Ряд Лорана. курсовая ТФКП. Ряд лорана. Изолированные особые точки

• Название: Ряд лорана. Изолированные особые точки
• Анкор: Ряд Лорана
• Дата: 25.02.2021
• Размер: 56.74 Kb.
• Имя файла: курсовая ТФКП.docx
• Тип: Документы; #179368

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра математики

РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 2

ГЛАВА I. РЯД ЛОРАНА 5

1.1.Определение ряда Лорана и его область сходимости 5

1.2.Теорема Лорана 6

1.3.Изолированные особые точки 10

ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛОРАНА 12

2.1. Разложение аналитической функции в ряд Лорана 12

2.2. Определение характера особых точек 14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 16

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 17

ВВЕДЕНИЕ

Основы теории функций комплексной переменной (ТФКП) были заложены в середине XVIII века Л. Эйлером, а как самостоятельная ветвь математики дисциплина оформилась около середины XIX века благодаря работам О. Коши, К. Вейерштрасса, Ю. В. Сохоцкого и Б. Римана.

Сейчас ТФКП является одним из важнейших разделов математики. Ее идеи и результаты проникли во многие другие математические дисциплины, такие как алгебраическая топология, обыкновенные дифференциальные уравнения, математическая физика, функциональный анализ, теория вероятностей, вычислительная математика и др. Методы ТФКП стали привычными и в ряде прикладных дисциплин. В связи с этим курс ТФКП является обязательным на всех отделениях механико-математического, физического и геологического факультетов. В этом заключается актуальность данной работы.

Целью нашей работы является изучение ряда Лорана и изолированных особых точек.

Объектом данной курсовой работы является теория функций комплексной переменной.

Предмет исследования: ряд Лорана, изолированные особые точки.

Задачи:

1. 
   анализ методической и научной литературы по теме;
   
2. 
   дать определение ряда Лорана;
   
3. 
   рассмотреть теорему Лорана;
   
4. 
   изучение классификация изолированных особых точек;
   
5. 
   рассмотреть разложения в ряд Лорана;
   
6. 
   научиться определять особые точки и их характер.
   

Методы исследования:

1. 
   Теоретические методы: анализ математической и методической литературы по проблеме исследования.
   
2. 
   Методы обработки: анализ полученных результатов.
   

Структура работы: Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.

ГЛАВА I. РЯД ЛОРАНА

1. Определение ряда Лорана и его область сходимости

Определение: Ряд вида



где а – фиксированная точка комплексной плоскости, - фиксированная плоскость заданные комплексные числа, называется рядом Лорана. Ряд Лорана называется сходящимся в точке если в этой точке одновременно сходятся ряды



и



Сумма ряда (1) в точке по определению равна сумме рядов (2) и (3).

Таким образом, ряд Лорана состоит из двух рядов с коэффициентами (n≥0 иn<0). Первый из них есть степенной ряд и, следовательно, его область сходимости есть круг . Второй становится степенным рядом, если сделать замену



Область сходимости полученного ряда есть круг Следовательно, ряд (3) сходится в области где [8].

Согласно нашему определению сходимости ряда Лорана, он будет обладать непустой областью сходимости в виде кругового кольца



при условии



Заметим, что по формуле Коши-Адамара



Если то ряд Лорана не обладает, областью сходимости. Если , то ряд Лорана может иметь точки сходимости, не образующие открытого множества, а расположенные на окружности Из теоремы Абеля для степенных рядов при условии следует, что во всяком замкнутом кольце ряд Лорана (1) сходится абсолютно и равномерно, а его сумма аналогичная в области сходимости . Всюду в дальнейшем, говоря о рядах Лорана, мы всегда будем предполагать, что выполнено условие (4), без которого не существует области сходимости ряда [4].

Ряд

называется правильной частью ряда Лорана для функции , а



- главной частью.

Ряд Тейлора является частным случаем ряда Лорана, когда в последнем отсутствует ряд (3) , то есть главная часть [1].

2. Теорема Лорана

Теорема. Любую функцию аналитическую в кольце , где можно в этом кольце представить как сумму сходящегося ряда



с коэффициентами



где окружность произвольного радиуса лежащего в , причем в любой замкнутой подобласти ряд Лорана (5) сходится к равномерно.

