Сидоренко Мат мод. Сидор е н ко контрольная работа
 Скачать 430.57 Kb.
|
|
Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Омский государственный университет путей сообщения Контрольные работы №1, 2, 3, 4 по дисциплине Дополнительные главы математического моделирования Выполнил студент магистратуры группы 70-МТ Сидоренко А.А. Проверил Доцент кафедры ВМ Петрова Л.С. Омск 2022 2 СИДОР Е Н КО Контрольная работа № 1 Вариант №3 Расчет пространственного распределения потенциала электрического поля в полосковой линии Задание. Рассчитать пространственное распределение потенциала электрического поля в полосковой линии с заданными значениями относительных диэлектрических проницаемостей диэлектриков 𝜀 1 = 3,7, 𝜀 2 = 11,4, расположенных ниже и выше плоскости раздела 𝑦 = 𝑌 1,2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, с учетом параметров ℎ/𝑎 = 0,4, 𝑤/ℎ = 1. Написать программу для численного решения поставленной задачи в системе с использованием трехслойной неявной разностной схемы и применением формул для метода последовательной верхней релаксации в случае равномерной сетки и с поперечным сечением в форме квадрата. Решение Конструкция полосковой линии (ПЛ) включает металлический проводник (полоска) шириной 𝑤 и толщиной 𝑡 лежит на обеспечивающей жесткость конструкции подложке толщиной ℎ, выполненной из однородного диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью 𝜀 2 . С внешней стороны подложка покрыта слоем металла (экраном. Поперечное сечение ПЛ приведено на рисунке 1.1. Рисунок 1.1 – Поперечное сечение полосковой линии 3 Цифрами обозначены 1 – полоска, 2 – подложка, 3 – экран. Для построения конечно-разностной схемы в приведенное выше двухмерное уравнение Лапласа подставляются аппроксимации вторых производных учетом равномерности сетки и получают разностное уравнение вида 𝜑 𝑖−1,𝑗 + 𝜑 𝑖+1,𝑗 + 𝜑 𝑖,𝑗−1 + 𝜑 𝑖,𝑗+1 − 4𝜑 𝑖,𝑗 = 0 (Для потенциалов точек, лежащих на границах раздела подобластей (рис. 1.2), необходимо использовать уравнение связи узловых потенциалов. В частности, если узловые точки расположены на параллельной оси x границе двух сред с диэлектрическими проницаемостями 𝜀 1 и 𝜀 3 , а сетка является равномерной, то 𝜀 4 = 𝜀 3 , 𝜀 2 = 𝜀 1 . В этом случае уравнение связи узловых потенциалов имеет вид 𝜀 13 𝜑 𝑖−1,𝑗 + 𝜀 13 𝜑 𝑖+1,𝑗 + 𝜀 1 𝜑 𝑖,𝑗−1 + 𝜀 3 𝜑 𝑖,𝑗+1 − 4𝜀 13 𝜑 𝑖,𝑗 = 0 (1.2) 𝜀 13 = 𝜀 1 + 𝜀 3 2 (1.3) Рисунок 1.2. Сетка с узловыми точками, лежащими на границах диэлектриков Аналогично, для параллельной оси y границы раздела диэлектриков с проницаемостями 𝜀 2 и 𝜀 4 имеем 𝜀 4 𝜑 𝑖−1,𝑗 + 𝜀 2 𝜑 𝑖+1,𝑗 + 𝜀 24 𝜑 𝑖,𝑗−1 + 𝜀 24 𝜑 𝑖,𝑗+1 − 4𝜀 24 𝜑 𝑖,𝑗 = 0 (1.4) 𝜀 24 = 𝜀 2 + 𝜀 4 2 (1.5) В итерационную формулу метода