Сборник практических задач по управлению личными финансами в рамках школьного курса математики и материалов по подготовке к егэогэ

• Название: Сборник практических задач по управлению личными финансами в рамках школьного курса математики и материалов по подготовке к егэогэ
• Дата: 22.12.2022
• Размер: 206.08 Kb.
• Имя файла: 5aa0807c8cf098f7c0e66614151d2a6a.docx
• Тип: Сборник; #858869
• страница: 18 из 20

Тема 8. Игры с денежными ставками

Почему важно уметь решать такие задачи

Лотереи, казино, игровые автоматы, тотализатор – разновидности игр, в которых участники вкладывают свои деньги и надеются получить выигрыш, существенно превышающий вложенную сумму. В честно организованных играх (там, где нет мошенничества) отдельные игроки время от времени такие выигрыши получают. Например, известно, что в популярных лотереях, проводимых «Гослото»: «5 из 36», «6 из 45», «7 из 49» на выигрыши направляется 50% собранных денег. На официальном сайте лотереи можно увидеть фотографии счастливых участников, которые выиграли от нескольких сотен тысяч и до десятков и даже сотен миллионов рублей.

Означает ли это, что лотерея, тотализатор  прекрасный способ заработать деньги? Нет, это не так: чем больше участник вкладывает деньги, тем увереннее он их проиграет.

Но как же так? Отдельному человеку может улыбнуться удача, и выигрыш многократно превысит его расходы. И вдруг: чем больше участник играет, тем увереннее он проигрывает. Никакого противоречия нет. Если вы не экстрасенс и не волшебник, который точно заранее знает выигрышную комбинацию, то ваши выигрыши и проигрыши подчиняются математическим закономерностям. Зная эти закономерности, вы можете оценить результаты своей игры. Лотерея, казино, тотализатор всегда устроены так, что совокупно все участники проигрывают организаторам, поэтому «игры на деньги» могут быть развлечением, хобби, но ни в коем случае не должны становиться инструментом инвестирования или решения финансовых проблем. Попытка выпутаться из финансовых трудностей, вкладывая последние деньги в игры, вероятнее всего, приведет к еще большим финансовым трудностям.

Игры на деньги всегда были окутаны элементами таинственного, отсюда возникает большое количество заблуждений. Например, большинство «систем», позволяющих существенно повысить вероятность выигрыша игрока, разного рода «счастливые числа» и сочетания на поверку оказываются несостоятельными. И для проверки того, что правда, а что нет, снова на помощь приходит математика!

Теория вероятностей достаточно точно определяет параметры и результаты игры для большого количества участников, она может предсказать шансы и для одного участника. А вот если предсказанные результаты существенно отличаются от фактических, можно заподозрить, что игра идет «не по правилам», такой пример, правда литературный (по роману Д. Лондона «Смок Белью»), вы найдете ниже.

Решите задачи

Задача 8.1.1. * В лотерее «6 из 45» участник выбирает шесть разных чисел (или номеров) от 1 до 45 (последовательность чисел значения не имеет). Во время тиража определяется случайная выигрышная комбинация из шести номеров.

Джекпот – максимальный выигрыш, который участник получает, если угадывает все шесть выигрышных номеров. Распространено мнение, что у счастливчика, выигравшего джекпот однажды, значительно меньше шансов выиграть его еще раз, чем у того, кто прежде джекпот не выигрывал. Верно ли это?

Задача 8.1.2. По результатам анализа 20 последовательных тиражей в лотерее «6 из 45» выяснилось, что в выигрышных комбинациях число 31 встречалось в 3 раза чаще, чем число 34. Делая ставку в очередном тираже, игрок решил вместо числа 34 поставить число 31. Насколько у игрока увеличилась вероятность получить выигрыш в данном тираже?

