курсовая ТФКП. Ряд лорана. Изолированные особые точки
 Скачать 56.74 Kb.
|
|
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра математики РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОГЛАВЛЕНИЕВВЕДЕНИЕ 2 ГЛАВА I. РЯД ЛОРАНА 4 1.1.Определение ряда Лорана и его область сходимости 4 1.2.Теорема Лорана 6 1.3.Изолированные особые точки 11 ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛОРАНА 13 2.1. Разложение аналитической функции в ряд Лорана 13 2.2. Определение характера особых точек 15 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 18 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 19 ВВЕДЕНИЕОсновы теории функций комплексной переменной (ТФКП) были заложены в середине XVIII века Л. Эйлером, а как самостоятельная ветвь математики дисциплина оформилась около середины XIX века благодаря работам О. Коши, К. Вейерштрасса, Ю. В. Сохоцкого и Б. Римана. Сейчас ТФКП является одним из важнейших разделов математики. Ее идеи и результаты проникли во многие другие математические дисциплины, такие как алгебраическая топология, обыкновенные дифференциальные уравнения, математическая физика, функциональный анализ, теория вероятностей, вычислительная математика и др. Методы ТФКП стали привычными и в ряде прикладных дисциплин. В связи с этим курс ТФКП является обязательным на всех отделениях механико-математического, физического и геологического факультетов. В этом заключается актуальность данной работы. Целью нашей работы является изучение ряда Лорана и изолированных особых точек. Объектом данной курсовой работы является теория функций комплексной переменной. Предмет исследования: ряд Лорана, изолированные особые точки. Задачи:
Методы исследования:
Структура работы: Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы. ГЛАВА I. РЯД ЛОРАНА
Определение: Ряд вида  где а – фиксированная точка комплексной плоскости,  - фиксированная плоскость заданные комплексные числа, называется рядом Лорана. Ряд Лорана называется сходящимся в точке  если в этой точке одновременно сходятся ряды  и  Сумма ряда (1) в точке  по определению равна сумме рядов (2) и (3).Таким образом, ряд Лорана состоит из двух рядов с коэффициентами (n≥0 иn<0). Первый из них есть степенной ряд и, следовательно, его область сходимости есть круг  . Второй становится степенным рядом, если сделать замену   Область сходимости полученного ряда есть круг  Следовательно, ряд (3) сходится в области  где  [8].Согласно нашему определению сходимости ряда Лорана, он будет обладать непустой областью сходимости в виде кругового кольца  при условии  Заметим, что по формуле Коши-Адамара  Если  то ряд Лорана не обладает, областью сходимости. Если  , то ряд Лорана может иметь точки сходимости, не образующие открытого множества, а расположенные на окружности  Из теоремы Абеля для степенных рядов при условии  следует, что во всяком замкнутом кольце  ряд Лорана (1) сходится абсолютно и равномерно, а его сумма  аналогичная в области сходимости . Всюду в дальнейшем, говоря о рядах Лорана, мы всегда будем предполагать, что выполнено условие (4), без которого не существует области сходимости ряда [4].Ряд   называется правильной частью ряда Лорана для функции , а  - главной частью. Ряд Тейлора является частным случаем ряда Лорана, когда в последнем отсутствует ряд (3)  , то есть главная часть [1].
Теорема. Любую функцию аналитическую в кольце  , где  можно в этом кольце представить как сумму сходящегося ряда  с коэффициентами  где  окружность произвольного радиуса  лежащего в  , причем в любой замкнутой подобласти ряд Лорана (5) сходится к равномерно.Заметим, что в условиях этой теоремы кольцо может вырождаться в круг с выколотым центром  , во внешность круга с выколотой бесконечно удаленной точкой  и, наконец, во всю плоскость с двумя выколотыми точками  Доказательство. Рассмотрим кольцо  где  , целиком лежащее в . Обозначим окружности, ограничивающие кольцо  , через  Поскольку функция аналитическая в и на ее граничных контурах  , то мы можем воспользоваться интегральной формулой Коши. Итак,   где обе окружности проходятся против часовой стрелки.Аналогично доказательству теоремы о предоставлении аналитической функции рядом Тейлора, представим дробь  в виде суммы геометрической прогрессии   Этот ряд сходится равномерно относительно  , поскольку для всех точек  модуль  для всех точек сразу. Так как функция  непрерывна на С, то она ограничена на С. Отсюда следует, что ряд  равномерно сходится по  а окружности С.Поэтому данное равенство можно до множить на  и проинтегрировать по С. Для первого интеграла (7) имеем: где  Затем, что выражение (9) нельзя представить, как в ряде Тейлора, в виде  , так как , вообще говоря, не аналитическая в точке a.Перейдем ко второму интегралу из (7). Для него  при  , и равномерно по  сходится прогрессия   Как и выше мы можем до множить на  и проинтегрировать по  . Для второго интеграла (7) имеем:   где  Заменим теперь в формулах (10) и (11) индекс (-n), пробегающий значения 1,2,…, индексом n, пробегающим значения -1,-2,…, получим:  где  Сложим равенства (8) и (12):  Далее, так как для произвольной окружности γ радиуса  :  с центром в точке a, следующие три интеграла равны: в силу интегральной теоремы Коши, то в выражениях (9) и (13) можно поменять контуры интегрирования на γ. Тогда для вычисления коэффициентов  имеем общую формулу: Равенства (14) и (15) и дают утверждение теоремы. Таким образом, теорема доказана. Теперь докажем единственность разложение функции в ряд Лорана [6]. Теорема. Разложение в ряд Лорана функции  , аналитической в кольце  , имеет в этом кольце два разложения Умножаем ряды (16) на  , где  – фиксированное целое число, получаем Так как ряды (17) равномерно сходятся на окружности  где  , то интегрируя их почленно по этой окружности и учитывая, что  получаем  для всякого целого . Доказано [7].
