Интегралы Ито. Семинар 14. Интеграл Ито в прошлый раз мы определили интеграл по случайной ортогональной мере. В частно сти, рассматривая меру, порожденную процессом
 Скачать 141.72 Kb.
|
|
Семинар 14. Интеграл Ито В прошлый раз мы определили интеграл по случайной ортогональной мере. В частно- сти, рассматривая меру, порожденную процессом 𝑊 𝑡 по принципу 𝑀([𝑎, 𝑏]) = 𝑊 𝑏 − 𝑊 𝑎 , мы получим интеграл ∫︀ 𝑡 0 𝑓 (𝑠)𝑑𝑊 𝑠 , где 𝑓(𝑠) — измеримая неслучайная функция. Мы бы хотели определить аналогичную конструкция для случайного процесса 𝑓(𝑠). Если 𝑓 — интегрируема по Риману, то в соответствие с определением мы имеем ∫︁ 𝑡 0 𝑓 (𝑠)𝑑𝑊 𝑠 = lim 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝜆)→0 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑓 (˜ 𝑠 𝑖 )(𝑊 𝑠 𝑖 − 𝑊 𝑠 𝑖−1 ), где 𝜆 = (𝑠 𝑖 , ˜ 𝑠 𝑖 ) — отмеченное разбиение отрезка [0, 𝑡]. А можем ли мы аналогичным образом определить интеграл от случайной функции? Пример 1. Рассмотрим ∫︀ 𝑡 0 𝑊 𝑠 𝑑𝑊 𝑠 с помощью отмеченных разбиений, когда отмечена а) левая граница б) правая граница. Тогда в первом случае в силу независимости приращений 𝐸 𝑛 ∑︁ 𝑘=0 𝑊 ˜ 𝑠 𝑖 (𝑊 𝑠 𝑖 − 𝑊 𝑠 𝑖−1 ) = 𝑛 ∑︁ 𝑘=0 𝐸𝑊 ˜ 𝑠 𝑖 𝐸(𝑊 𝑠 𝑖 − 𝑊 𝑠 𝑖−1 ) = 0. Во втором 𝐸 𝑛 ∑︁ 𝑘=0 𝑊 ˜ 𝑠 𝑖 (𝑊 𝑠 𝑖 − 𝑊 𝑠 𝑖−1 ) = 𝑛 ∑︁ 𝑘=0 𝐸(𝑊 𝑠 𝑖 − 𝑊 𝑠 𝑖−1 ) 2 = 𝑡. Таким образом, определение интеграла от случайной функции будет существенно зави- сеть от выбора отмеченного разбиения. В связи с этим, строя интеграл от случайной функции, мы будем вынуждены ограни- чивать спектр рассматриваемых простых случайных функций. Зададим на нашем вероятностном пространстве броуновское движение 𝑊 𝑡 и введем класс 𝒱 случайных процессов следующим образом: 1) ∀𝑋 𝑠 ∈ 𝒱 𝑋 𝑠 адаптирован к 𝑊 𝑠 . Под адаптированностью мы понимаем следующее: 𝑋 𝑠 является ℱ 𝑠 = 𝜎(𝑊 𝑟 , 𝑟 ≤ 𝑠) -измеримой величиной при любом 𝑠. 2) ∀𝑋 𝑠 ∈ 𝒱 𝐸 ∫︀ 𝑡 0 𝑋 2 𝑠 𝑑𝑠 при каждом 𝑡. Теперь определим интеграл от случайного процесса 𝑋 𝑡 ∈ 𝒱 следующим образом: 1) Для простой 𝑌 𝑡 (𝜔) = ∑︀ 𝑛 𝑗=1 𝑓 𝑗 (𝜔)𝐼 𝑡∈[𝑡 𝑗 ,𝑡 𝑗+1 ) , где 𝑡 𝑗 разбиение