последовательной релаксации вносится соответствующая корректировка для точек, принадлежащих границам раздела слоев диэлектрика. Например, исходя из конечно-разностного уравнения, нетрудно заключить, что итерации следует проводить по формуле 4 𝜑 𝑖,𝑗 𝑝+1 = (1 − 𝜔)𝜑 𝑖,𝑗 𝑝 + 𝜔 4 (𝜑 𝑖−1,𝑗 𝑝+1 + 𝜑 𝑖+1,𝑗 𝑝 + 𝜑 𝑖,𝑗−1 𝑝+1 + 𝜑 𝑖,𝑗+1 𝑝 ) (Потенциалы лежащих на границе раздела двух диэлектриков узловых точек методом последовательной верхней релаксации уточняются по формуле 𝜑 𝑖,𝑗 𝑝+1 = (1 − 𝜔)𝜑 𝑖,𝑗 𝑝 + 𝜔 4𝜀 13 (𝜀 13 𝜑 𝑖−1,𝑗 𝑝+1 + 𝜀 13 𝜑 𝑖+1,𝑗 𝑝 + 𝜀 1 𝜑 𝑖,𝑗−1 𝑝+1 + 𝜀 3 𝜑 𝑖,𝑗+1 𝑝 ) (Определим значения величин, входящих в программу расчета. Примем количество горизонтальных отрезков (𝑁 = 100). Тогда количество вертикальных отрезков 𝑦 = 𝑁 ∗ ℎ 𝑎 = 100 ∗ 0,4 = 40 𝑘 = 𝑁 2 ± 𝑤 2ℎ 𝑦 = 50 ± 1 2 ∗ 40 = 30 … Записываем начальные данные в Mathcad 15: Программа для численного решения уравнения Лапласа в двумерной области имеет вид 5 Результаты расчёта представлены на рисунке 1.3. 6 Рисунок 1.3 – Результаты расчётов программы 7 Контрольная работа № 2 Вариант №10 Температурное поле в процессе охлаждения неограниченной пластины Задание. Пластина толщиной 2𝑅 = 0,34 мс начальной температурой н 42 С охлаждается в среде с температурой ж 6 С. Вычислить температуру поверхности си температуру центра ц через время 𝜏 = 10 ч после начала охлаждения. Коэффициент теплоотдачи теплообмена 𝛼 = 9,304 Вт/(м 2 ∗ К, коэффициент теплопроводности 𝜆 = 0,4652 Вт/(м ∗ К, коэффициент температуропроводности м 2 /ч. Написать программу для численного решения поставленной задачи в системе MathCAD методом сеток и с применением встроенных функций. Решение Задача о симметричном нестационарном охлаждении пластины с постоянной температурой на её поверхности и при постоянном коэффициенте теплоотдачи. Дана пластина толщиной 2R. Если толщина пластины мала по сравнению с длиной и шириной, то такую пластину обычно считают неограниченной. Вначале процесса охлаждения температура по всему объему пластины была одинаковой и равной н. течение всего процесса на её поверхности поддерживается постоянная температура с ж. Требуется определить температуру 𝑡(𝑥, 𝜏) в любой точке в любой момент времени 𝜏. В данной задаче используем обозначение 𝑡(𝑥, 𝜏) – температура. При заданных условиях охлаждения задача становится симметричной и начало координат удобно поместить на оси пластины. Составление математической модели в условиях, когда на поверхности пластины происходит конвективный теплообмен, приводит к смешанной задаче для уравнения теплопроводности с граничными условиями третьего рода. Необходимо найти функцию 𝑡(𝑥, 𝜏) ), удовлетворяющую следующим условиям 8 г х, 𝜏 > 0, −0,17 < 𝑥 < 0,17 𝑡(𝑥, 0) = 