Практическое руководство-ФинМат. Руководство к практическим занятиям и самостоятельной работе по финансовой математике Содержание по финансовой математике 1

• Название: Руководство к практическим занятиям и самостоятельной работе по финансовой математике Содержание по финансовой математике 1
• Дата: 10.02.2018
• Размер: 1.16 Mb.
• Имя файла: Практическое руководство-ФинМат.doc
• Тип: Руководство; #36181
• страница: 6 из 14

Тема 6. Замена и консолидация платежей

На практике часто возникают ситуации, когда участники сделки вынуждены изменять условия ранее заключенного финансового соглашения. В результате изменений условий контракта ни один из его участников не должен терпеть убытков, поэтому в таких ситуациях также составляется уравнение эквивалентности.

Согласно уравнению эквивалентности сумма нового и старого платежей приводится к одному моменту времени. Для краткосрочных контрактов процесс приведения осуществляется, как правило, на основе простых ставок. При использовании сложных ставок время приведения контрактов не имеет значения.

При консолидации платежей возникают две задачи: 1) определение величины консолидированного платежа при известном сроке, когда этот платеж должен быть сделан; 2) определение срока известного консолидированного платежа.

Обе задачи решаются с использованием уравнения эквивалентности контрактов. Два контракта считаются эквивалентными, если потоки платежей по этим контрактам, приведенные к одному моменту времени, одинаковы.

При замене или объединении платежей используется принцип эквивалентности: ни одна из сторон финансовой сделки не должна казаться в убытке или получить дополнительную прибыль.

Цель проведения занятия – научиться проводить расчеты по замене ставок и условий финансовых контрактов, используя формулы финансовых вычислений и электронные таблицы EXCEL.

Основные формулы

Рассмотрим ситуацию, когда платеж Р₁ со сроком уплаты n₁ заменяется на платеж Р₀ со сроком уплаты n₀

Простые ссудные ставки

Формула для нахождения величины нового платежа при использовании простой ссудной ставки:




Формула для нахождения срока нового платежа, если



Формула для нахождения срока нового платежа, если



Формула для определения величины консолидированного платежа при использовании простой ссудной ставки





Формула для определения срока консолидированного платежа при использовании простых ссудных ставок



Сложные ссудные ставки

Формула для нахождения величины нового платежа при использовании сложной ссудной ставки:

Формула для нахождения срока нового платежа




Формула для определения величины консолидированного платежа



Формула для определения срока консолидированного платежа


Типовые задачи с решениями

Задача 1. Согласно новому финансовому соглашению платеж в 100000 руб. со сроком уплаты через 1 год заменяется платежом со сроками уплаты 1) через полгода;

2) через два года. Определить величину нового платежа, если используется простая ставка 20 % годовых.

Решение

1) Так как срок нового платежа меньше года, то его величина — это дисконтированная стоимость 100000 руб., срок дисконтирования — 0,5 года, поэтому величина нового платежа равна:

100 000 / (1 + 0,5 ·0,2) = 90 909 руб.

2) Так как срок нового платежа больше года, то его величина — это будущая стоимость 100000 руб., наращение происходит один год по ставке 20 % годовых, поэтому величина нового платежа равна: 100 000 · (1+1·0,2)= 120 000 руб.

Задача 2. Найти величину нового срока, если платеж в 100 000 руб. с уплатой через 250 дней заменяется платежом в 95 000 руб. Используется простая ставка 10 % годовых.

Решение

Так как сумма нового платежа меньше 100 000 руб., поэтому новый срок должен быть также меньше 250 дней.

Графически это можно показать следующим образом:



Будем приводить потоки платежей по новому и старому контракту к моменту времени 250 дней.

Тогда на сумму в 95 000 руб. должны начисляться простые проценты по ставке 10 % в течение (250 – х) дней и наращенная сумма должна равняться 100 000 руб. Составляем уравнение эквивалентности

95000  (1 +0,1  (250 – х) / 360)) = 100000,

х = 60,5 дней.

Проверим этот результат. Получив через 60,5 дней 95000 руб. и вложив их в банк на срок (250 – 60,5) дней, получим

95000  (1+0,1 (250 – 60,5) /360) = 100000 руб.

Заметим, что платеж в 100000 руб. нельзя заменить любым меньшим по величине платежом. Величина нового платежа не может быть меньше, чем сумма 100000 руб., приведенная к начальному моменту времени, т. е. меньше, чем 100000 / (1+ 0,1  250/360) = 93500 руб.

Задача 3. Два векселя номинальной стоимостью 20000 руб. и 30000 руб. и сроком погашения 1 июня и 1 сентября заменяются одним с продлением срока погашения до 1 октября. При объединении используется простая учетная ставка 10 % годовых. Определить номинальную стоимость нового векселя.

Решение

Поскольку срок погашения нового векселя позже, чем сроки погашения объединяемых векселей, то на сумму 20000 руб. в течение 122 дней (с 1 июня по 1 октября) происходит наращение капитала по простой учетной ставке 10 %; на сумму 30000 руб. в течение 30 дней (с 1 сентября по 1 октября) также происходит наращение капитала по простой учетной ставке 10 % годовых. Поэтому номинальная стоимость нового векселя равна:



Задача 4. Платежи в 6000, 4000 и 10000 руб. должны быть погашены соответственно через 90, 165 и 270 дней. Кредитор и должник согласились заменить три платежа одним через 120 дней. Найти величину консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 38% годовых и в расчет принимаются обыкновенные проценты.

Решение

Приведем все платежи к моменту погашения консолидированного платежа, т.е. к 120 дням. Тогда на платеж в 6000 руб., срок погашения которого меньше 120 дней, будут начисляться простые проценты за период в 120-90=30 дней, платеж в 4000 руб. необходимо дисконтировать на срок в 165-120=45 руб., платеж в 10000 руб. необходимо дисконтировать на срок 270-120=150 дней.

Складывая суммы приведенных платежей, получим уравнение для определения величины консолидированного платежа:



поэтому Х=18642 руб.

Если бы за дату приведения выбрали время выплаты платежа в 6000 руб., то получили бы следующее уравнение:

,
откуда Х=18683 руб.

Приводя все платежи к начальному моменту времени, получим уравнение:

,

откуда Х=18780 руб.

Поэтому при выборе финансового соглашения в случае использования простых процентов необходимо оговорить дату, на которую будет осуществляться приведение всех сумм.

Задача 5. Согласно контракту предприниматель должен выплатить кредитору 100 000 руб. через год, 200 000 руб. через два года и 400 000 руб. через 3 года. Предприниматель планирует выплатить через 2 года 300 000 руб., оставшуюся сумму долга вернуть через 4 года. Какую сумму предприниматель должен будет выплатить через 4 года, если в расчетах используется сложная ставка 20% годовых?

Решение.

Изобразим схему выплат на графике. Под осью отметим платежи по старому соглашению, над осью – по новому контракту.

300 000

х

1	2	3	4
100 000	200 000	400 000

Величину неизвестного платежа находим из условия эквивалентности контрактов. Приведенные стоимости платежей по старому контракту необходимо приравнять к приведенным стоимостям потоков платежей по новому контракту и из полученного уравнения определить неизвестную величину нового платежа.



Х= 508 800 руб.

В случае сложных ставок результат не зависит от момента времени, для которого составляется уравнение эквивалентности контрактов. Действительно, если все платежи приводить к моменту окончания года 4, уравнение примет вид:

.

Разделив это обе части уравнения на , получим первоначально составленное уравнение.