отрезка [0, 𝑡], а 𝑓 𝑗 ℱ 𝑡 𝑗 - измеримы при каждом 𝑗, положим ∫︁ 𝑌 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 = 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑓 𝑗 (𝜔)(𝑊 𝑡 𝑗+1 − 𝑊 𝑡 𝑗 ). При этом 𝐸 (︂∫︁ 𝑏 𝑎 𝑌 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 )︂ 2 = 𝐸 (︂∫︁ 𝑏 𝑎 𝑌 2 𝑡 𝑑𝑡 )︂ Действительно, 𝐸 (︃ 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑓 𝑗 (𝜔)(𝑊 𝑡 𝑗+1 − 𝑊 𝑡 𝑗 ) 2 )︃ = 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝐸𝑓 2 𝑗 (𝜔)(𝑡 𝑗+1 − 𝑡 𝑗 ) = 𝐸 (︂∫︁ 𝑡 0 𝑌 2 𝑡 𝑑𝑡 )︂ 2) Теперь для равномерно ограниченной 𝑋 𝑡 ∈ 𝒱 c непрерывными траекториями рассмот- рим последовательность простых 𝑌 𝑡,𝑛 (𝜔) ∈ 𝒱 , сходящихся к 𝑋 𝑡 в 𝐿 2 (𝑃 ) . В качестве них можно использовать 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑋 𝑡 𝑗 𝐼 𝑡∈[𝑡 𝑗 ,𝑡 𝑗+1 ] Соответственно, положим интеграл ∫︀ 𝑡 0 𝑋 𝑠 𝑑𝑊 𝑠 равным пределу ∫︀ 𝑡 0 𝑌 𝑠,𝑛 𝑑𝑊 𝑠 3) Для любой равномерно ограниченной 𝑋 𝑡 ∈ 𝒱 найдется последовательность сл. про- цессов 𝑋 𝑡,𝑛 , рассматриваемых в 2), сходящихся к 𝑋 𝑡 в 𝐿 2 (𝑃 ) Построить их можно, взяв 𝑋 𝑡,𝑛 = ∫︁ 𝑡 0 𝜓 𝑛 (𝑠 − 𝑡)𝑋 𝑠 𝑑𝑠, где 𝜓 𝑛 (𝑠) — непрерывная функция с носителем [−1/𝑛, 0] и интегралом 1. 4) Для произвольной 𝑋 𝑡 ∈ 𝒱 приблизим ее 𝑋 𝑡,𝑛 = 𝑋 𝑡 𝐼 |𝑋 𝑡 |≤𝑛 + 𝑛𝐼 𝑋 𝑡 >𝑛 − 𝑛𝐼 𝑋 𝑡 <−𝑛 При этом сохранится свойство изометричности 𝐸 (︂∫︁ 𝑏 𝑎 𝑋 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 )︂ 2 = 𝐸 (︂∫︁ 𝑏 𝑎 𝑋 2 𝑡 𝑑𝑡 )︂ Благодаря нему, как и раньше, мы не испытаем никаких проблем, связанных с переходом от 1) к 2) и так далее. Полученный интеграл называют интегралом Ито, а описанную выше изометрию — изометрией Ито. Сформулируем некоторые его свойства: 1) ∫︀ 𝑏 𝑎 𝑋 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 + ∫︀ 𝑏 𝑎 𝑌 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 = ∫︀ 𝑏 𝑎 (𝑋 𝑡 + 𝑌 𝑡 )𝑑𝑊 𝑡 2) ∫︀ 𝑏 𝑎 𝑋 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 + ∫︀ 𝑐 𝑏 𝑋 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 = ∫︀ 𝑐 𝑎 𝑋 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 3) ∫︀ 𝑏 𝑎 𝑋 𝑛,𝑡 𝑑𝑊 𝑡 → ∫︀ 𝑏 𝑎 𝑋 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 , если 𝐸(∫︀ 𝑏 𝑎 (𝑋 𝑛,𝑡 − 𝑋 𝑡 ) 2 𝑑𝑡) → 0 , 𝑛 → ∞. 