Главная страница

Системы счисления Кодирование чисел Двоичная система счисления


Скачать 3.16 Mb.
НазваниеСистемы счисления Кодирование чисел Двоичная система счисления
Дата22.11.2022
Размер3.16 Mb.
Формат файлаppt
Имя файла415574.ppt
ТипДокументы
#806769

Системы счисления


§ 1. Кодирование чисел
§ 2. Двоичная система счисления
§ 3. Восьмеричная система счисления
§ 4. Шестнадцатеричная система счисления




Системы счисления


§ 1. Кодирование чисел




Что такое система счисления?





Система счисления — это правила записи чисел с помощью специальных знаков — цифр, а также соответствующие правила выполнения операций с этими числами.


Счёт на пальцах:


Унарная (лат. unus – один) – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)


только натуральные числа запись больших чисел – длинная (1 000 000?)

Непозиционные системы счисления





Непозиционная система счисления — это такая система, в которой значение цифры не зависит от её места (позиции) в записи числа.


унарная египетская десятичная римская славянская и другие…

Египетская десятичная система





– 1
– 10
– 100


– 1000
– 10000
– 100000


– 1000000


черта


хомут


верёвка


лотос


палец


лягушка


человек


= ?


= 1235


2014 = ?





I – 1 (палец)
V – 5 (раскрытая ладонь)
X – 10 (две ладони)
L – 50
C – 100 (Centum)
D – 500 (Demimille)
M – 1000 (Mille)


Спасская башня Московского Кремля





Правила:
    (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)

    Примеры:
    MDCXLIV =

1000


+ 500


+ 100


– 10


+ 50


– 1


+ 5


2389 = 2000 + 300 + 80 + 9


2389 = M M C C C L X X X I X


M M


CCC


LXXX


IX


= 1644





MCDLXVII =


MMDCXLIV =


MMMCCLXXII =


CMXXVIII =





3768 =


2983 =


1452 =


1999 =





только натуральные числа (дробные? отрицательные?)
для записи больших чисел нужно вводить новые цифры сложно выполнять вычисления


Какое максимальное число можно записать?


?

Славянская система счисления





алфавитная система счисления (непозиционная)


Часы Суздальского Кремля

Определения





Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.


Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр.
Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).
Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.


6 3 7 5


5


70


300


6000


3 2 1 0


разряды


тысячи сотни десятки единицы


= 6·103 + 3·102 + 7·101 + 5·100


развёрнутая форма записи числа


основание

Другие позиционные системы





двоичная восьмеричная шестнадцатеричная и другие…


101102


система счисления


= 124 + 023 + 122 + 121 + 020


4 3 2 1 0


= 22


1458


2 1 0


= 182 + 481 + 580


= 101


N0 = 1


!


12316


2 1 0


= 1162 + 2161 + 3160


= 291


1235


2 1 0


= 152 + 251 + 350


= 38


4567


1022


36512


5788


1729


5214


Что неверно?


?

Позиционные системы счисления





Задача. В некоторой системе счисления число 58 записывается как 46x. Определите основание x этой системы счисления.


46x


1 0


= 4x1 + 6x0


4x + 6 = 58


4x = 52


x = 13


= 4x + 6


Переведём 46x в десятичную систему:

Системы счисления


§ 2. Двоичная система счисления




Двоичная система счисления





Основание (количество цифр): 2
Алфавит: 0, 1


длинная запись чисел: 1024 = 100000000002
запись однородна (только 0 и 1)


нужны только устройства с двумя состояниями
компьютеру проще выполнять вычисления (умножение сводится сложению и т.п.)

Перевод в десятичную систему





2  10


100112


4 3 2 1 0


разряды


= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19


10  2


Выделение степеней числа 2:


21 = 16 + 5


21 = 124 + 023 + 122 + 021 + 120


= 16 + 4 + 1


24


24


22


20


= 101012


1


0


0


1


1

Выделение степеней числа 2





210


29


28


27


26


25


24


23


22


21


20


1024


512


256


128


64


32


16


8


4


2


1


10  2


77


77 =


64 + 13


8 + 5


4 + 1


1


1


1


1


77 = 10011012


0


0


0

Другой способ





10  2


19


2


9


18


1


2


4


8


1


2


2


4


0


2


1


2


0


2


0


0


1


19 = 100112


Какое определить, что число чётное?


?





10


7 8 9
+ 5 6 7


6


5


3


1


1


1


1


Когда перенос?


?


2


Перенос, когда > 1!


!


1 0 1 1 02
+ 1 1 1 0 1 12


1


1


0


0


1


0


1


1


0


2


1


1


1


1 + 1 = 2 = 102


1 + 1 + 1 = 3 = 112





1011012
+ 111112


101112
+1011102


1110112
+ 100112


1110112
+ 110112





10


1 0 2 1
– 5 6 7


4


5


4


9








0


Когда берем заём? Чему он равен?


?


2


Заём равен 2!


