Глава 13. Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами отличаются от однородных уравнений присутствием в правой части хотя бы одного уравнения функции от независимой переменной . Как и в случае однородных уравнений, применение к неоднородным уравнениям общей теоремы о существовании и единственности решений не представляет большого труда.
§ 1. Общие сведения.
Пусть имеем систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка, содержащую уравнений:
(1)
где коэффициенты – действительные постоянные числа; функции , ,…, – непрерывные функции переменной , заданы и хотябыодна из них не равна нулю; функции , ,…, –искомые функции переменной .
Если все функции , ,…, – состоят из сумм и произведений функций:
– многочлен степени ;
- число – действительное число; (2)
, - число – действительное число.
то поиск частного решения проводится, как и в случае одного уравнения - го порядка с постоянными коэффициентами, методомнеопределённыхкоэффициентов, но с некоторыми изменениями. Если правые части уравнений системы произвольные функции , ,…, , то применяют метод вариациипроизвольныхпостоянных.
1.1. Теорема о существовании и единственности решения системы уравнений.
В Главе 11 представлена общая теорема о существовании и единственности решения для системы, имеющей нормальную форму записи. Нетрудно заметить, что для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами (1) требования теоремы выполняются!
1.2. Запись общего решения системы линейных неоднородных уравнений.
Если известно общее решение однородной системы уравнений, соответствующей системе (1) и некоторое частное решение неоднородной системы (1), то общее решение неоднородной системы записывают в виде:
= = + = + = + +...+ + , (3)
где обозначено: － общее решение заданной системы уравнений (1); － общее решение соответствующей однородной системы и － частное решение заданной системы уравнений (1), соответственно. Выражение = + напоминает теорему о форме записи общего решения линейного неоднородного уравнения - го порядка с постоянными коэффициентами. Её доказательство так же просто.
§ 2. Решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
Для моделирования общего алгоритма решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами рассмотрим систему, содержащую только три уравнения для функций x,y,z:
(4)
где функции , , – непрерывные функции переменной , заданы в соответствии с правилом (4) и хотябыодна из них не равна нулю. Функции , , – искомые решения.
Общийалгоритм решения неоднородного уравнения:
1*. Записываем соответствующую неоднородной системе уравнений (4) однородную систему (без функций , , ): (5)
и находим её решение (в соответствии с представленными в Главе 12 методами).
2*. Находим частное решение системы (4) однородную систему, учитывая конкретный набор функций , , .
3*. Записываем общее решение системы (4) в виде: = + . (6)
4*. Находим решение системы (4), удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Записанный алгоритм содержит величины: , , , вычисление которых зависит и от набора функций: , , , и от особенностей заданной системы (4). Не станем записывать общих формул, которые охватили бы самый общий набор функций , , и получающихся выражений для вычисления функций: , , . Правила решения системы (4) вполне понятны из рассмотрения конкретных Примеров!
::
Пример 13–01: Решить систему нелинейных уравнений:
Решение:
1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы (то есть без функции = ): = = 0, откуда получаем: =–3; =2. В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде: = + , (1.1)
где = = , = = , (2.1)
2). Для определения векторов , составим систему уравнений:
(3.1)
Для характеристического корня =–3 система (3.1) имеет решение: = . Для корня =2 система (3.1) имеет решение: = .
Замечание: Решение системы (3.1) проводится по известным правилам из курса Линейная алгебра.
3). С учетом полученных векторов , запишем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений: = + . (4.1)
4). Так как функция: = – многочлен 1-й степени и образующее число = не совпадает с характеристическими корнями: и , то частное решение заданной системы будем искать в виде: = , ее производные: = (5.1)
Подставляя выражения (5.1) в заданную систему уравнений, получаем систему тождеств:
(6.1)
Приравнивая коэффициенты при t0 и t1, получаем систему алгебраических уравнений:
при : при : , (7.1)
откуда: a=– , b=– , c=– ,d=– .
5). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
= + = + + . (8.1)
Ответ: общее решение системы: = + + .
