Системы счисления Кодирование чисел Двоичная система счисления
Скачать 3.16 Mb.
|
Системы счисления§ 1. Кодирование чисел § 2. Двоичная система счисления § 3. Восьмеричная система счисления § 4. Шестнадцатеричная система счисления Системы счисления§ 1. Кодирование чисел Что такое система счисления?Система счисления — это правила записи чисел с помощью специальных знаков — цифр, а также соответствующие правила выполнения операций с этими числами. Счёт на пальцах: Унарная (лат. unus – один) – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) только натуральные числа запись больших чисел – длинная (1 000 000?) Непозиционные системы счисленияНепозиционная система счисления — это такая система, в которой значение цифры не зависит от её места (позиции) в записи числа. унарная египетская десятичная римская славянская и другие… Египетская десятичная система– 1 – 10 – 100 – 1000 – 10000 – 100000 – 1000000 черта хомут верёвка лотос палец лягушка человек = ? = 1235 2014 = ? I – 1 (палец) V – 5 (раскрытая ладонь) X – 10 (две ладони) L – 50 C – 100 (Centum) D – 500 (Demimille) M – 1000 (Mille) Спасская башня Московского Кремля Правила:
Примеры: MDCXLIV = 1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5 2389 = 2000 + 300 + 80 + 9 2389 = M M C C C L X X X I X M M CCC LXXX IX = 1644 MCDLXVII = MMDCXLIV = MMMCCLXXII = CMXXVIII = 3768 = 2983 = 1452 = 1999 = только натуральные числа (дробные? отрицательные?) для записи больших чисел нужно вводить новые цифры сложно выполнять вычисления Какое максимальное число можно записать? ? Славянская система счисленияалфавитная система счисления (непозиционная) Часы Суздальского Кремля ОпределенияПозиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр. Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита). Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево. 6 3 7 5 5 70 300 6000 3 2 1 0 разряды тысячи сотни десятки единицы = 6·103 + 3·102 + 7·101 + 5·100 развёрнутая форма записи числа основание Другие позиционные системыдвоичная восьмеричная шестнадцатеричная и другие… 101102 система счисления = 124 + 023 + 122 + 121 + 020 4 3 2 1 0 = 22 1458 2 1 0 = 182 + 481 + 580 = 101 N0 = 1 ! 12316 2 1 0 = 1162 + 2161 + 3160 = 291 1235 2 1 0 = 152 + 251 + 350 = 38 4567 1022 36512 5788 1729 5214 Что неверно? ? Позиционные системы счисленияЗадача. В некоторой системе счисления число 58 записывается как 46x. Определите основание x этой системы счисления. 46x 1 0 = 4x1 + 6x0 4x + 6 = 58 4x = 52 x = 13 = 4x + 6 Переведём 46x в десятичную систему: Системы счисления§ 2. Двоичная система счисления Двоичная система счисленияОснование (количество цифр): 2 Алфавит: 0, 1 длинная запись чисел: 1024 = 100000000002 запись однородна (только 0 и 1) нужны только устройства с двумя состояниями компьютеру проще выполнять вычисления (умножение сводится сложению и т.п.) Перевод в десятичную систему2 10 100112 4 3 2 1 0 разряды = 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20 = 16 + 2 + 1 = 19 10 2 Выделение степеней числа 2: 21 = 16 + 5 21 = 124 + 023 + 122 + 021 + 120 = 16 + 4 + 1 24 24 22 20 = 101012 1 0 0 1 1 Выделение степеней числа 2