4) 𝐸 ∫︀ 𝑏 𝑎 𝑋 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 = 0 5) ∫︀ 𝑡 0 𝑋 𝑠 𝑑𝑊 𝑠 является ℱ 𝑡 -измеримым. 6) (𝑌 𝑡 = ∫︀ 𝑡 0 𝑋 𝑠 𝑑𝑊 𝑠 ,ℱ 𝑡 ) — мартингал. Докажем последнее свойство. 𝐸(𝑌 𝑡 − 𝑌 𝑠 |𝑌 𝑠 ) = 𝐸( ∫︁ 𝑡 𝑠 𝑋 𝑠 𝑑𝑊 𝑠 |𝑌 𝑠 ) = 𝐸 ∫︁ 𝑡 𝑠 𝑋 𝑠 𝑑𝑊 𝑠 = 0, что и т.д. 7) Из мартингальности можно вывести, что процесс 𝑌 𝑡 = ∫︀ 𝑡 0 𝑋 𝑠 𝑑𝑊 𝑠 можно рассматривать таким, что почти все его траектории будут непрерывными. 2 Мартингальность интеграла Ито — следствие выбора левой точки в отмеченном разби- ении. Будем говорить, что процесс 𝑋 𝑡 удовлетворяет уравнению 𝑑𝑋 𝑡 = 𝑎(𝑡, 𝜔)𝑑𝑡 + 𝜎(𝑡, 𝜔)𝑑𝑊 𝑡 , если 𝑋 𝑡 = 𝑋 0 + ∫︁ 𝑡 0 𝑎(𝑠, 𝜔)𝑑𝑠 + ∫︁ 𝑡 0 𝜎(𝑠, 𝜔)𝑑𝑊 𝑠 , где 𝑎, 𝜎 ∈ 𝒱. 𝑋 𝑡 называется диффузионным процессом со сносом 𝑎 и коэффициентом диффузии 𝜎. Оборотной стороной выбора левой точки является ухудшение формулы дифференци- рования сложной функции Пример 2. Найдем ∫︀ 𝑡 0 𝑊 𝑠 𝑑𝑊 𝑠 . Если бы выполнялась привычная формула 𝑑(𝑊 𝑡 ) 2 = 2𝑊 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 , то есть ∫︀ 𝑡 0 𝑊 𝑠 𝑑𝑊 𝑠 = 𝑊 2 𝑠 /2 . Однако, в нашем случае это не так. Рассмотрим 2 𝑛−1 ∑︁ 𝑖=0 𝑊 𝑡 𝑖 (𝑊 𝑡 𝑖+1 − 𝑊 𝑡 𝑖 ) = (︃ 𝑛−1 ∑︁ 𝑖=0 (𝑊 𝑡 𝑖+1 − 𝑊 𝑡 𝑖 ) )︃ 2 − 𝑛−1 ∑︁ 𝑖=0 (︀𝑊 𝑡 𝑖+1 − 𝑊 𝑡 𝑖 )︀ 2 Отсюда 2 ∫︀ 𝑡 0 𝑊 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 = 𝑊 2 𝑡 − lim ∑︀ 𝑛−1 𝑖=0 (︀𝑊 𝑡 𝑖+1 − 𝑊 𝑡 𝑖 )︀ 2 . При этом 𝐸 𝑛−1 ∑︁ 𝑖=0 (︀𝑊 𝑡 𝑖+1 − 𝑊 𝑡 𝑖 )︀ 2 = 𝑡, 𝐷 𝑛−1 ∑︁ 𝑖=0 (︀𝑊 𝑡 𝑖+1 − 𝑊 𝑡 𝑖 )︀ 2 = 𝑛−1 ∑︁ 𝑖=0 𝐷 (︀𝑊 𝑡 𝑖+1 − 𝑊 𝑡 𝑖 )︀ 2 → 0, откуда ∑︀ 𝑛−1 𝑖=0 (︀𝑊 𝑡 𝑖+1 − 𝑊 𝑡 𝑖 )︀ 2 → 𝑡 . Итоговый ответ ∫︁ 𝑡 0 𝑊 𝑠 𝑑𝑊 𝑠 = 𝑊 2 𝑠 2 − 𝑠 2 В общем виде верна следующая формула Ито. Если 𝑑𝑋 𝑡 = 𝑎(𝑡, 𝜔)𝑑𝑡 + 𝜎(𝑡, 𝜔)𝑑𝑊 𝑡 , а 𝑔(𝑡, 𝑠) ∈ 𝐶 2 (R + × R), то 𝑑𝑔(𝑡, 𝑋 𝑡 ) = 𝜕𝑔 𝜕𝑡 (𝑡, 𝑋 𝑡 )𝑑𝑡 + 𝜕𝑔 𝜕𝑠 𝑑𝑋 𝑡 + 1 2 𝜕 2 𝑔 𝜕𝑠 2 𝜎(𝑡, 𝜔) 2 𝑑𝑡. Неформально, квадратичные члены (𝑑𝑊 𝑡 ) 2 не являются малыми, а дают член порядка 𝑑𝑡 Пример 3. Рассмотрим 𝑋 𝑠 = 𝑊 𝑠 , 𝑔(𝑋 𝑠 ) = 𝑊 2 𝑠 . Тогда 𝑑𝑔(𝑋 𝑠 ) = 2𝑊 𝑠 𝑑𝑊 𝑠 + 1 2 2𝑑𝑠 , откуда имеем предыдущую формулу. Пример 4. Найти ∫︀ 𝑡 0 𝑓 (𝑠)𝑑𝑊 𝑠 , где 𝑓 ∈ 𝐶 1 . Для этого запишем 𝑑(𝑓(𝑠)𝑊 𝑠 ) = 𝑊 𝑠 𝑓 ′ (𝑠)𝑑𝑠+ 𝑓 (𝑠)𝑑𝑊 𝑠 , откуда ∫︁ 𝑡 0 𝑓 (𝑠)𝑑𝑊 𝑠 = 𝑊 𝑡 𝑓 (𝑡) − ∫︁ 𝑡 0 𝑊 𝑠 𝑓 ′ (𝑠)𝑑𝑠. Пример 5. Рассмотрим процесс 𝑋 𝑡 размножения, устроенный следующим образом — частиц много, каждая размножается с интенсивностью 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, к тому же броуновское 3 движение 𝑊 𝑡 влияет на размножение с коэффициентом диффузии 𝜎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Иначе говоря, 𝑑𝑋 𝑡 = 𝑎𝑋 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑋 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 . Найдем отсюда 𝑋 𝑡 . Будем искать его в виде 𝑔(𝑡, 𝑊 𝑡 ) Тогда 𝑑𝑋 𝑡 = (︂ 𝜕𝑔 𝜕𝑡 + 1 2 𝜕 2 𝑔 𝜕𝑠 2 )︂ 𝑑𝑡 + 𝜕𝑔 𝜕𝑠 𝑑𝑊 𝑡 , откуда 𝜕𝑔 𝜕𝑡 + 1 2 𝜕 2 𝑔 𝜕𝑠 2 = 𝑎𝑔, 𝜕𝑔 𝜕𝑠 = 𝜎𝑔. Из второго уравнения 𝑔(𝑠) = 𝐶(𝑡) exp(𝜎𝑠), из первого уравнения 𝐶 ′ (𝑡) + 𝜎 2 2 𝐶(𝑡) = 𝑎𝐶(𝑡), 𝐶(𝑡) = 𝐶 exp((𝑎 − 𝜎 2 /2)𝑡), откуда 𝑋 𝑡 = 𝐶 exp((𝑎 − 𝜎 2 /2)𝑡 + 𝜎𝑠). 14.1.1 Найти процесс 𝑋 𝑡 : (1 + 𝑡)𝑑𝑋 𝑡 = −𝑋 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑑𝑊 𝑡 14.2.1 Найти процесс 𝑋 𝑡 : 𝑑𝑋 𝑡 = (𝑋 𝑡 𝑊 −2 𝑡 + 2𝑊 𝑡 )𝑑 𝑡 + 2𝑡𝑊 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 14.3.1 Показать, что 𝑋 𝑡 = ∫︀ 𝑡 0 𝑠𝑔𝑛𝑊 𝑠 𝑑𝑊 𝑠 является мартингалом, 𝑋 2 𝑡 − 𝑡 является мар- тингалом и 𝑋 0 = 0 (на самом деле, из этого следует, что он броуновское движение). 14.1.2 Решить систему 𝑑𝑋 𝑡 = 0.5𝑋 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑌 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 , 𝑑𝑌 𝑡 = 0.5𝑌 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑋 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 14.2.2 Решить систему 𝑑𝑋 𝑡 = −0.5𝑋 𝑡 𝑑𝑡 − 𝑌 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 , 𝑑𝑌 𝑡 = −0.5𝑌 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑋 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 14.3.2 Решить уравнение 𝑑𝑋 𝑡 = −0.5𝑋 𝑡 𝑑𝑡 + √︀ 1 − 𝑋 2 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 4 |