мат. ср1Саша. Самостоятельная работа 1. Понятие о математическом моделировании
 Скачать 17.32 Kb.
|
|
Самостоятельная работа №1. Понятие о математическом моделировании Понятие «математическое моделирование» в последние несколько десятилетий является достаточно рас‑ пространенным в научной литературе, в частности, в естественнонаучной и технической. В настоящее время практически на любом проектном или конструкторском предприятии применяются математические модели. В последние годы широкое распространение получило применение математического моделирования в научных исследованиях, особенно в таких областях, как экономика, управление, история, биология и др. Следует заметить, что математическое моделирование представляет собой отдельную междисциплинарную область знаний с совокупностью объектов, подходов и методов исследования. Математической моделью называется совокупность уравнений или других математических соотношений, отражающих основные свойства изучаемого объекта или явления в рамках принятой умозрительной физической модели и особенности его взаимодействия с окружающей средой на пространственно-временных границах области его локализации. Математические модели различных процессов в континуальных системах строятся, как правило, на языке дифференциальных уравнений, позволяющих наиболее точно описать состояние процесса в любой точке пространства в произвольный момент времени. Основными свойствами математических моделей являются адекватность и простота, указывающие на степень соответствия модели изучаемому объекту и возможности ее реализации. Процесс формулировки математической модели называется постановкой задачи. Под математическим моделированием можно понимать процесс построения и изучения математических моделей. Развернутое определение дано в работе: математическое моделирование — это идеальное научное знаковое формальное моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов. Математическая модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами. Элементами обобщенной математической модели являются: множество входных данных (переменные) X, Y; X — совокупность варьируемых переменных; Y — независимые переменные (константы); математический оператор L, определяющий операции над этими данными, под которым понимается полная система математических операций, описывающих численные или логические соотношения между множествами входных и выходных данных (переменные); множество выходных данных (переменных) G (X, Y); представляет собой совокупность критериальных функций, включающую (при необходимости) целевую функцию. Математическая модель является математическим аналогом проектируемого объекта. Степень адекватности ее объекту определяется постановкой и корректностью решений задачи проектирования. Множество варьируемых параметров (переменных) X образует пространство варьируемых параметров Rx (пространство поиска), которое является метрическим с размерностью n, равной числу варьируемых параметров. Множество независимых переменных Y образуют метрическое пространство входных данных Ry. В том случае, когда каждый компонент пространства Ry задается диапазоном возможных значений, множество независимых переменных отображается некоторым ограниченным подпространством пространства Ry. Множество независимых переменных Y определяет среду функционирования объекта, т. е. внешние условия, в которых будет работать проектируемый объект. Это могут быть: технические параметры объекта, не подлежащие изменению в процессе проектирования; физические возмущения среды, с которой взаимодействует объект проектирования; тактические параметры, которые должен достигать объект проектирования. Выходные данные рассматриваемой обобщенной модели об‑ разуют метрическое пространство критериальных показателей RG. Нелинейность математических моделей Простота моделей во многом связана сих линейностью. С точки зрения математики это соответствует принципу суперпозиции, при котором любая линейная комбинация решений в свою очередь тоже есть решение искомой задачи. Пользуясь принципом суперпозиции, можно, найдя решение в каком-либо частном слуае, построить решение в более общей ситуации. В этой связи о закономерностях общего случая делается вывод на основе свойств частного. Для линейных моделей отклик объекта на изменение каких-то условий пропорционален величине этого изменения. В случае отсутствия выполнения принципа суперпозиции для математических моделей знание о поведении части объекта нелинейного явления не дает информации о поведении всего объекта в целом. Большинство реальных процессов и соответствующих им математических моделей не линейны. Линейные модели являются неким приближением реального объекта и решают лишь частные случаи. Так, нелинейными становятся модели популяций при учете ограничения доступных ресурсов Степень соответствия математической модели объекту Математическая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту и не передает всех его свойств и особенностей. Она является лишь приближенным описанием объекта и носит всегда приближенный характер. Точность соответствия определяется степенью соответствия адекватности модели и объекта. При построении математической модели приходится вы‑ двигать дополнительные предположения — гипотезы. Модель поэтому еще называют гипотетической. Основным критерием применимости модели является эксперимент. Критерий практики позволяет сравнивать гипотетические модели и выбирать из них наиболее подходящую. Каждый объект описывается ограниченным числом моделей или их систем. Процесс моделирования значительно легче реализуется при использовании унификации математических моделей, т.е. использования наборов готовых моделей. Существует возможность переноса готовых моделей из одних процессов на другие, идентичные, аналогичные. Аналогичными называют объекты и процессы, описываемые одинаковыми по форме уравнениями, содержащими различные физические величины и параметры, связанные между собой одинаковыми опера‑ торами. Величины, которые в аналогичных уравнениях стоят на одинаковых местах, называют аналогами. Математическая модель описывает реальный объект с каким-то приближением. Степень соответствия описания реальному процессу определяется полнотой учета возмущающих воз‑ действий. При отсутствии или незначительности возмущений, действующих как внутри, так и вне объекта, можно однозначно определить влияние входных и управляющих параметров на выходные. |