Задача 8.1.3. * В лотерее «5 из 36» участник выбирает пять разных чисел (номеров) от 1 до 36. Во время тиража определяется случайная выигрышная комбинация из пяти чисел (номеров). Лотерея «6 из 29» устроена аналогично: разыгрываются шесть случайных номеров из двадцати девяти. Джекпот – максимальный выигрыш, который участник получает, если угадывает все выигрышные номера. Минимальный выигрыш участник получает, если угадал ровно два выигрышных номера.

а) Игрок хочет выбрать лотерею, в которой вероятность получить джекпот выше. Какая из двух лотерей ему подойдет?

б) В какой из этих лотерей выше вероятность получить минимальный выигрыш?

Задача 8.1.4. ** Тиражи лотереи «6 из 45» проводятся ежедневно два раза в день. Предположим, что в каждом тираже делается 100 000 ставок (игроков может быть меньше, поскольку каждый может сделать больше одной ставки). Джекпот – максимальный выигрыш, который получает участник, если угадывает все шесть выигрышных номеров. Какова вероятность, что джекпот будет выигран хотя бы одним игроком хотя бы раз в течение апреля?

Задача 8.1.5. * В лотерее «6 из 45» участник выбирает шесть разных чисел (или номеров) от 1 до 45 (последовательность чисел значения не имеет). Во время тиража определяется случайная выигрышная комбинация из шести номеров.

После сбора ставок организатор лотереи случайным образом определяет выигрышную комбинацию 6 чисел.

Джекпот – максимальный выигрыш, который получает участник в случае, если угадал все 6 чисел из выигрышной комбинации.

Один игрок делает две ставки с разными комбинациями чисел в одном тираже, а второй игрок делает две ставки с разными комбинациями чисел в двух тиражах. У какого игрока вероятность выиграть джекпот больше?

Задача 8.1.6. * В лотерее «6 из 45» участник выбирает шесть разных чисел (или номеров) от 1 до 45 (последовательность чисел значения не имеет). Во время тиража определяется случайная выигрышная комбинация из шести номеров.

Джекпот –– максимальный выигрыш, который получает участник в случае, если угадал все 6 чисел из выигрышной комбинации.

Игрок хочет во что бы то ни стало выиграть джекпот, сделав в одном тираже разные ставки на общую сумму 1 000 000 рублей. Стоимость одной ставки – 100 рублей. Какова вероятность, что он выиграет джекпот?

Задача 8.1.7. * В интернете опубликован способ выбора чисел, который, по утверждению автора, существенно повышает вероятность выигрыша в лотерее «6 из 45». Автор считает, что «среди выигрышных комбинаций закономерно чаще встречаются комбинации с 3 четными числами и 3 нечетными числами, чем комбинации с другим соотношением четных и нечетных чисел. Следовательно, игрок, который выбирает 3 четных и 3 нечетных номера, имеет больше шансов на выигрыш, чем игрок, который делает совершенно случайную ставку».

а) Верно ли, что комбинации с 3 четными и 3 нечетными числами встречаются чаще, чем комбинации с любым другим соотношением четных и нечетных чисел?
б) Верно ли, что игрок, выбирающий 3 четных и 3 нечетных числа, имеет больше шансов выиграть по сравнению с игроком, поступающим иначе?

Задача 8.1.8. * В лотерее «6 из 45» участник выбирает шесть разных чисел (или номеров) от 1 до 45 (последовательность чисел значения не имеет). Во время тиража определяется случайная выигрышная комбинация из шести номеров.

Минимальный выигрыш – событие, при котором участник, угадал 2 числа из выигрышной комбинации.

Приятели Иванов и Петров, играя в лотерею «6 из 45», купили по 20 билетов одного тиража. Иванов во всех билетах отметил номера 1, 2, 3, 4, 5, 6. Петров выбрал 20 шестерок номеров так, чтобы ни в каких двух шестерках не было двух совпадающих номеров. У кого из приятелей математическое ожидание числа минимальных выигрышей больше?