Заметим, что в условиях этой теоремы кольцо может вырождаться в круг с выколотым центром , во внешность круга с выколотой бесконечно удаленной точкой и, наконец, во всю плоскость с двумя выколотыми точками

Доказательство. Рассмотрим кольцо где , целиком лежащее в . Обозначим окружности, ограничивающие кольцо , через Поскольку функция аналитическая в и на ее граничных контурах , то мы можем воспользоваться интегральной формулой Коши. Итак,



где обе окружности проходятся против часовой стрелки.

Аналогично доказательству теоремы о предоставлении аналитической функции рядом Тейлора, представим дробь в виде суммы геометрической прогрессии







Этот ряд сходится равномерно относительно , поскольку для всех точек модуль для всех точек сразу. Так как функция непрерывна на С, то она ограничена на С. Отсюда следует, что ряд



равномерно сходится по а окружности С.

Поэтому данное равенство можно до множить на и проинтегрировать по С. Для первого интеграла (7) имеем:



где



Затем, что выражение (9) нельзя представить, как в ряде Тейлора, в виде , так как , вообще говоря, не аналитическая в точке a.

Перейдем ко второму интегралу из (7). Для него при , и равномерно по сходится прогрессия







Как и выше мы можем до множить на и проинтегрировать по . Для второго интеграла (7) имеем:







где



Заменим теперь в формулах (10) и (11) индекс (-n), пробегающий значения 1,2,…, индексом n, пробегающим значения -1,-2,…, получим:



где



Сложим равенства (8) и (12):



Далее, так как для произвольной окружности γ радиуса : с центром в точке a, следующие три интеграла равны:



в силу интегральной теоремы Коши, то в выражениях (9) и (13) можно поменять контуры интегрирования на γ. Тогда для вычисления коэффициентов имеем общую формулу:



Равенства (14) и (15) и дают утверждение теоремы. Таким образом, теорема доказана.

Теперь докажем единственность разложение функции в ряд Лорана [6].

Теорема. Разложение в ряд Лорана функции , аналитической в кольце , имеет в этом кольце два разложения



Умножаем ряды (16) на , где – фиксированное целое число, получаем



Так как ряды (17) равномерно сходятся на окружности где , то интегрируя их почленно по этой окружности и учитывая, что



получаем для всякого целого . Доказано [7].

3. Изолированные особые точки

Определение. Точка называется изолированной особой точкой функции , если – однозначная аналитическая функция внутри кругового кольца (круга с выколотым центром), а точка – особая точка функции

В самой точке функция может быть не определена.

Поскольку выполняются условия теоремы (5), функция может быть разложена в окрестности точки в ряд Лорана, который сходится в кольце [2].

При этом возможны три случая:

1. 
   В разложении функции нет слагаемых с отрицательными степенями.
   
2. 
   Слагаемых с отрицательными степенями конечное число.
   
3. 
   В разложении присутствует бесконечно много слагаемых с отрицательными степенями [4].
   

Указанные случаи разберем по отдельности.

1. 
   Ряд Лорана не содержит отрицательных степеней величины
   

Можно доказать, что в этом случае существует предел при равный Если доопределить функцию в точке значением , то мы получим функцию, аналитическую в круге . Поэтому особые точки рассмотренного вида называют устранимыми особыми точками. Если разложение начинается с k-ой степени (k>0), то точку называют нулем k-го порядка функции .

2. 
   Ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней:
   

При выполнении указанного условия точку называют полюсом m-го порядка. Доказывается, что предел аналитической функции при в этом случае будет равен .

Легко видеть, что функция в точке в первом случае будет иметь полюс k-го порядка, а во втором – ноль m-го порядка.

3. 
   Ряд Лорана содержит бесконечное число слагаемых членов разложения в отрицательных степенях. Точка называется в этом случае существенно особой точкой функции [4].
   

Поведение функции в окрестности существенно особой точки описывается теоремой:

Теорема. Для любого числа С и любого в любой окрестности найдется точка, значение функции в которой будет отличаться от С (по модулю) меньше чем .

Для вех сформулированных утверждений верны и обратные. Поэтому часто используют геометрическую классификацию изолированных особых точек .

Точка называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел функции при . Ряд Лорана не содержит отрицательных степеней величины .

Точка называется полюсом функции , если . Ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней величины .

Точка называется существенно особой точкой функции , если при предела не существует. Ряд Лорана содержит Бесконечное число отрицательных степеней величины [5].

ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛОРАНА

2.1. Разложение аналитической функции в ряд Лорана

Пример 1. Разложить в ряд Лорана в кольце функцию



Решение. Способ 1. Функция является аналитической в кольце . Находим коэффициенты ряда Лорана:



где γ – любая окружность с центром в точке , лежащая в данном кольце.