42, −0,17 < 𝑥 < 0,17 х, 𝜏) = − 9,304 0,4652 [𝑡(0,17, 𝜏) − 1], 𝜏 ≥ 0 х, 𝜏) = 9,304 0,4652 [𝑡(−0,17, 𝜏) − 1], 𝜏 ≥ 0 (Условие 4 х, 𝜏) = 𝛼 𝜆 [𝑡(−𝑅, 𝜏) − ж (2.2) заменим уравнением х, 𝜏) = 0 (характеризует отсутствие теплового потока на оси пластины, следует из симметрии температурного поля) Для получения численного решения поставленной задачи в системе MathCAD с реализацией метода сеток используем двухслойную явную схему. При описании процедуры расчета значений функции на верхнем временном слое применяем следующие формулы. Формула для вычисления значений сеточной функции 𝑡 𝑖 𝑗+1 = 𝐶(𝑡 𝑖−1 𝑗 + 𝑡 𝑖+1 𝑗 ) + (1 − 2𝐶)𝑡 𝑖 𝑗 (2.3) где 𝐶 – число Куранта 𝐶 = 𝑎𝑘 ℎ 2 (Формула для определения значений температуры на левой границе (в точке 𝑥 0 ) 𝑡 0 𝑗+1 = 2𝐶𝑡 1 𝑗 + (1 − 2𝐶)𝑡 0 𝑗 (Формула для определения значений температуры на правой границе (в точке 𝑥 𝑁 ) 𝑡 𝑁 𝑗+1 = 2𝐶𝑡 𝑁−1 𝑗 + (1 − 2𝐶 − 2𝐶ℎ𝛼 𝜆 ) ж (Программа для численного решения задачи в системе MathCAD методом сеток имеет вид Задание конечного момента времени 𝜏 и толщины пластины R: 𝜏𝑒𝑛𝑑 ≔ 10 𝑅 ≔ Задание числа отрезков разбиения области решения по пространственной координате 𝑁 ≔ Расчет шага интегрирования по пространству ℎ: 9 ℎ ≔ 𝑅 𝑁 ℎ = 1.7 ∗ Задание коэффициента температуропроводности 𝑎: 𝑎 ≔ Задание числа Куранта 𝐶 ≔ Расчет шага повремени, учитывая условие устойчивости 𝑘 ≔ 𝐶 ∗ ℎ 2 𝑎 𝑘 = 5.161 ∗ Задание коэффициента теплообмена 𝛼 и коэффициента теплопроводности Задание температуры среды с ж 𝑡𝑐 ≔ Присвоение значений ранжированной переменной 𝑖 ≔ 0. . Задание функции в начальный момент времени 𝑡 𝑖 : = 42 В программе Mathcad 15 перечисленные действия выглядят так Процедура расчета функции на верхнем временном слое 10 Процедура расчета функции на момент времени τend: На основании расчётов построим график распределения температуры внутри пластины в момент времени 𝜏 = 10 ч Рисунок 2.1 – Распределение температуры внутри пластины 11 Таким образом, температура на поверхности с 17,574 Св центре пластины ц 38,2 СВ математическом пакете MathCAD численное решение смешанной задачи для уравнений теплопроводности с одной пространственной переменной осуществляется с помощью встроенной функции Pdesolve. Обращение к встроенному интегратору в этом случае выглядит следующим образом 𝑢 ≔ Pdesolve (𝑢, 𝑥, ( 0 𝑥𝑀𝑎𝑥 ) , 𝑡, ( 0 𝑡𝑀𝑎𝑥 ) , [𝑥𝑝𝑡𝑠], [𝑡𝑝𝑡𝑠] Дифференциальное уравнение для 𝑢(𝑥, 𝑡) и краевые условия вводятся в привычной математической форме между служебным словом Given (дано) и обращением к интегратору pdesolve (решить уравнение в частных производных. В перечне аргументов функции pdesolve указывают 1) имя искомой функции u; 2) пространственную переменную x; 3) вектор-столбец (0, xMax), содержащий