Определение. Точка  называется изолированной особой точкой функции , если – однозначная аналитическая функция внутри кругового кольца  (круга с выколотым центром), а точка – особая точка функции  В самой точке функция может быть не определена.Поскольку выполняются условия теоремы (5), функция может быть разложена в окрестности точки в ряд Лорана, который сходится в кольце [2].При этом возможны три случая:
Указанные случаи разберем по отдельности.
 Можно доказать, что в этом случае существует предел при  равный  Если доопределить функцию в точке значением  , то мы получим функцию, аналитическую в круге . Поэтому особые точки рассмотренного вида называют устранимыми особыми точками. Если разложение начинается с k-ой степени (k>0), то точку называют нулем k-го порядка функции .
 При выполнении указанного условия точку называют полюсом m-го порядка. Доказывается, что предел аналитической функции при в этом случае будет равен  .Легко видеть, что функция  в точке в первом случае будет иметь полюс k-го порядка, а во втором – ноль m-го порядка.
Поведение функции в окрестности существенно особой точки описывается теоремой: Теорема. Для любого числа С и любого  в любой окрестности найдется точка, значение функции в которой будет отличаться от С (по модулю) меньше чем  .Для вех сформулированных утверждений верны и обратные. Поэтому часто используют геометрическую классификацию изолированных особых точек .Точка называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел функции при . Ряд Лорана не содержит отрицательных степеней величины  .Точка называется полюсом функции , если  . Ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней величины .Точка называется существенно особой точкой функции , если при  предела не существует. Ряд Лорана содержит Бесконечное число отрицательных степеней величины [5].ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛОРАНА2.1. Разложение аналитической функции в ряд ЛоранаПример 1. Разложить в ряд Лорана в кольце  функцию Решение. Способ 1. Функция  является аналитической в кольце . Находим коэффициенты ряда Лорана: где γ – любая окружность с центром в точке  , лежащая в данном кольце.Если  т.е.  , то подынтегральная функция  будет аналитической во всех точках внутри γ, включая точку . В этом случае  т.е.  при  Если  , т.е.  , то, применяя формулу для производной любого порядка от аналитической функции, получим Таким образом, для  имеем Ряд Лорана для функции в кольце , будет иметь вид или  Способ 2. Преобразуем данную функцию следующим образом:  Последние два слагаемых запишем в виде  Применяя разложение по степеням  для функции  при  и  , получим   Подставляя полученные разложения в (1), найдем  или   2.2. Определение характера особых точекПример. Указать, какие особые точки и какого типа имеют функции: №1.  Решение. Данная функция может иметь особую точку только при  Разложение Лорана в окрестности этой точки получается, если во всюду сходящимся ряде положить   Этот ряд сходится в любой окрестности точки  и содержит бесконечно много отрицательных степеней . Отсюда, по определению, следует, что – существенно особая точка для рассматриваемой функции  [3].№2.  .Решение. Особыми точками здесь будут  ( ). Точка – устранимая особая точка, если положить  , так как .Точки () полюсы второго порядка, так как эти точки есть нули функции  №3.  .Решение. Замечая, что   получим:  Это разложение сходится во всех точках плоскости, а потому все точки плоскости являются правильными точками для данной функции, причем точка есть устранимая особая точка, если положить [4].№4.  .Решение. Особыми точками этой функции могут быть только нули знаменателя  (). Если  – один из этих нулей, то  имеет следующее разложение в его окрестности:  Откуда:  Причем  Следовательно, рассматриваемая функция имеет бесконечно много простых полюсов в точках () [3].ЗАКЛЮЧЕНИЕЦелью нашей работы является изучение ряда Лорана и изолированных особых точек. Мы рассмотрели методы разложения функций в ряд Лорана. Привели примеры разложения функций в ряд Лорана. А также научились определять тип изолированных особых точек и показали примеры их определения. Объектом нашей работы был курс теория функций комплексной переменной. Мы дали определение ряда Лорана: Ряд вида  где а – фиксированная точка комплексной плоскости, - фиксированная плоскость заданные комплексные числа, называется рядом Лорана.Также сформулировали теорему Лорана: любую функцию аналитическую в кольце , где можно в этом кольце представить как сумму сходящегося ряда  с коэффициентами  где окружность произвольного радиуса лежащего в , причем в любой замкнутой подобласти ряд Лорана сходится к равномерно.Исследовали типы изолированных особых точек. Изолированная особая точка функции называется:
Мы провели анализ методической и научной литературы по нашей теме, изучили способы разложения функций в ряд Лорана и научились определять характер особых точек. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
|