Пример 13–02: Решить систему нелинейных уравнений:
Решение:
1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы (т.е. без функции = ). Запишем характеристическое уравнение: = =0, откуда получаем: = , = . В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде: = + , (1.2)
где = = , = = . (2.2)
2). Для определения векторов , составим систему уравнений:
(3.2)
3). Для корня система (3.2) имеет решение: = . Тогда можно записать:
= e(1–i)t= = . (4.2)
4). Для корня система (3.2) имеет решение: = . Аналогично получаем:
= e(1+i)t= = . (5.2)
то есть решения и (согласно выражениям (4.2) и (5.2)) комплексно-сопряженные.
5). В качестве частных решений системы уравнений берем отдельно мнимую и действительную части. Получаем: = , = (6.2)
6). С учетом выражений (6.2) запишем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений: = + . (7.2)
7). Так как функция: = – имеет специальный вид, ее образующее число не совпадает с характеристическими корнями и , то частное решение заданной системы будем искать в виде: = , ее производные: = . (8.2)
8). Подставляя (8.2) в заданную систему, получаем систему тождеств:
откуда следует: =–1, =0. (9.2)
9). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
= + = + + = . (10.2)
Ответ: Общее решение: = .
Пример 13–03: Решить систему нелинейных уравнений:
Решение:
При решении данного Примера воспользуемся теоремой о суперпозиции применения функций правой части и запишем две системы, эквивалентные данной, то есть позволяющие получить общее решение исходной системы:
образующее число: = , (1a)
образующее число: = , (1b)
1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы уравнений (то есть без функции и ): =0, откуда получаем: = =2 – корень кратности =2. В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде:
, и производные: (2.3)
2). Подставляем (2.3) в однородную систему уравнений для заданной системы и получаем тождества: (3.3)
3). Приравнивая в (3) коэффициенты при t0 и t1, получаем систему алгебраических уравнений:
при : при : , (4.3)
откуда: = , = – , = = .
Замечание: решение системы (4.3) проводится по известным правилам из курса Линейная алгебра.
4). Итак, общее решение однородной системы уравнений получено:
(5.3)
5). Частное решение заданной системы уравнений, учитывая системы (1a) и (1b), запишем в виде: , (6.3)
6). Найдем частное решение неоднородной системы уравнений (1a), учитывая совпадение числа = с кратным характеристическим корнем :
, (7.3)
7). Подставим в (1a) выражение (7) и его производную: получим систему тождеств:
Из тождества найдем неопределенные коэффициенты, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях :
при : при : (8.3)
при : при :
откуда получаем: , = = , = = . Учитывая выражение (7), получим частное решение для системы (1a): . (9.3)
8). Найдем частное решение неоднородной системы уравнений (1b), учитывая, что число = не совпадает с характеристическим корнем: . (10.3)
9). Подставим в (1b) выражение (10.3) и его производную: получим систему тождеств:
откуда: a=–3,b=–2. (11.3)
10). Учитывая выражение (10.3), получим частное решение для системы (1b):
. (12.3)
11). Учитывая (9.3) и (12.3), частное решение заданной системы уравнений принимает вид:
, (13.3)
12). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
. (14.3)
Замечание: выражение (14) получено с «поглощением» числа m константой .
Ответ: Общее решение: = .
Пример 13–04: Решить систему нелинейных уравнений:
Решение:
1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы уравнений (то есть без функций = и = ): = =0, откуда получаем: =–i; =i. В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде:
где = = , = = . (2.4)
2). Для определения векторов , составим систему уравнений:
(3.4)
3). Для =–i система (3.4) имеет решение: = . Тогда можно записать:
= = = . (4.4)
4). Для =i система (3.4) имеет решение: = . Аналогично получаем:
= = = , (5.4)
то есть решения и (согласно выражениям (4.4) и (5.4)) комплексно-сопряженные.
5). В качестве частных решений системы уравнений берем отдельно мнимую и действительную части. Получаем: = , = . (6.4)
6). С учетом выражений (6.4) запишем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений: = + . (7.4)
7). Так как функция: = и = – имеют специальный вид и общее образующее число , причем совпадает с характеристическими корнями и , то частное решение заданной системы будем искать в виде:
= . (8.4)
8). Подставляя (8.4) в заданную систему, получаем систему тождеств:
=
= , (9.4)
=
= .