Если т.е. , то подынтегральная функция будет аналитической во всех точках внутри γ, включая точку . В этом случае



т.е. при Если , т.е. , то, применяя формулу для производной любого порядка от аналитической функции, получим



Таким образом, для имеем



Ряд Лорана для функции в кольце , будет иметь вид



или



Способ 2. Преобразуем данную функцию следующим образом:



Последние два слагаемых запишем в виде



Применяя разложение по степеням для функции при и , получим





Подставляя полученные разложения в (1), найдем



или

2.2. Определение характера особых точек

Пример. Указать, какие особые точки и какого типа имеют функции:

№1.

Решение. Данная функция может иметь особую точку только при Разложение Лорана в окрестности этой точки получается, если во всюду сходящимся ряде



положить



Этот ряд сходится в любой окрестности точки и содержит бесконечно много отрицательных степеней . Отсюда, по определению, следует, что – существенно особая точка для рассматриваемой функции [3].

№2. .

Решение. Особыми точками здесь будут ( ). Точка – устранимая особая точка, если положить , так как

.

Точки ( ) полюсы второго порядка, так как эти точки есть нули функции



№3. .

Решение. Замечая, что





получим:



Это разложение сходится во всех точках плоскости, а потому все точки плоскости являются правильными точками для данной функции, причем точка есть устранимая особая точка, если положить [4].

№4. .

Решение. Особыми точками этой функции могут быть только нули знаменателя ( ). Если – один из этих нулей, то имеет следующее разложение в его окрестности:





Откуда:



Причем

Следовательно, рассматриваемая функция имеет бесконечно много простых полюсов в точках ( ) [3].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью нашей работы является изучение ряда Лорана и изолированных особых точек.

Мы рассмотрели методы разложения функций в ряд Лорана. Привели примеры разложения функций в ряд Лорана. А также научились определять тип изолированных особых точек и показали примеры их определения.

Объектом нашей работы был курс теория функций комплексной переменной.

Мы дали определение ряда Лорана:

Ряд вида где а – фиксированная точка комплексной плоскости, - фиксированная плоскость заданные комплексные числа, называется рядом Лорана.

Также сформулировали теорему Лорана: любую функцию аналитическую в кольце , где можно в этом кольце представить как сумму сходящегося ряда с коэффициентами где окружность произвольного радиуса лежащего в , причем в любой замкнутой подобласти ряд Лорана сходится к равномерно.

Исследовали типы изолированных особых точек. Изолированная особая точка функции называется:

1. 
   Устранимой особой точкой, если существует конечный предел
   
2. 
   Полюсом, если
   
3. 
   Существенно особой, если
   

Мы провели анализ методической и научной литературы по нашей теме, изучили способы разложения функций в ряд Лорана и научились определять характер особых точек.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. 
   Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1966. – 331с.
   
2. 
   Борисова Л.В., Новикова В.В., Тышкевич С.В., Шаталина А.В. Теория функций комплексной переменной: Учеб. Пособие для студентов мех.-мат.,физ. и геол. фак. 2-е изд., испр. и доп. – Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 2004. – 84 с.: ил (Б-ка «Основы математики»; Вып. 26).
   
3. 
   Ванько В.И., Галкин С.В., Морозова В.Д. Методические указания для самостоятельной работы студентов «Теория функций комплексного переменного» и «Операционное исчисление». – М.: МВТУ,1988.-28с.
   
4. 
   Дубровин В.Т. Теория функций комплексного переменного (теория и практика): Учебное пособие / В.Т. Дубровин. – Казань: Казанский государственный университет, 2010. – 102 с.
   
5. 
   Климов, В. С. Основы комплексного анализа: Учебное пособие/ В. С. Климов; Яросл. гос. ун-т. им. П. Г. Демидова Ярославль: ЯрГУ, 2010. _ 96 с.
   
6. 
   Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. Задача и упражнения. – М.: Наука, 1981. – 215 с.
   
7. 
   Мельникова И.Н., Фастовец Н.О. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление – М.: Издательский центр РГУ нефти и газа имени Губкина, 2015. – 92с.
   
8. 
   Пушкин В.Н., Жилина Е.В, Мужикова А.В. Ряды Лорана. Теория вычетов и ее применение: Методические указания. – Ухта: УГТУ, 2001. – 25с.