Системы счисления Кодирование чисел Двоичная система счисления

Название	Системы счисления Кодирование чисел Двоичная система счисления
Дата	22.11.2022
Размер	3.16 Mb.
Формат файла
Имя файла	415574.ppt
Тип	Документы #806769

Системы счисления

§ 1. Кодирование чисел
§ 2. Двоичная система счисления
§ 3. Восьмеричная система счисления
§ 4. Шестнадцатеричная система счисления

Системы счисления

§ 1. Кодирование чисел

Что такое система счисления?

Система счисления — это правила записи чисел с помощью специальных знаков — цифр, а также соответствующие правила выполнения операций с этими числами.

Счёт на пальцах:

Унарная (лат. unus – один) – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)

только натуральные числа запись больших чисел – длинная (1 000 000?)

Непозиционные системы счисления

Непозиционная система счисления — это такая система, в которой значение цифры не зависит от её места (позиции) в записи числа.

унарная египетская десятичная римская славянская и другие…

Египетская десятичная система

– 1
– 10
– 100

– 1000
– 10000
– 100000

– 1000000

черта

хомут

верёвка

лотос

палец

лягушка

человек

= ?

= 1235

2014 = ?

I – 1 (палец)
V – 5 (раскрытая ладонь)
X – 10 (две ладони)
L – 50
C – 100 (Centum)
D – 500 (Demimille)
M – 1000 (Mille)

Спасская башня Московского Кремля

Правила:

трех

младшая

одна

слева

частично

Примеры:

1000

+ 500

+ 100

– 10

+ 50

– 1

+ 5

2389 = 2000 + 300 + 80 + 9

2389 = M M C C C L X X X I X

M M

CCC

LXXX

IX

= 1644

MCDLXVII =

MMDCXLIV =

MMMCCLXXII =

CMXXVIII =

3768 =

2983 =

1452 =

1999 =

только натуральные числа (дробные? отрицательные?)
для записи больших чисел нужно вводить новые цифры сложно выполнять вычисления

Какое максимальное число можно записать?

?

Славянская система счисления

алфавитная система счисления (непозиционная)

Часы Суздальского Кремля

Определения

Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.

Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр.
Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).
Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.

6 3 7 5

5

70

300

6000

3 2 1 0

разряды

тысячи сотни десятки единицы

= 6·103 + 3·102 + 7·101 + 5·100

развёрнутая форма записи числа

основание

Другие позиционные системы

двоичная восьмеричная шестнадцатеричная и другие…

101102

система счисления

= 124 + 023 + 122 + 121 + 020

4 3 2 1 0

= 22

1458

2 1 0

= 182 + 481 + 580

= 101

N0 = 1

!

12316

2 1 0

= 1162 + 2161 + 3160

= 291

1235

2 1 0

= 152 + 251 + 350

= 38

4567

1022

36512

5788

1729

5214

Что неверно?

?

Позиционные системы счисления

Задача. В некоторой системе счисления число 58 записывается как 46x. Определите основание x этой системы счисления.

46x

1 0

= 4x1 + 6x0

4x + 6 = 58

4x = 52

x = 13

= 4x + 6

Переведём 46x в десятичную систему:

Системы счисления

§ 2. Двоичная система счисления

Двоичная система счисления

Основание (количество цифр): 2
Алфавит: 0, 1

длинная запись чисел: 1024 = 100000000002
запись однородна (только 0 и 1)

нужны только устройства с двумя состояниями
компьютеру проще выполнять вычисления (умножение сводится сложению и т.п.)

Перевод в десятичную систему

2  10

100112

4 3 2 1 0

разряды

= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19

10  2

Выделение степеней числа 2:

21 = 16 + 5

21 = 124 + 023 + 122 + 021 + 120

= 16 + 4 + 1

24

24

22

20

= 101012

1

0

0

1

1

Выделение степеней числа 2

210	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20
1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

10  2

77

77 =

64 + 13

8 + 5

4 + 1

1

1

1

1

77 = 10011012

0

0

0

Другой способ

10  2

19

2

9

18

1

2

4

8

1

2

2

4

0

2

1

2

0

2

0

0

1

19 = 100112

Какое определить, что число чётное?

?

10

7 8 9
+ 5 6 7

6

5

3

1

1

1

1

Когда перенос?

?

2

Перенос, когда > 1!

!

1 0 1 1 02
+ 1 1 1 0 1 12

1

1

0

0

1

0

1

1

0

2

1

1

1

1 + 1 = 2 = 102

1 + 1 + 1 = 3 = 112

1011012
+ 111112

101112
+1011102

1110112
+ 100112

1110112
+ 110112

10

1 0 2 1
– 5 6 7

4

5

4

9





0

Когда берем заём? Чему он равен?