Приравнивая коэффициенты при подобных членах тождеств (9.4), получим алгебраическую систему уравнений, решением которой является: =–1, =0, =1. Тогда выражение (8.4) можно записать в виде: = (10.4)
9). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
= + = . (11.4)
Ответ: Общее решение: = .
;
§ 3. Решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с произвольной правой частью.
Пусть имеем неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка:
(7)
где коэффициенты – действительные числа (постоянные); , , – не являются специальными функциями переменной и хотябыодна из них не равна нулю; в результате решения системы (7) требуется найти функции , , переменной .
Система содержит только три уравнения (с тремя неизвестными функциями) с целью упростить выкладки (и улучшить обозримость) при записи шагов алгоритма. Системе (7) соответствует однородная система: (8)
Пусть известно общее решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений (8):
= , = , = . (9)
Будем считать постоянные: , , функциями переменной . Продифференцируем по каждое из равенств (9), и подставим в систему (7):
+ =
= + + + ,
+ =
= + + + ,
+ =
= + + + .
Проследим за первым из записанных равенств, применяя тождественные преобразования к его правой части:
+ =
= + + + ,
Учитывая каждое из уравнений системы (8), из последнего тождества получаем равенство, которое определяет одно из требований к искомым функциям: , , . Учитывая, что второе и третье тождества порождают аналогичные требования, запишем систему требований:
= .
= . (10)
= .
Так как совокупность решений: , , линейно независима, то определитель системы (10) не равен нулю и система имеет решение:
или после интегрирования: (11)
где , , – произвольные постоянные интегрирования. Подставляя (11) в (9), получим общее решение неоднородной системы уравнений.
Замечание:При оформлении результатов решения системы уравнений, используя общий алгоритм решения, в окончательной записи Ответа черточки опускают.
Для иллюстрации рассмотренного метода вариации произвольных постоянных рассмотрим несколько характерных примеров.
::
Пример 13–05: Решить систему линейных уравнений:
Решение:
1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы (то есть без функций = и = ): = = 0, откуда находим: = , = .
2). В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде:
= + , (1.5)
где = = , = = . (2.5)
3). Для определения векторов , составим систему уравнений:
(3.5)
4). Для корня = система (3) имеет решение: . Тогда можно записать:
. (4.5)
5). Для корня = система (3) имеет решение: . Аналогично получаем:
. (5.5)
то есть решения и (согласно выражениям (4.5) и (5.5)) комплексно-сопряженные.
6). В качестве частных решений системы уравнений берем отдельно мнимую и действительную части. Получаем: = , = . (6.5)
7). С учетом выражений (6) запишем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений: = + . (7.5)
8). Для нахождения искомых функций x(t),y(t) применяют метод «вариации произвольных постоянных. Для этого считают , функциями переменной , которые находят из системы уравнений:
или (8.5)
9). Так как определитель системы (3.5) не равен нулю, система имеет решение:
или после интегрирования: (9.5)
где , – произвольные постоянные интегрирования. Подставляя (9.5) в (7.5), получим общее решение неоднородной системы уравнений:
= , (10.5)
или (после преобразований): = . (11.5)
Ответ: Общее решение: = .
;
§ 4. Обобщающие примеры по системам линейных неоднородных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами.
Пример 13–01: Решить систему нелинейных уравнений: (1.1)
Решение:
1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы (т.е. без функции ): = = 0, откуда получаем: =–3; =2. В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде:
= + , (2.1)
где = e–3t= , = e2t= , (3.1)
2). Для определения векторов , составим систему уравнений:
(4.1)
Для корня =–3 система (4.1) имеет решение = ; для =2: = .
3). С учетом полученных векторов , запишем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений: = + , (5.1)
4). Так как функция: – многочлен 1-й степени и образующее число не совпадает с характеристическими корнями: и , то частное решение заданной системы будем искать в виде: = , ее производные: = . (6.1)
Подставляя (5.1) в систему (1.1), получаем тождества: (7.1)
Приравнивая коэффициенты при степенях и , получаем систему алгебраических уравнений:
1) при : 2) при : → =– , =– , =– , =– . (8.1)
5). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
= + = + + . (9.1)
Ответ: общее решение системы: = + + .
