет смотреться вычурно и громоздко – с большими корнями, знаками и прочим математическим трэшем. Как выполнить проверку? Проверку можно выполнить двумя способами. Способ первый: берём общее решение , находим производную и подставляем их в исходное уравнение . Попробуйте самостоятельно! Второй способ состоит в дифференцировании общего интеграла. Это довольно легко, главное, уметь находить производную от функции, заданной неявно : делим каждое слагаемое на : и на : Получено в точности исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно. Пример 4 Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку. Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что алгоритм состоит из двух этапов: 1) нахождение общего решения; 2) нахождение требуемого частного решения. Проверка тоже проводится в два шага (см. образец в Примере № 2), нужно: 1) убедиться, что найденное частное решение удовлетворяет начальному условию; 2) проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению. Полное решение и ответ в конце урока. Пример 5 Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку. Решение: Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные: Интегрируем уравнение: Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала : Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку они положительны, то знаки модуля излишни: (Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать) Итак, общее решение: Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух: Более привычное оформление: Подставляем найденное значение константы в общее решение. Ответ: частное решение: Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие : – всё гуд. Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение дифференциальному уравнению. Находим производную: Смотрим на исходное уравнение: – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал : Подставим найденное частное решение и полученный дифференциал в исходное уравнение : Используем основное логарифмическое тождество : Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно. Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения выразим производную, для этого разделим все штуки на : И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение и найденную производную . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство. Пример 6 Найти общий интеграл уравнения , ответ представить в виде Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока. Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными? 1) Не всегда очевидно (особенно, «чайнику»), что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример: . Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: и отделить корни: . Как действовать дальше – понятно. 2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла , то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, то пусть хоть интегралы будут посложнее». 3) Преобразования с константой. Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно обращаться достаточно вольно, и некоторые преобразования не всегда понятны новичку. Рассмотрим ещё один условный пример: . В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2: . Полученная константа – это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через : Да, и поскольку у нас одни логарфимы, то константу целесообразно переписать в виде другой константы: Беда же состоит в том, что с индексами часто не заморачиваются и используют одну и ту же букву . В результате запись решения принимает следующий вид: Что за дела?! Тут же ошибки! Строго говоря – да. Однако с содержательной точки зрения, ошибок нет, ведь в результате преобразования варьируемой константы получается равноценная варьируемая константа. Или другой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл . Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому у каждого слагаемого целесообразно сменить знак: Формально здесь опять ошибка – справа следовало бы записать . Но неформально подразумевается, что «минус цэ» – это всё равно константа, которая с тем же успехом принимает то же множество значений, и поэтому ставить «минус» не имеет смысла. Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании. Чего и вам советую делать. Пример 7 Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку. Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные: Интегрируем. В левой части подводим функцию под знак дифференциала , а в правой используем стандартный искусственный приём : Константу тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится. Ответ: общий интеграл: И, разумеется, здесь НЕ НАДО выражать «игрек» в явном виде, ибо получится трэш (вспоминаем третий технический совет). Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию): Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на : Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно. Пример 8 Найти частное решение ДУ. , Пример 9 Решить дифференциальное уравнение Пример 10 Решить дифференциальное уравнение Пример 4: Решение: Найдем общее решение. Разделяем переменные: Интегрируем: Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них: Выражаем функцию в явном виде, используя . Общее решение: Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»: . Способ второй: Подставляем найденное значение константы в общее решение. Ответ: частное решение: Проверка: Проверяем, действительно ли выполняется начальное условие: , да, начальное условие выполнено. Проверяем, удовлетворяет ли вообще частное решение дифференциальному уравнению. Сначала находим производную: Подставим полученное частное решение и найденную производную в исходное уравнение : Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Пример 6: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: Ответ: общий интеграл: Примечание: тут можно получить и общее решение: Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотрится довольно плохо. Пример 8: Решение: Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные: Интегрируем: Общий интеграл: Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию . Подставляем в общее решение и : Ответ: Частный интеграл: В принципе, ответ можно попричесывать и получить что-нибудь более компактное. Пример 9: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: Левую часть интегрируем по частям: В интеграле правой части проведем замену: Таким образом: (здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов , но она настолько простая, что подбор коэффициентов можно выполнить и устно) Обратная замена: Ответ: общий интеграл: Пример 10: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: Примечание: Интеграл можно было также найти методом выделения полного квадрата . Ответ: общее решение: Дифференциальные уравнения первого порядка. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида . Запишем несколько примеров таких ДУ Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x). В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0. Примерами таких ОДУ являются Если существуют значения аргумента x, при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести В статье простейшие дифференциальные уравнения первого порядка. Вы можете ознакомиться с подробной теорией и посмотреть примеры решения таких ОДУ. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида или . Дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными переменными. Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него. Общее решение дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно найти, проинтегрировав обе части равенства: ∫ f(y)dy = ∫ f(x)dx. В качестве примеров ОДУ с разделенными переменными приведем Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными приводятся к ОДУ с разделенными переменными делением обеих частей уравнения на произведение f 2 (y) ⋅ g 1 (x). То есть, получим . Такое преобразование будет эквивалентным, если одновременно f 2 (y) ≠ 0 и g 1 (x) ≠ 0. Иначе могут потеряться некоторые решения. Примерами ОДУ с разделяющимися переменными являются Некоторые дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены переменных. Дифференциальные уравнения приводятся к ОДУ с разделяющимися переменными подстановкой z = ax+by. К примеру, уравнение с помощью подстановки z = 2x+3y приобретает вид ОДУ или преобразуются к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замен или Например, дифференциальное уравнение после замены принимает вид Некоторые дифференциальные уравнения следует немного преобразовать, чтобы можно провести замену. К примеру, достаточно разделить на x 2 или y 2 числитель и знаменатель правой части дифференциального уравнения , чтобы оно соответствовало случаям или соответственно. Дифференциальные уравнения преобразуютс я к только что рассмотренным ОДУ или , если ввести новые переменные , где - решение системы линейных уравнений и провести некоторые преобразования. Например, дифференциальное уравнение после введения новых переменных преобразуется к виду . Проводим деление на u числителя и знаменателя правой части полученного уравнения и принимаем . В результате приходим к уравнению с разделяющимися переменными В разделе дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными подробно разобрана теория и приведены подробные решения аналогичных примеров. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка . В качестве примеров линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка можно привести Для решения ЛНДУ используют метод вариации произвольной постоянной. Также существует метод, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения: y(x) = u(x)v(x). В статье линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка подробно изложены методы интегрирования таких ЛНДУ и приведены подробные решения примеров и задач. Дифференциальное уравнение Бернулли . Примерами дифференциальных уравнений Бернулли являются, например, Дифференциальное уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению первого порядка подстановкой Можно также пользоваться методом, основанным на представлении функции y как y(x) = u(x)v(x). В разделе дифференциальное уравнение Бернулли подробно расписаны методы нахождения решений и разобраны решения примеров и задач. Уравнения в полных дифференциалах . Если для любых значений x и y выполняется , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0, то есть, dU(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y) = 0 по ее полному дифференциалу. К примеру, левая часть дифференциального уравнения представляет собой полный дифференциал функции Подробное описание теории и решение примеров изложены в разделе уравнения в полных дифференциалах Дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или соответственно. Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3 и k 2 = 0. Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид Подробное описание теории и разобранные решения примеров и задач смотрите в разделе линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных. В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка . Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами. Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке [a; b] представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций: Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде. Примером ЛОДУ является Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных. В качестве примера ЛНДУ можно привести Теорию и решение примеров смотрите в разделе линейные дифференциальные уравнения второго порядка Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k- 1 порядка, может быть понижен до n-k заменой В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y. Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого. Если дифференциальное уравнение не содержит аргумента x, то есть, имеет вид , то его порядок может быть снижен на единицу заменой , где p(y(x)) будет сложной функцией. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим и так далее. Подставив эти результаты в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение не единицу меньшего порядка. К примеру, дифференциальное уравнение заменой приводится к уравнению с разделяющимися переменными Подробное решение подобных примеров представлено в статье дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и . Чтобы определить общее решение таких видов дифференциальных уравнений, во-первых, требуется найти корни характеристического уравнения . В этом Вам может помочь статья решение уравнений высших степеней . Далее, отталкиваясь от значений корней характеристического уравнения, общее решение ЛОДУ записывается в стандартной форме, а общее решение неоднородного уравнения представляется суммой , где - частное решение неоднородного дифференциального уравнения. можно определить методом вариации произвольных постоянных. В качестве примера ЛНДУ с постоянными коэффициентами приведем , ему соответствует ЛОДУ Подробное описание теории и детальный разбор решения примеров смотрите в разделе линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков и . Общее решение ЛНДУ высших порядков ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение неоднородного дифференциального уравнения. представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство в тождество. Частные решения обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема. Когда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения найдено, частное решение соответствующего неоднородного уравнения можно определить методом вариации произвольных постоянных. Итак, Краткое описание теории приведено в статье линейные дифференциальные уравнения высших порядков |