Итог1. Шпаргалка по производительности 3 Основная формула задач на работу
 Скачать 1.1 Mb.
|
|
ЗАДАНИЕ 11. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ 1) Основная формула (Работа = Производительность ∙ Время): Производительность – это работа в единицу времени. Производительность можно иначе назвать скоростью выполнения работы. Сколько сделано в час. 1) Один процент – это одна сотая часть чего-либо. 2) За 100% принимается та величина, с которой сравниваем. 3) Если величину x увеличить на p процентов, получим: 4) Если величину x увеличить на p процентов, а затем уменьшить на p процентов, получим: Если величину x дважды увеличить на p процентов, получим Если величину x дважды уменьшить на p процентов, получим 2) В качестве переменных удобно выбирать производительности. 3) Составляем таблицу: производительность, время, работа. Записываем в неё данные условия. 4) При совместной работе производительности складываются. 5) Если работа не дана и не важна по условию, принимаем ее за 1. ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ ЗАДАЧИ НА РАБОТУ 1 1) Концентрация раствора – это отношение объема вещества к объему раствора. Или – отношение массы вещества к массе раствора. Концентрацию часто выражают в процентах. 2)Составляем таблицу: концентрация, масса. Записываем в неё данные условия. 3)Поскольку химических превращений не происходит, масса вещества в начале и в конце должна быть одинаковой. 4) Составляем и решаем уравнение. ЗАДАЧИ НА СПЛАВЫ, СМЕСИ, РАСТВОРЫ ЗАДАЧИ НА АРИФМЕТИЧЕСКУЮ И ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ПРОГРЕССИИ 2 ШПАРГАЛКА ПО ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ 3 Основная формула задач на работу 𝑃 = 𝐴 𝑡 производительность = работа время Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени (например, за час или за день). Задачи на работу – это то же самое, что и задачи на движение. По-другому, скорость выполнения работы. Как у тебя дела с физикой? В физике эта величина называется мощностью. Как и в задачах на движение, нам нужно уметь выражать все эти три величины друг через друга: 𝑃 = 𝐴 𝑡 𝑡 = 𝐴 𝑃 𝐴 = 𝑃 ⋅ 𝑡 ПРИМЕР: Заказ на 112 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа дольше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий, если известно, что второй за час делает на одну деталь больше, чем первый? I способ. С помощью таблицы. Решение: Пусть производительность первого равна x (ее нам и нужно найти). Тогда второго - (x+1). Если первый сделал заказ за время t, тогда второй – за время t−2. Работа равна 112. Работа A Производительность P Время t I рабочий 112 x t II рабочий 112 x+1 t−2 Для каждой строки можем написать формулу: 𝑰. 𝑃 = 𝐴 𝑡 ⇔ 𝑥 = 112 𝑡 ⇒ 𝑡 = 112 𝑥 𝑰𝑰. 𝑃 = 𝐴 𝑡 ⇔ 𝑥 + 1 = 112 𝑡 − 2 ⇒ 𝑡 − 2 = 112 𝑥 + 1 ⇒ 𝑡 = 112 𝑥 + 1 + 2 Теперь достаточно просто приравнять полученные выражения для t: 112 𝑥 = 112 𝑥 + 1 + 2 ⇔ 2𝑥 𝑥 + 1 + 112𝑥 − 112 𝑥 + 1 𝑥 𝑥 + 1 = 0 ⇔ ⇔ ቐ 𝑥 2 + 𝑥 − 56 = 0 𝑥 ≠ 0 𝑥 ≠ −1 ⇔ ቈ 𝑥 = 7 𝑥 = −8 Из этих двух ответов, естественно, выбираем положительный: x=7. II способ. Без таблицы. Сразу составить уравнение. Решение: Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять. Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно. Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго. Напомню, что первый работал на 2 часа дольше, поэтому к времени второго надо будет прибавить 2: 112 𝑥 = 112 𝑥 + 1 + 2 То же самое уравнение, что и в первом способе, только без таблицы и системы уравнений. СРАВНИМ задачи на работу и на движение. Движение Работа 𝑣 = 𝑆 𝑡 𝑃 = 𝐴 𝑡 Скорость движения Скорость выполнения работы, т.е. производительность Пройденный путь Выполненная работа Потраченное на движение время Потраченное на работу время ЗАДАЧА Расстояние 112 км первый велосипедист проезжает на 2 часа дольше, чем второй. Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый? Ничего не напоминает? Мы просто заменили слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же. Пусть скорость первого x, тогда второго x+1. Сколько времени едет первый? 