10 2 77 77 = 64 + 13 8 + 5 4 + 1 1 1 1 1 77 = 10011012 0 0 0 Другой способ10 2 19 2 9 18 1 2 4 8 1 2 2 4 0 2 1 2 0 2 0 0 1 19 = 100112 Какое определить, что число чётное? ? 10 7 8 9 + 5 6 7 6 5 3 1 1 1 1 Когда перенос? ? 2 Перенос, когда > 1! ! 1 0 1 1 02 + 1 1 1 0 1 12 1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 1 1 1 + 1 = 2 = 102 1 + 1 + 1 = 3 = 112 1011012 + 111112 101112 +1011102 1110112 + 100112 1110112 + 110112 10 1 0 2 1 – 5 6 7 4 5 4 9 0 Когда берем заём? Чему он равен? ? 2 Заём равен 2! ! 1 0 +10 +10 1 0 0 0 1 0 12 – 1 1 0 1 12 0 2 1 1 0 0 1 0 0 +2 0 1 1 +2 1011012 – 111112 110112 –1101012 1101012 – 110112 1100112 – 101012 Системы счисления§ 3. Восьмеричная система счисления Основание: 8 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Что неправильно? ? 32758 69868 54828 3198 Из восьмеричной в десятичную8 10 1448 2 1 0 разряды = 1·82 + 4·81 + 4·80 = 64 + 32 + 4 = 100 Переведите: 128 = 578 = 648 = 778 = На что делится? ? 1208 57008 10 8 100 8 12 96 4 8 1 8 4 8 0 0 1 100 = 1448 Переведите: 31= 91= 126 = 172 = 1112 1012 0112 7538 = 7 82 + 581 + 380 = 7 26 + 523 + 320 7538 = (1 22 + 1 21 + 1 20) 26 + (1 22 + 0 21 + 1 20) 23 + (0 22 + 1 21 + 1 20) 20 7538 = 1 28 + 1 27 + 1 26 + 1 25 + 0 24 + 1 23 + 0 22 + 1 21 + 1 20 = 1111010112 8 = 23 Каждая цифра отдельно! ! 8 = 23 Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)! ! 162516 = 1 6 2 5 001 { { 110 010 1012 { {
Перевод из двоичной в восьмеричную10010111011112 Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа: 001 001 011 101 1112 Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой: 1 3 5 7 Ответ: 10010111011112 = 113578 001 001 011 101 1112 1 Переведите в двоичную систему: 3758 = 52468 = Переведите в восьмеричную систему: 10100112 = 101011002 = Сжатая запись двоичных кодов
3 6 1368 Запишите в сжатой форме:
PDP-11, ДВК, СМ ЭВМ, БЭСМ, БК 1 Сложениесложение 1 5 68 + 6 6 28 1 1 6 + 2 = 8 = 8 + 0 5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4 1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0 1 1 в перенос 1 в перенос 1 08 0 4 1 в перенос Вычитаниевычитание 4 5 68 – 2 7 78 (6 + 8) – 7 = 7 (5 – 1 + 8) – 7 = 5 (4 – 1) – 2 = 1 заём 78 1 5 заём Выполните сложение и вычитание1 5 68 6 6 28 – 1 1 5 68 6 6 28 – 3 5 38 + 7 3 68 1 3 5 38 + 7 7 78 Системы счисления§ 4. Шестнадцатеричная система счисления Шестнадцатеричная системаОснование: 16 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, 10 B, 11 C, 12 D, 13 E, 14 F 15 Что неправильно? ? 34AF516 5BG616 9FF6116 ADH2316 Перевод в шестнадцатеричную систему11 10 16 444 16 27 432 12 444 = 1BC16 С 16 1 16 16 0 0 1 B Переведите: 31= 91= 126 = 172 = Перевод из шестнадцатеричной системы16 10 1BC16 2 1 0 разряды = 1·162 + 11·161 + 12·160 = 256 + 176 + 12 = 444 B C Переведите: 1216 = 5A16 = B916 = AB16 = На что делится? ? 12016 570016 16 = 24 Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных (тетрада)! ! 7F1A16 = 7 F(15) 1 A(10) 0111 { { 1111 0001 10102 { {
Перевод из двоичной системыШаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа: 0001 0010 1110 11112 Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой: 0001 0010 1110 11112 1 2 E F Ответ: 10010111011112 = 12EF16 10010111011112 Переведите в двоичную систему: EA123816 = Переведите в шестнадцатеричную систему : 111110100112 = Переведите в восьмеричную систему : 2FA16 = Переведите в шестнадцатеричную систему : 1658 = Сложениесложение A 5 B16 + C 7 E16 1 1 6 D 916 10 5 11 + 12 7 14 11+14=25=16+9 5+7+1=13=D16 10+12=22=16+6 1 1 в перенос 1 в перенос 13 9 6 1 Вычитаниевычитание С 5 B16 – A 7 E16 заём 1 D D16 12 5 11 – 10 7 14 (11+16)–14=13=D16 (5 – 1)+16 – 7=13=D16 (12 – 1) – 10 = 1 заём 13 1 13 Арифметические действия1 В А16 – A 5 916 С В А16 + A 5 916 |