Задача 8.1.9. * В рулетке игрок делает ставку на один из 38 номеров (номера – это числа от 1 до 36, 0 (или зеро)) и 00 (или «двойной ноль)»)), затем крупье (ведущий игры, представитель казино) закручивает барабан и запускает шарик. Номер, на котором останавливается шарик, становится выигрышным. Если игрок поставил на выигрышный номер, то он получает сумму в 35 раз больше сделанной им ставки. Казино (часто в лице крупье) выдает ему выигрыш. Если игрок не угадал номер, его ставку получает крупье (казино). Прочитайте отрывок из рассказа Джека Лондона «Смок Беллью» и ответьте на вопросы.

«— Чует мое сердце, что мне сегодня повезет. Поставь лучше этот доллар на рулетку.

Они подошли к стоявшему возле буфета столу с рулеткой.

— Подожди, пока я не скажу, — посоветовал Малыш.

— На какой номер? — спросил Смок.

— На какой хочешь. Но не ставь, пока я не скажу.

— Надеюсь, ты не будешь меня убеждать, что за этим столом у нас больше шансов, — сказал Смок.

— У нас столько же шансов, сколько у нашего соседа.

— Но меньше, чем у крупье».

Прав ли Малыш, что шансы (вероятность выиграть) у всех игроков за столом одинакова?

Верно ли, что математическое ожидание выигрыша у казино выше, чем у любого игрока?

Задача 8.1.10.* В рулетке игрок делает ставку на один из 38 номеров (номера – это числа от 1 до 36, 0 (или зеро) и 00 (или «двойной ноль»)), затем крупье (ведущий игры, представитель казино) закручивает барабан и запускает шарик. Номер, на котором останавливается шарик, становится выигрышным. Если игрок поставил на выигрышный номер, то он получает сумму в 35 раз больше сделанной им ставки. Казино (часто в лице крупье) выдает ему выигрыш. Если игрок не угадал номер, его ставку получает крупье (казино). Прочитайте отрывок из рассказа Джека Лондона «Смок Беллью» и ответьте на вопросы.

Смок: «Я внимательно следил за выигрышами. Случайно я дважды отметил, где остановился шарик, когда вначале против него был номер девять. Оба раза выиграл двадцать шестой. Тогда я стал изучать и другие случаи. Если напротив находится двойной ноль —— выигрывает тридцать второй. А для того чтобы выиграть на двойной ноль, необходимо, чтобы напротив было одиннадцать. Это случается не всегда, но обычно».

Стол, за которым Смок играл в рулетку, стоял близко к огню, поэтому барабан покоробился.

Допустим, что Смок в половине случаев верно предсказывал выигрышный номер до запуска барабана. Каково математическое ожидание выигрыша у Смока?

Задача 8.1.11. * Кот Базилио устроил лотерею. Лотерейный билет стоит 1 сольдо, и на каждом билете напечатаны буквы слова БУРАТИНО в случайном порядке, каждая два раза – всего шестнадцать букв. Каждая буква скрыта под непрозрачной краской. Участник лотереи должен стереть краску ровно с восьми букв. Если из восьми открытых букв можно сложить слово БУРАТИНО, то участник выигрывает билет на премьеру в театр Карабаса. Если же каких-то букв не хватает, то участник не получает ничего. Порядок букв в каждом лотерейном билете случаен и не зависит от других билетов. Билеты выигравшим участникам Базилио оплачивает из собранных средств: он платит Карабасу по 10 сольдо за билет. Всего было выпущено 10000 лотерейных билетов, и все они были раскуплены. Найдите математическое ожидание прибыли Базилио от распространения лотерейных билетов. Ответ округлите до целого числа сольдо.

Задача 8.1.12. ** В кинотеатре установлен игровой автомат «Кран» с мягкими игрушками. Игрок платит 50 рублей и получает одну попытку захватить мягкую игрушку с помощью манипулятора. Если попытка удачная, то игрок забирает игрушку. Васе очень понравился розовый слон. Вероятность захватить слона 0,02. Сколько Вася должен попросить денег у мамы, чтобы вытащить слона с вероятностью не менее 0,95 (стоимость такого же розового слона в соседнем магазине составляет 800 рублей)?