112x. Сколько времени едет второй? 112x+1. На сколько время первого больше, чем второго? На 2 часа: 112 𝑥 = 112 𝑥 + 1 + 2 То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же. 4 ЗАДАЧИ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.). ПРИМЕР Первая труба заполняет бассейн за 6 часов, а вторая – за 4. За какое время они заполнят бассейн, работая вместе? Решение Во-первых, давай придумаем аналогию с движением. Придумал? Бассейн – это путь. Допустим, из A в B. Итак, первый автомобиль проезжает путь AB за 6 часов, второй – за 4. А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь, двигаясь вместе? Бред. Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу! Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся. Каковы «скорость» (производительность) первого и второго? Путь (работа) деленный на время: 𝑃 1 = 𝐴 𝑡 1 = 𝐴 6 𝑃 2 = 𝐴 𝑡 2 = 𝐴 4 С какой производительностью работают две трубы вместе? Берем количество литров, которое налила в бассейн первая труба за один час, прибавляем количество литров, которое налила в бассейн вторая труба за один час, – именно столько наливают в бассейн обе трубы за один час. То есть производительности складываются: 𝑃 = 𝑃 1 + 𝑃 2 То же самое, что и относительная скорость: с какой скоростью второй автомобиль приближается к первому? Со скоростью, равной сумме скоростей: 𝑣 = 𝑣 1 + 𝑣 2 . Итак, 𝑃 = 𝑃 1 + 𝑃 2 = 𝐴 6 + 𝐴 4 = 5𝐴 12 Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа A: 𝑡 = 𝐴 𝑃 = 𝐴 5 𝐴12 = 12 5 = 2,4 ч Итак, ПРАВИЛО: <<При совместной работе производительности складываются>> 5 1. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ 1) Основная формула (Расстояние = Скорость ∙ Время): 𝑆 = 𝑣 ∙ 𝑡 2)В качестве переменных лучше всего выбирать скорости. 3)Составляем таблицу: скорость, время, расстояние. Записываем в таблицу все известные величины. 4)Составляем уравнение. 5) Решаем уравнение. Или сразу подбираем целый положительный корень. Средняя скорость находится по формуле: 𝑉 ср = 𝑆 общ 𝑡 общ = 𝑆 1 + 𝑆 2 𝑆 1 𝑉 1 + 𝑆 2 𝑉 2 S Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике – это несколько типов текстовых задач. Условия и «сюжеты» могут быть разными. При этом в каждой из них нужно построить математическую модель (обозначить какие-либо величины за переменные, составить уравнение и решить его). V A B 𝑽 𝒕 𝑺 𝑨 → 𝑩 𝑥 100 𝑥 100 𝑩 → 𝑨 𝑥 + 5 100 𝑥 + 5 100 𝟏𝟎𝟎 𝒙 − 𝟏𝟎𝟎 𝒙 + 𝟓 = 𝟏 𝒙 = 𝟐𝟎 2. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ Формула 𝑆 = 𝑣 ∙ 𝑡 работает и в этом случае. Здесь 𝑆 – расстояние, 𝑣 – скорость, 𝑡 – время. Секрет задач на движение по окружности: тот, кто обгоняет, проезжает на 1 круг больше, если это первый обгон. И на n кругов больше, если обогнал другого в n-ый раз. ШПАРГАЛКА ПО ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ 6 3. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ ПРОТЯЖЁННЫХ ТЕЛ. Да, это те самые задачи, где поезд проходит через туннель. Или проезжает мимо платформы. И нам нужно учитывать длину поезда. Есть еще задачи на встречное движение или обгон. Например, два поезда движутся навстречу друг другу (конечно, по параллельным путям), или один поезд обгоняет другой. Такие задачи удобно решать в движущейся системе отсчета. ЗАДАЧА: Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 500 метров, за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах. 36 секунд, за которые поезд проезжает мимо лесополосы, — это время от момента, когда голова поезда поравнялась с началом лесополосы, до момента, когда хвост поезда поравнялся с концом лесополосы. За это время поезд проезжает расстояние, равное сумме собственной длины и длины лесополосы. Переведем 36 секунды в часы. 36с = 36 60 мин = 36 3600 ч = 1 100 ч За это время поезд проехал 𝑆 = 𝑣 ∙ 𝑡 = 80 ∙ 1 100 = 0,8 км = 800 м 𝑙 поезда = 𝑆 − 𝑙 лесополосы = 800 − 500 = 300 м Ответ: 300 7 |