граничные значения координаты) переменную t; 5) вектор-столбец (0, tMax), содержащий граничные значения времени t; 6) xpts необязательный параметр, задающий число точек пространственной дискретизации 7) tpts необязательный параметр, задающий число точек временной дискретизации. Для версии MathCAD 15 достаточно указать только параметр пространственной дискретизации и не вычислять число отрезков разбиения повремени. Численное решение задачи в системе MathCAD с использованием встроенной функции pdesolve имеет вид 12 Рисунок 2.2 – Распределение температуры внутри пластины Таким образом, значения температур в центре пластины, на поверхности и распределение по толщине совпадают с найденными ранее. 13 Контрольная работа № 3 Вариант №5 Математическая модель лазерного нагрева тела в случае объемного поглощения энергии излучения Задание. Задача о лазерном нагреве тела, в котором поглощение энергии излучения моделируется объемным источником тепла. Плотность потока энергии излучения задается как функция времени 𝑞 0 (𝜏) = 𝑞 𝑚𝑎𝑥 sin(𝜋𝜏/𝜏 𝑑 ) , где 𝑞 𝑚𝑎𝑥 – максимальное значение плотности теплового потока, 𝑞 𝑚𝑎𝑥 = 10 13 Вт/м 2 , 𝜏 𝑑 – длительность импульса, 𝜏 𝑑 = 1 нс. Коэффициент поглощения 𝛼 = 10 7 м. Из предположения, что диаметр области нагрева намного больше глубины проникновения тепла, обрабатываемое тело можно считать неограниченной пластиной. Толщина образца 𝐿 = 1 мкм. Температура в начальный момент времени является постоянной и равной 300 Ка скорость изменения температуры в начальный момент времени принимается равной нулю. На границах заданы граничные условия второго рода. Рассчитать температурное поле до момента времени 𝜏 𝑘 = 1 нс , используя встроенную функцию системы MathCAD, ивы- вести график функции изменения температуры во времени при x = 0 мкм и x = 0,2 мкм. Время релаксации теплового потока 𝜏 𝑟 = 7,9 ∗ 10 −11 с, коэффициент теплопроводности 𝜆 = 385,2 Вт/(м ∗ К, теплоёмкость 𝑐 = 385 Дж/(кг ∗ К, плотность вещества тела 𝜌 = 8920 кг/м 3 , поглощательная способность материала Решение Для случая, когда поглощение энергии излучения моделируется объемным источником тепла, математическая модель процесса теплопроводности при воздействии концентрированных потоков энергии на тело включает в себя линейное неоднородное дифференциальное уравнение (3.1) начальные условия 𝑇(𝑥, 0) = 𝑇 0 , 𝑥 ∈ [0, 𝐿] (3.2) 14 𝑑𝑇(𝑥, 𝜏) 𝑑𝜏 | 𝜏=0 = 0, 𝑥 ∈ [0, 𝐿] (3.3) граничные условия 𝑑𝑇(𝑥, 𝜏) 𝑑𝑥 | 𝑥=0 = 0, 𝜏 ∈ [0, 𝜏 𝑘 ] (3.4) 𝑑𝑇(𝑥, 𝜏) 𝑑𝑥 | 𝑥=𝐿 = 0, 𝜏 ∈ [0, 𝜏 𝑘 ] (3.5) где начальная температура тела 𝑇 0 = 300 К, 𝐿 = 1 мкм, 𝜏 𝑘 = 1 нс, время релаксации теплового потока 𝜏 𝑟 = 0,079 нс, коэффициент теплопроводности 𝜆 = 385,2 Вт/(м ∗ К) = 3,852 ∗ 10 −4 Вт/(мкм ∗ КДж м КВт нс мкм К поглощательная способность материала 𝐴 = 0,13; коэффициент поглощения 𝛼 = 10 7 м 10 мкм плотность потока энергии излучения 𝑞 0 (𝜏) = 𝑞 𝑚𝑎𝑥 sin(𝜋𝜏/𝜏 𝑑 ), где максимальное значение плотности теплового потока 𝑞 𝑚𝑎𝑥 = 10 13 Вт/м 2 = 10 Вт/мкм 2 , длительность импульса 𝜏 𝑑 = 1 нс В математическом пакете MathCAD численное решение смешанных задач для уравнений гиперболического типа с одной пространственной переменной осуществляется с помощью встроенной функцией Pdesolve. При этом дифференциальное уравнение преобразуется в систему двух уравнений первого порядка повремени введением новой зависимой переменной v(x,t). Обращение к встроенному интегратору в этом случае выглядит следующим образом ( 𝑢 𝑣 ) ≔ 𝑃𝑑𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒 [( 𝑢 𝑣 ) , 𝑥, ( 0 𝑥𝑀𝑎𝑥 ) , 𝑡, ( 0 𝑡𝑀𝑎𝑥 ) , [𝑥𝑝𝑡𝑠], [𝑡𝑝𝑡𝑠]] (Описание функции Pdesolve было приведено в контрольной №2. Программу расчета в Mathcad 15 смотрите ниже 15 На основании данной функции строим графики изменения температуры при 𝑥 = 0 мкм и 𝑥 = 0,2 мкм Рисунок 3.1 – График изменения температуры по толщине пластины 16 Контрольная работа № 4 Вариант №16 Методы сетевого планирования Задание. Дан сетевой график. Найти 1) его графическое изображение 2) кратчайший срок выполнения всего комплекса работ 3) оптимальный календарный план 4) резервы времени всех событий 5) критический путь 6) задачу ЛП, эквивалентную задаче о кратчайшем сроке 7) задачу ЛП, эквивалентную задаче о критическом пути. s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 i, j 2, 5 4, 7 1, 3 3, 4 1, 2 2, 6 6, 8 7, 8 3, 6 4, 6 5, 6 τ 10 10 3 4 7 5 20 20 3 15 8 Решение Используя программу Компас V16 строим граф Г (8, 11, S) Рисунок 4.1 – Сетевой график 17 На рисунке 4.1 крупным шрифтом указаны точки сетевого графика, мелким время необходимое для совершения данной операции. Сначала полагаем 𝑡 𝑖 = 0; 𝑖 = 1, … , 8. По алгоритму (смотрите ниже, проводим просмотр списка дуг заданного сетевого графика и пересчитываем значения 𝑡 𝑖 , 𝑖 = 1, … , 8. Результаты этих действий приведены в таблицу 4.1. Алгоритм решения задач о кратчайшем сроке. Шаг 0. 𝑡 𝑖 = 0; 𝑖 = 1, … , 8. Шаг 1. Полагаем 𝑀 = 0. Для 𝑠 = 1, … , 11 делаем следующее 1) определяем 𝑡 𝑗 𝑠 ′ = max{𝑡 𝑗 𝑠 , 𝑡 𝑖 𝑠 + 𝜏 𝑠 }; 2) если 𝑡 𝑗 𝑠 ′ ≠ 𝑡 𝑗 𝑠 , то полагаем 𝑀 = 1; принимаем 𝑡 𝑗 𝑠 = Шаг 2. Если 𝑀 = 0, то есть значения координат вектора 𝑡 не изменились, то полагаем 𝑡 𝑖 0 = 𝑡 𝑖 , 𝑖 = 1, … , 8. Конец работы алгоритма. Если 𝑀 ≠ 0, то переходим на шаг Таблица 4.1 𝑡 𝑖 i 1 2 3 4 5 6 7 8 й просмотр 0 0 0 0 0 0 0 0 й просмотр 0 7 3 7 17 12 17 37 й просмотр 0 7 3 7 17 12 3+4+15 17 37 3+4+15+20 й просмотр 0 7 3 7 17 22 7+10+8 17 42 7+10+8+20 й