!


1


0


+10


+10


1 0 0 0 1 0 12
– 1 1 0 1 12


0


2


1








1


0


0


1


0


0


+2


0


1


1


+2





1011012
– 111112


110112
–1101012


1101012
– 110112


1100112
– 101012

Системы счисления


§ 3. Восьмеричная система счисления








Основание: 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7


Что неправильно?


?


32758 69868
54828 3198

Из восьмеричной в десятичную





8  10


1448


2 1 0


разряды


= 1·82 + 4·81 + 4·80
= 64 + 32 + 4 = 100


Переведите:


128 =
578 =
648 =
778 =


На что делится?


?


1208
57008





10  8


100


8


12


96


4


8


1


8


4


8


0


0


1


100 = 1448


Переведите:


31=
91=


126 =
172 =





1112


1012


0112


7538 = 7 82 + 581 + 380


= 7 26 + 523 + 320


7538 = (1 22 + 1 21 + 1 20)  26 +
(1 22 + 0 21 + 1 20)  23 +
(0 22 + 1 21 + 1 20)  20


7538 = 1 28 + 1 27 + 1 26 +
1 25 + 0 24 + 1 23 +
0 22 + 1 21 + 1 20


= 1111010112


8 = 23


Каждая цифра отдельно!


!





8 = 23


Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)!


!


162516 =


1 6 2 5


001


{


{


110


010


1012


{


{


0


1


2


3


4


5


6


7


000


001


010


011


100


101


110


111

Перевод из двоичной в восьмеричную





10010111011112


Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа:


001 001 011 101 1112


Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой:


1


3


5


7


Ответ: 10010111011112 = 113578


001 001 011 101 1112


1





Переведите в двоичную систему:


3758 =
52468 =


Переведите в восьмеричную систему:


10100112 =
101011002 =

Сжатая запись двоичных кодов





0


1


0


1


1


1


1


0


3


6


1368


Запишите в сжатой форме:


1


1


0


0


1


0


1


0


1


1


0


1


0


0


1


1


PDP-11, ДВК, СМ ЭВМ, БЭСМ, БК


1

Сложение





сложение


1 5 68
+ 6 6 28


1


1


6 + 2 = 8 = 8 + 0
5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0


1


1 в перенос


1 в перенос


1


08


0


4


1 в перенос

Вычитание





вычитание


4 5 68
– 2 7 78





(6 + 8) – 7 = 7
(5 – 1 + 8) – 7 = 5
(4 – 1) – 2 = 1





заём


78


1


5


заём

Выполните сложение и вычитание





1 5 68
6 6 28





1 1 5 68
6 6 28





3 5 38
+ 7 3 68


1 3 5 38
+ 7 7 78

Системы счисления


§ 4. Шестнадцатеричная система счисления




Шестнадцатеричная система





Основание: 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,


A, 10


B, 11


C, 12


D, 13


E, 14


F 15


Что неправильно?


?


34AF516 5BG616
9FF6116 ADH2316

Перевод в шестнадцатеричную систему





11


10  16


444


16


27


432


12


444 = 1BC16


С


16


1


16


16


0


0


1


B


Переведите:


31=
91=


126 =
172 =

Перевод из шестнадцатеричной системы





16  10


1BC16


2 1 0


разряды


= 1·162 + 11·161 + 12·160
= 256 + 176 + 12 = 444


B


C


Переведите:


1216 =
5A16 =
B916 =
AB16 =


На что делится?


?


12016
570016





16 = 24


Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных (тетрада)!


!


7F1A16 =


7 F(15) 1 A(10)


0111


{


{


1111


0001


10102


{


{


0


1


2


3


4


5


6


7


0000


0001


0010


0011


0100


0101


0110


0111


8


9


A(10)


B(11)


C(12)


D(13)


E(14)


F(15)


1000


1001


1010


1011


1100


1101


1110


1111

Перевод из двоичной системы





Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:


0001 0010 1110 11112


Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой:


0001 0010 1110 11112


1


2


E


F


Ответ: 10010111011112 = 12EF16


10010111011112





Переведите в двоичную систему:


EA123816 =


Переведите в шестнадцатеричную систему :


111110100112 =


Переведите в восьмеричную систему :


2FA16 =


Переведите в шестнадцатеричную систему :


1658 =

Сложение





сложение


A 5 B16
+ C 7 E16


1


1 6 D 916


10 5 11
+ 12 7 14


11+14=25=16+9
5+7+1=13=D16
10+12=22=16+6


1


1 в перенос


1 в перенос


13


9


6


1

Вычитание





вычитание


С 5 B16
– A 7 E16


заём





1 D D16


12 5 11
10 7 14





(11+16)–14=13=D16
(5 – 1)+16 – 7=13=D16
(12 – 1) – 10 = 1


заём


13


1


13

Арифметические действия





1 В А16
– A 5 916


С В А16
+ A 5 916



написать администратору сайта