лекцыия 4. Лекция 4. Системы линейных алгебраических уравнений. N мерные векторы
![]()
|
Системы линейных алгебраических уравнений. N- мерные векторы. Определение 1. Всякая упорядоченная совокупность из nчисел ![]() ![]() Два n- мерных вектора равны, если равны их соответствующие компоненты. Вектор ![]() Над векторами вводятся следующие операции: 1. Сложение векторов ![]() ![]() ![]() 2. Умножение векторов на число ![]() ![]() Определение 2. Система векторов ![]() ![]() ![]() иначе система - линейно независимая. Пример 1. Вектора ![]() ![]() ![]() Векторы ![]() ![]() ![]() Линейная зависимость системы векторов означает, что хотя бы один из векторов системы можно выразить линейной комбинацией остальных. Пусть Q произвольная система векторов. Определение 3. Система ![]() ![]() ![]() ![]() Формула (1) называется разложением вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 1. Любая система из ![]() ![]() ![]() Определение 4. Рангом системы векторов называется число векторов в базисе этой системы и оно равно максимально возможному количеству линейно независимых векторов этой системы. Теорема 2. Ранг системы векторов равен рангу матрицы, строки которой состоят из компонентов векторов этой системы. Определение 5. Множество ![]() ![]() Ранг пространства ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2. Системы линейных алгебраических уравнений. Методы решения. Определения. 6. Системой ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() 7. Числа ![]() 8. Систему (2) назовем совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и, несовместной – в противном случае. 9. Совместную систему (2) назовем определенной, если она имеет единственное решение, иначе – неопределенной. 10. Если ![]() Из примера 9 (лекция 1) следует, что систему (1) можно записать в матричном виде ![]() Теорема Кронекера-Капелли. Для того, что бы система (2) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ![]() ![]() расширенная матрица системы (2). Так как каждое уравнение системы (2) однозначно определяется набором коэффициентов этого уравнения, то рассматривая строки матрицы ![]() ![]() Следствие 1. Система (2) является определенной тогда и только тогда, когда ![]() где ![]() Рассмотрим случай, когда ![]() ![]() Правило Крамера. Решение системы (2) определяется формулами ![]() где ![]() ![]() ![]() 2. Матричный способ. Так как ![]() ![]() 3. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных). С помощью элемен-тарных преобразований систему (2) приводят к эквивалентной ей системе ![]() из которой затем находят неизвестные. Пример 2. Рассмотренными способами решить систему уравнений. ![]() Решение. ![]() Следовательно система (4) имеет единственное решение. а) Правило Крамера. Найдем ![]() ![]() Отсюда ![]() б) Матричный способ. Запишем систему (4) в виде ![]() ![]() Из примера 10 (лекция 1) имеем ![]() Следовательно из ![]() ![]() или ![]() Отсюда ![]() в) Метод Гаусса. Переставим местами 1-е и 2-е уравнения ![]() Умножим 1-е уравнение на –2 и сложим его 2-м уравнением. Затем, умножим 1-е уравнение на –1 и сложим его с 3-м уравнением. Таким образом мы исключим ![]() ![]() Умножим 2-е уравнение на ![]() ![]() ![]() Из 3-го уравнения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2.1. Понятие общего решения Рассмотрим общий случай, когда количество уравнений может не совпадать с количеством неизвестных и ![]() Не снижая общности, можно считать, что ![]() Из (5) следует, что последние ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Переменные ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 2. Установить совместность и найти общее решение системы ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() Следовательно, оставив 1-е и 2-е уравнения, и, перенеся в правую часть переменные ![]() ![]() ![]() ![]() ( 8) – общее решение системы (7), ![]() ![]() З а м е ч а н и е 1. Систему (7) можно решать непосредственно методом Гаусса. По ходу решения выяснится совместна ли система (7) или нет, и, если совместна, то найдется общее решение. Умножим 1-е уравнение на –2 и сложим его 2-м уравнением. Затем умножим 1-е уравнение на –1 и сложим его 4-м уравнением. Получим ![]() ![]() ![]() т.е. получили общее решение системы (7), ![]() ![]() ![]() ![]() Однородные системы линейных уравнений Рассмотрим систему уравнений ![]() Очевидно, что система (10) всегда совместна, так как имеет тривиальное решение ![]() ![]() Пример 3. ![]() ![]() ![]() ![]() |