просмотр 0 7 3 7 17 25 17 45 Итак, решением задачи о кратчайшем сроке является вектора кратчайший срок выполнения всего комплекса работ 𝜆 0 = 𝑡 8 0 − 𝑡 1 0 = Задача линейного программирования (ЛП), эквивалентная задаче о кратчайшем сроке. Введем переменные 𝑡 𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚. Тогда задача о кратчайшем сроке как задача ЛП имеет следующую постановку { 𝑡 𝑚 − 𝑡 1 ⟶ 𝑚𝑖𝑛 𝑡 𝑗 𝑠 − 𝑡 𝑖 𝑠 ≥ 𝜏 𝑠 , 𝑠 = 1, … , 𝑛 18 Используя возможности Mathcad, напишем программу для определения кратчайшего срока. Использование встроенной функции позволяет найти кратчайший срок f(t) выполнения всего комплекса работ, ноне определяет максимально ранние возможные сроки наступления всех событий. 19 Определение резервов времени. Для определения резервов времени используем следующий алгоритм Шаг 0. Полагаем 𝑡 𝑖 = 𝑡 𝑚 0 , 𝑖 = 1, … , 8. Шаг 1. Полагаем 𝑀 = 0. Для 𝑠 = 11, … , 1 выполняем следующие действия 1) определяем 𝑡 𝑖 𝑠 ′ = min{𝑡 𝑖 𝑠 , 𝑡 𝑗 𝑠 − 𝜏 𝑠 } 2) если 𝑡 𝑖 𝑠 ′ ≠ 𝑡 𝑖 𝑠 , то полагаем 𝑀 = 1; принимаем 𝑡 𝑖 𝑠 = Шаг 2. Если 𝑀 = 0 (те. значения 𝑡 𝑖 не изменилось, то полагаем 𝑡 𝑖 00 = 𝑡 𝑖 , 𝜌 𝑖 = 𝑡 𝑖 00 − 𝑡 𝑖 0 , 𝑖 = 1, … , 8. Конец работы алгоритма. Если 𝑀 ≠ 0, то переходим на шаг 1. Применяя алгоритм вычисления резервов времени, составим таблицу 4.2. Таблица 4.2 𝑡 𝑖 i 1 2 3 4 5 6 7 8 й просмотр 45 45 45 45 45 45 45 45 й просмотр 0 7 11 15 17 25 25 45 Рисунок 4.2 – Критический путь на сетевом графике 20 Критические события 1, 2, 5, 6, 8. Напряженные работы 1, 5, 7, 11. Показаны на рисунке 4.2. Сведём значения кратчайшего пути, и резервов времени в таблицу 4.3. Таблица 4.3 𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 𝑡 𝑖 0 0 7 3 7 17 25 17 45 𝑡 𝑖 00 0 7 11 15 17 25 25 45 𝜌 𝑖 0 0 8 8 0 0 8 0 Задача линейного программирования, эквивалентная задаче о критическом пути. Исходные данные содержатся в сетевом графике Г (m, n, S, T). Введем переменные 𝑥 𝑠 = { 1, если дуга 𝑠 входит в критический путь, если не входит в критический путь Тогда задача ЛП, эквивалентная задаче о критическом пути, имеет вид { ∑ 𝜏 𝑠 𝑥 𝑠 ⟶ 𝑚𝑎𝑥 𝑛 𝑠=1 − ∑ 𝑥 𝑠 = −1 𝑠∈𝑁 1 − ∑ 𝑥 𝑠 𝑠∈𝑁 𝑖 + − ∑ 𝑥 𝑠 𝑠∈𝑁 𝑖 − = 0, 𝑖 = 2, … , 𝑚 − 1 ∑ 𝑥 𝑠 𝑠∈𝑁 𝑖 + = 1 𝑥 𝑠 ≥ 0, 𝑠 = 1, … , 𝑛 𝑥 𝑠 ∈ {0; 1}, 𝑠 = 1, … , Заметим без доказательства, что отбрасывание последнего условия 𝑥 𝑠 ∈ {0; 1}, 𝑠 = 1, … , 𝑛 не изменяет оптимального решения задачи, те. исключив это условие, ее можно решать, как обычную задачу ЛП. Используя программные возможности Mathcad, решим задачу о критическом пути. 21 Программа расчёта показывает, что в критический путь входят дуги 1, 5, 7, 11. Это совпадает с найденным аналитически критическим путём и говорит о правильности составления программы. |