ИТОГОВОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
по дисциплине «Математика»
Рубежный контроль 1
ФИО студента
| Кучканов Денис Петрович
| Направление подготовки
| Информационные системы и технологии
| Группа
| ИСТ-Б-01-З-2020-1
|
Москва 2021
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. РУБЕЖНЫЙ КОНТРОЛЬ 1
Задание 1
Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления:
1) . Чтобы избавиться от неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение , получим Выражение разложим на множители:
⇒
, возвращаемся к пределу:
2) .
Рассмотрим предел функции отдельно: . Чтобы избавиться от неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень при переменной, т.е. на , получаем
. Возвращаемся к пределу .
3) Используя свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций имеем, что , подставляем:
, разделим числитель и знаменатель на :
.
4)
Использовали второй замечательный предел.
5) . По свойствам логарифма, теперь найдем предел подлогарифмической функции, а после результат прологарифмируем:
, логарифмируем:
.
Задача 2
Исследовать на непрерывность функции, найти точки разрыва и определить их тип. Построить графики функций.
Решение:
1)
Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой функция не определена. Вычисляем односторонние пределы:
, : односторонние пределы конечны и равны, следовательно, в точке функция терпит устранимый разрыв.
График функции:
2) , т.к. функция содержит в себе модуль, то ее можно расписать кусочным образом: , сократим дроби обоих кусков на , при этом в системе дополнительно указываем условие и первое неравенство сделаем строгим:
. Исследуем полученную функцию на непрерывность:
Функция не определена в точке , поэтому можно сразу сказать, что не является в ней непрерывной. Установим характер разрыва, вычисляем односторонние пределы:
, : односторонние пределы конечны и различны, следовательно, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .
График функции:
3)
а) Исследуем на непрерывность точку :
функция определена в данной точке;
Вычисляем односторонние пределы:
, : односторонние пределы конечны и равны, следовательно, существует общий предел: предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке, т.е. функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
б) Исследуем на непрерывность точку :
функция определена в данной точке;
Вычисляем односторонние пределы:
, : односторонние пределы конечны и равны, следовательно, существует общий предел: предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке, т.е. функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
График функции:
|