Пример 13–02: Решить систему нелинейных уравнений: (1.2)
Решение:
При решении данного Примера воспользуемся теоремой о «суперпозиции» применения функций правой части и запишем две системы, эквивалентные данной, т.е. позволяющие получить общее решение исходной системы:
1a: → число: , 1b: → число: .
1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы (т.е. без функций , ): = = 0, откуда получаем: = =2 – корень кратности . В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде:
, и производные: (2.2)
2). Подставляем (2.2) однородную систему для заданной системы и получаем тождества:
(3.2)
3). Приравнивая в (3.2) коэффициенты при степенях: и , получаем систему алгебраических уравнений: откуда = , = , = = . (4.2)
Замечание: решение системы (4.2) проводится по известным правилам из курса Линейная алгебра.
4). Итак, общее решение однородной системы уравнений получено:
(5.2)
5). Частное решение заданной системы уравнений, учитывая системы (1a) и (1b), запишем в виде: , (6.2)
6). Найдем частное решение неоднородной системы уравнений (1a), учитывая совпадение числа с кратным характеристическим корнем:
, (7.2)
7). Подставим в (1a) выражение (7.2) и его производную: получим систему тождеств:
Из этой системы найдем неопределенные коэффициенты, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях :
при : при : (8.2)
при : при :
откуда получаем: = = = , , . Учитывая выражение (7.2), получим частное решение для системы (1a): . (9.2)
8). Найдем частное решение неоднородной системы уравнений (1b), учитывая, что число не совпадает с характеристическим корнем:
, (10.2)
9). Подставим в (1b) выражение (10.2) и его производную: получим систему тождеств:
откуда: a=–3,b=–2. (11.2)
10). Учитывая выражение (11.2), получим частное решение для системы (1b):
. (12.2)
11). Учитывая (9.2) и (12.2), частное решение заданной системы уравнений принимает вид:
, (13.2)
12). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
. (14.2)
Замечание: Выражение (14.2) получено с поглощением числа константой : модификация записи общего решения.
Ответ: Общее решение: = .
Пример 13–03: Решить систему линейных уравнений:
Решение:
1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы (т.е. без функций , ): = = 0, откуда находим: =–i; =i.
2). В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде:
= + , (1.3)
где = = , = = , (2.3)
3). Для определения векторов , составим систему уравнений:
(3.3)
4). Для =–i система (3.3) имеет решение: . Тогда можно записать:
. (4.3)
5). Для =i система (3.3) имеет решение: . Аналогично получаем:
. (5.3)
то есть решения и – комплексно-сопряженные.
6). В качестве частных решений системы уравнений берем отдельно мнимую и действительную части. Получаем:
= , = (6.3)
7). С учетом выражений (6.3) запишем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений: = + . (7.3)
8). Для нахождения искомых функций , применяют метод «вариации произвольных постоянных. Для этого считают , функциями переменной , которые находят из системы уравнений: или (8.3)
9). Так как определитель системы (3.3) не равен нулю, система имеет решение:
или после интегрирования: (9.3)
где , – произвольные постоянные интегрирования. Подставляя (9.3) в (7.3), получим общее решение неоднородной системы уравнений:
= = . (10.3)
Ответ: Общее решение: = .
;
Вопросыдлясамопроверки:
Как по записи системы уравнений 1-го порядка определить, что она нелинейная?
Почему линейная система неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами удовлетворяет требованиям теоремы «о существовании и единственности решений»?
Как записывают характеристический многочлен для системы линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами?
Как записывают общее решение системы линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами?
Как находят частное решение системы линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами в случае, если правая часть уравнений содержит специальные функции от независимой переменной?
Как находят частное решение системы линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами в случае, если правая часть уравнений содержит произвольные функции от независимой переменной?
• Д ≡ є •
|
Скачать 0.99 Mb.