хуила. Семинар 10. Интерференция квазимонохрома тического света. Временная когерентность. Вид ность картины
 Скачать 216.05 Kb.
|
|
Семинар № 10. Интерференция квазимонохрома- тического света. Временная когерентность. Вид- ность картины. Цель: Расчет структуры светового поля и анализ схем наблюдения двух- лучевой интерференции в случае квазимонохроматического света. Анализ функции видности для квазимонохроматического света. Оценка времени и дли- ны когерентности. 1.1 Краткая теория Монохроматический свет является идеализацией и в реальности можно по- лучить только квазимонохроматический свет. В этом случае в спектре излу- чения будут при сутствовать различные длины волн. Для того, чтобы най- ти распределение интенсивности в случае квазимонохроматического источника, рассмотрим сначала результат наложения интерференционных картин от двух монохроматических источников одинаковой интенсивности 𝐼 0 Наложение двух пучков с разными длинами волн не приводит к интерферен- ции, поэтому для нахождения результирующей интенсивности при наложении интерференционных картин от рассматриваемых источников нужно просто сло- жить интенсивности каждой волны в искомой точке картины: 𝐼 = 𝐼 1 + 𝐼 2 = 𝐼 01 (1 + cos 𝑘 1 ∆) + 𝐼 02 (1 + cos 𝑘 2 ∆) = 𝐼 0 (2 + cos 𝑘 1 ∆ + cos 𝑘 2 ∆) = = 2𝐼 0 (︂ 1 + cos (︂ 𝑘 1 − 𝑘 2 2 ∆ )︂ · cos (︂ 𝑘 1 + 𝑘 2 2 ∆ )︂)︂ −6 −4 −2 0 2 4 6 0 1 2 3 4 ∆/𝜆 1 𝐼 /𝐼 0 𝜆 1 𝜆 2 Сумма 1 Интерференционная картина «пропадает» или становиться неконтрастной, если медленно меняющийся косинус отображается в ноль, при этом интенсив- ность картины становится равной сумме интенсивностей падающих пучков. Впервые такой опыт осуществил Физо. Он пользовался желтым светом на- тровой горелки (в опыте Физо интерференционные полосы получались между двумя плоскопараллельными пластинками). Физо заметил, что при увеличении числа полос 𝑁 , прошедших в поле зрения, ухудшалась видимость полос. При 𝑁 = 490 видимость достигала минимума, затем она опять улучшалась; при 𝑁 = 980 полосы приобретали прежнюю отчетливость. Ближайший минимум наступал при 𝑁 = 1470, следующий максимум при 𝑁 = 1960 и т.д. Физо сумел заметить 52 таких максимумов. На этом основании он пришел к заключению, что желтая линия натрия — двойная, т.е. состоит из двух близко расположен- ных спектральных линий. Количественную функцию координаты описывающую контрастность назы- вают функцией видности интерференционной картины 𝑉 = 𝐼 𝑚𝑎𝑥 − 𝐼 𝑚𝑖𝑛 𝐼 𝑚𝑎𝑥 + 𝐼 𝑚𝑖𝑛 , та- кое описание ввел Майкельсон. Для двух монохроматических волн она равна cos (︂ 𝑘 1 − 𝑘 2 2 ∆ )︂ Квазимонохроматический свет, свет с узкой спектральной шириной — ∆𝜆 ≪ 𝜆 0 . Для квазимонохроматического света 𝑉 ≈ 1, если ∆ ≪ 𝑙 ког , ∆𝑘𝑙 ког ≈ 2𝜋, где 𝑙 ког — длина когерентности, аналогично ∆𝜔𝑡 ког = 2𝜋. Для немонохроматического света картина интерференции будет визуально различима при достаточной контрастности: 𝑉 > 0,1, или 𝐼 𝑚𝑖𝑛 𝐼 𝑚𝑎𝑥 6 0,82. При анализе картины немонохроматического света приходится вычислять интерференционную картину для каждой монохромы (длины волны) и, затем, складывать интенсивности этих картин. Рассмотрим случай не монохроматического источника, спектр которого представляет собой прямоугольник шириной ∆𝑘 = 𝑘 2 − 𝑘 1 . По определению спектра интенсивность источника равна площади под графиком спектра: 𝐼 0 = ∫︁ 𝑘 2 𝑘 1 𝑆 (𝑘) 𝑑𝑘. Тогда вклад в интерференцию участка спектра с волновым числом 𝑘 и ши- риной 𝑑𝑘 может быть записан как результат интерференции двух источников одинаковой интенсивности 𝐼 0 𝑘 2 −𝑘 1 𝑑𝑘: 𝑑𝐼 = 2 𝐼 0 𝑘 2 − 𝑘 1 𝑑𝑘 [1 + cos (𝑘∆)] . После интегрирования по волновому числу получаем: 𝐼 (∆) = 2𝐼 0 [︂ 1 + sinc (︂ 𝑘 2 − 𝑘 1 2 ∆ )︂ cos (︂ 𝑘 1 + 𝑘 2 2 ∆ )︂]︂ (1) 2 −6 −4 −2 0 2 4 6 0 1 2 3 4 ∆/𝜆 1 𝐼 /𝐼 0 В случае квазимонохроматического источника видность интерференционной картины обращается в ноль для разности хода ∆ 𝑐 при условии: 𝑘 2 − 𝑘 1 2 ∆ 𝑐 = 𝜋 ⇒ ∆ 𝑐 = 2𝜋 𝑘 2 − 𝑘 1 — (продольная) длина когерентности. (2) Используя связь 𝜔 = 𝑐𝑘, в условии ( 2 ) можно перейти к временному пред- ставлению и получить выражение для времени когерентности: 𝑘 2 − 𝑘 1 2 ∆ 𝑐 = 𝜔 2 − 𝜔 1 2𝑐 ∆ 𝑐 = 𝜔 2 − 𝜔 1 2 𝜏 𝑐 = 𝜋 ⇒ ⇒ 𝜏 𝑐 = ∆ 𝑐 𝑐 = 2𝜋 𝜔 2 − 𝜔 1 — время когерентности. (3) Таким образом, мы получили частный случай теоремы Винера-Хинчина для стационарных случайных процессов 𝑥 (𝑡) : ⟨𝑥 (𝑡)⟩ = 0, ⟨︀𝑥 2 (𝑡) ⟩︀ = ∫︀ ∞ 0 𝑆 (𝜔) 𝑑𝜔, корреляционная функция Γ (𝜏 ) и спектральная плотность 𝑆 (𝜔) связаны между собой преобразованием Фурье: Γ (𝜏 ) = 1 2 ∫︁ ∞ −∞ 𝑆 (𝜔) exp (𝑖𝜔𝜏 ) 𝑑𝜔, 𝑆 (𝜔) = 1 𝜋 ∫︁ ∞ −∞ Γ (𝜏 ) exp (−𝑖𝜔𝜏 ) 𝑑𝜏. (4) 3 1.2 Задачи 1. В опыте Майкельсона использует свет от источника, спектр излучения которого составляет две узкие линии 𝜆 1 и 𝜆 2 . Из интерферометра выходят два пучка одинаковой интенсивности 𝐼 0 и оптической разностью хода ∆. Как зави- сит интенсивность света на выходе от разницы хода ∆. 2. В опыте Майкельсона использует квазимонохроматический свет от источ- ника, спектр излучения которого составляет прямоугольник по форме ∆𝜆 ≪ 𝜆 0 Из интерферометра выходят два пучка одинаковой интенсивности 𝐼 0 и оптиче- ской разностью хода ∆. Как зависит интенсивность на выходе от разницы хода. 3. В опыте Майкельсона использует квазимонохроматический свет от ис- точника, спектр излучения которого составляет две прямоугольные линии 𝜆 1 и 𝜆 2 , ∆𝜆 ≪ 𝜆 1 , 𝜆 2 одинаковой ширины 𝛿𝜆 < 1 2 ∆𝜆. Из интерферометра выходят два пучка одинаковой интенсивности 𝐼 0 и оптической разностью хода ∆. Как зависит интенсивность света на выходе от разницы хода ∆. 4. Параллельный пучок света с длиной волны 𝜆 = 500 нм падает на бипризму с преломляющим углом 𝜙 = 10 −2 рад и шириной 𝐻 = 2 см, сделанную из стекла с показателем преломления 𝑛 = 1,5. Оценить допустимую немонохроматичность ∆𝜆/𝜆 света, при которой можно наблюдать все полосы. 1.3 Домашнее задание 5. В схеме Юнга щели освещаются квазимонохроматическим светом ∆𝜆 ≪ 𝜆. Найти распределение Интенсивности 𝐼(𝑥) и ширину интерференционной кар- тины ∆𝑋 на экране, если расстояние между щелями равно 𝑑, а расстояние от щелей до экрана равно 𝑙 ≫ 𝑑. 6. (Иродов 5.89) Свет с длиной волны 𝜆 = 0,55 мкм от удаленного точечного источника падает нормально на поверхность стеклянного клина. В отраженном свете наблюдают систему интерференционных полос, расстояние между сосед- ними максимумами которых на поверхности клина ∆𝑥 = 0,21 мм. Найти: а) угол между гранями клина; б) степень монохроматичности света (𝜆/∆𝜆), если исчезновение интерференционных полос наблюдается на расстоянии 𝑙 ≈ 1,5 см от вершины клина. 7. (Иродов 5.97) В двухлучевом интерферометре используется оранжевая линия ртути, состоящая из двух компонент с 𝜆 1 = 576,97 нм и 𝜆 2 = 579,03 нм. При каком наименьшем порядке интерференции четкость интерференционной картины будет наихудшей? 8. (Иродов 5.98) В интерферометре Майкельсона использовалась желтая ли- ния натрия, состоящая из двух компонент с длинами волн 𝜆 1 = 589,0 нм и 𝜆 2 = 589,6 нм. При поступательном перемещении одного из зеркал интерферен- ционная картина периодически исчезала. Найти перемещение зеркала между двумя последовательными появлениями наиболее четкой картины. 4 |