?

2

Заём равен 2!

!

1

0

+10

+10

1 0 0 0 1 0 12
– 1 1 0 1 12

0

2

1





1

0

0

1

0

0

+2

0

1

1

+2

1011012
– 111112

110112
–1101012

1101012
– 110112

1100112
– 101012

Системы счисления

§ 3. Восьмеричная система счисления

Основание: 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Что неправильно?

?

32758 69868
54828 3198

Из восьмеричной в десятичную

8  10

1448

2 1 0

разряды

= 1·82 + 4·81 + 4·80
= 64 + 32 + 4 = 100

Переведите:

128 =
578 =
648 =
778 =

На что делится?

?

1208
57008

10  8

100

8

12

96

4

8

1

8

4

8

0

0

1

100 = 1448

Переведите:

31=
91=

126 =
172 =

1112

1012

0112

7538 = 7 82 + 581 + 380

= 7 26 + 523 + 320

7538 = (1 22 + 1 21 + 1 20)  26 +
(1 22 + 0 21 + 1 20)  23 +
(0 22 + 1 21 + 1 20)  20

7538 = 1 28 + 1 27 + 1 26 +
1 25 + 0 24 + 1 23 +
0 22 + 1 21 + 1 20

= 1111010112

8 = 23

Каждая цифра отдельно!

!

8 = 23

Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)!

!

162516 =

1 6 2 5

001

{

{

110

010

1012

{

{

0	1	2	3	4	5	6	7
000	001	010	011	100	101	110	111

Перевод из двоичной в восьмеричную

10010111011112

Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа:

001 001 011 101 1112

Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой:

1

3

5

7

Ответ: 10010111011112 = 113578

001 001 011 101 1112

1

Переведите в двоичную систему:

3758 =
52468 =

Переведите в восьмеричную систему:

10100112 =
101011002 =

Сжатая запись двоичных кодов

3

6

1368

Запишите в сжатой форме:

PDP-11, ДВК, СМ ЭВМ, БЭСМ, БК

1

Сложение

сложение

1 5 68
+ 6 6 28

1

1

6 + 2 = 8 = 8 + 0
5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0

1

1 в перенос

1 в перенос

1

08

0

4

1 в перенос

Вычитание

вычитание

4 5 68
– 2 7 78



(6 + 8) – 7 = 7
(5 – 1 + 8) – 7 = 5
(4 – 1) – 2 = 1



заём

78

1

5

заём

Выполните сложение и вычитание

1 5 68
6 6 28

–

1 1 5 68
6 6 28

–

3 5 38
+ 7 3 68

1 3 5 38
+ 7 7 78

Системы счисления

§ 4. Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система

Основание: 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

A, 10

B, 11

C, 12

D, 13

E, 14

F 15

Что неправильно?

?

34AF516 5BG616
9FF6116 ADH2316

Перевод в шестнадцатеричную систему

11

10  16

444

16

27

432

12

444 = 1BC16

С

16

1

16

16

0

0

1

B

Переведите:

31=
91=

126 =
172 =

Перевод из шестнадцатеричной системы

16  10

1BC16

2 1 0

разряды

= 1·162 + 11·161 + 12·160
= 256 + 176 + 12 = 444

B

C

Переведите:

1216 =
5A16 =
B916 =
AB16 =

На что делится?

?

12016
570016

16 = 24

Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных (тетрада)!

!

7F1A16 =

7 F(15) 1 A(10)

0111

{

{

1111

0001

10102

{

{

0	1	2	3	4	5	6	7
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111

8	9	A(10)	B(11)	C(12)	D(13)	E(14)	F(15)
1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Перевод из двоичной системы

Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:

0001 0010 1110 11112

Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой:

0001 0010 1110 11112

1

2

E

F

Ответ: 10010111011112 = 12EF16

10010111011112

Переведите в двоичную систему:

EA123816 =

Переведите в шестнадцатеричную систему :

111110100112 =

Переведите в восьмеричную систему :

2FA16 =

Переведите в шестнадцатеричную систему :

1658 =

Сложение

сложение

A 5 B16
+ C 7 E16

1

1 6 D 916

10 5 11
+ 12 7 14

11+14=25=16+9
5+7+1=13=D16
10+12=22=16+6

1

1 в перенос

1 в перенос

13

9

6

1

Вычитание

вычитание

С 5 B16
– A 7 E16

заём



1 D D16

12 5 11
– 10 7 14



(11+16)–14=13=D16
(5 – 1)+16 – 7=13=D16
(12 – 1) – 10 = 1

заём

13

1

13

Арифметические действия

1 В А16
– A 5 916

С В А16
+ A 5 916