Рішення нелінійних рівнянь метод ділення відрізка навпіл. Мова як і раніше йде про відшукання корінь рівняння 1)
 Скачать 210.17 Kb.
|
|
1. Чисельне рішення нелінійних рівнянь: метод ділення відрізка навпіл. Мова як і раніше йде про відшукання корінь рівняння (3.3.1)  ,т.е. таких чисел  , що при підстановці в рівняння замість символу  числа виходить тотожність. Саме собою зрозуміло, що тут, як і всюди в цьому курсі, мова йде тільки про речовинні числа.Про функцію  в міркуваннях, що нижче приводяться, як і раніше передбачається, що вона має безперервні похідні тих порядків, які згадуються по ходу викладу.Нагадуємо, відокремити корінь рівняння (3.3.1) - це значить знайти такий інтервал (a,b), що, по-перше, містить корінь рівняння (3.3.1) і, по-друге, містить тільки один корінь цього рівняння. Доводиться, що якщо на кінцях деякого інтервалу (a,b) функція має різні знаки, а усередині цього інтервалу похідна  знак не міняє, то в інтервалі (a,b) корінь рівняння (3.3.1) є й, притім, тільки один.Звідси виникає проста методика наближеного пошуку кореня, відділеного в інтервалі (a,b): треба побудувати послідовність точок  за наступним правилом:  потім із двох інтервалів (a,c1) і (c1,b) вибирається той, на кінцях якого має різні знаки і його середину приймається за  ; позначимо кінці цього інтервалу (у якого - середина) через (a2,b2), а потім виберемо ту з його половин, на кінцях якої має різні знаки. Нехай (a3,b3) - ця половина й  - середина цього відрізка й т.д. Доводиться, що побудована послідовність  сходиться до кореня рівняння (3.3.1). Якщо із самого початку задається деяка точність обчислень, то на практиці побудова послідовності переривається тоді, коли два рази підряд виходять однакові із заданою точністю числа. Це останнє перед перериванням побудови послідовності число й приймається за наближене із заданим ступенем точності значення кореня.Описаний метод уточнення кореня називається методом ділення відрізка навпіл.   |