Программирование. Задание 14. Системы счисления (позиционные). Системы счисления (основные позиционные)

• Название: Системы счисления (основные позиционные)
• Анкор: Программирование
• Дата: 30.12.2022
• Размер: 244.51 Kb.
• Имя файла: Задание 14. Системы счисления (позиционные).pptx
• Тип: Документы; #869262

Задание 14

Позиционные системы счисления.

Повышенный уровень сложности

Рек. время на выполнение – 3 минут

Системы счисления (основные позиционные)

• Двоичная: основание2, состоит из 2 знаков – 0;1.
• Восьмиричная: основание 8, состоит из 8 знаков – 0,1,2,3,4,5,6,7
• Десятичная: основание 10, состоит из 10 знаков – цифры (арабские) от 0 до 9
• Шестнадцатеричная: основание 16, состоит из цифр от 0 до 9 и букв лат.алф. От А до F
• Остальные СС промежуточные, используются только в теоретических задачах(3,4,7,14итд)

Важно знать:

10	2	8	16
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A – 10
11	1011	13	B – 11
12	1100	14	C – 12
13	1101	15	D – 13
14	1110	16	E – 14
15	1111	17	F – 15
16	10000	20	10

Важно знать:

Правила формирования

ряда чисел в позиционных

системах счисления

Перевод чисел в десятичную СС:

1. Посчитать разряды числа справа налево от нуля:

6 5 4 3 2 1 0

11000112- основание системы счисления в которой дано число.

2. Записать число в развернутой форме:

Сносим разряд, умножаем на основание СС возведенное в степень порядкового номера разряда + следующий разряд …… :

11000112 = 1*26 + 1*25 +0*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = =64+32+0+0+0+2+1 = 99

N0=1; N·0=0; N1=N

Важно знать:

Перевод чисел из десятичной СС :

Для перевода из десятичной системы счисления необходимо делить данное число (целочисленное деление в столбик) и полученные новые частные на новое основание, последовательно выделяя остатки до того момента, пока последнее частное не будет равно 1. И начиная с этого частного записать все остатки в обратном порядке.

Важно знать:

10	2	8	16
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A – 10
11	1011	13	B – 11
12	1100	14	C – 12
13	1101	15	D – 13
14	1110	16	E – 14
15	1111	17	F – 15

Выполняя перевод напрямую помни:

• Любой 8-й знак соответствует 3 двоичным – правило тетрад
• Любой 16-й знак соответствует 4 двоичным – правило триад
• Перевод в 10-ю СС и обратно, напрямую невозможен
• Из 16-й СС в 8-ю СС и наоборот, переводим через 2-ю СС

Важно знать:

• Последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием N – это остаток от деления этого числа на N ;
• Две последние цифры это остаток от деления на N2, и тд
• число 2N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:
• число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц: число 2N–2K при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей:

Важно знать:

• для любой системы счисления с основанием a:

число aN в системе счисления с основанием a это единица и N нулей:

• число aN-1 в системе счисления с основанием a это N старших цифр этой системы счисления, то есть, цифр (a-1):
• число aN – aM = aM · (aN-M – 1) в системе счисления с основанием a : N-M старших цифр этой системы счисления, за которыми стоят M нулей:

Демо 2015

Сколько единиц в двоичной записи числа 519?

Решение 1

1000000111

Решение 2

519=512+7, 512 = 29 – это 1 единица и 9 нулей. Число 7 в двоичном представлении содержит 3 единицы.

1+3=4

Решение 3. Python

x = bin(519)

print( x.count( '1' ) )

Ответ: 4

bin -2

oct – 8

dec – 10

hex - 16

Демо 2016

Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 12F016?

Решение 1

12F016 = 1 0010 1111 00002

Ответ: 6

Демо 2017

Сколько существует натуральных чисел x, для которых выполнено

неравенство 110111002 < x < DF16?

В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.

Решение

Перевести число DF16 в двоичную систему счисления

DF16 = 110111112

Числа 110111002 и 110111112 отличаются двумя младшими разрядами.

Между ними только два числа 110111012 и 110111102

Ответ: 2

Демо 2015

Укажите наименьшее четырёхзначное шестнадцатеричное число, двоичная запись которого содержит ровно 6 нулей. В ответе запишите только само шестнадцатеричное число, основание системы счисления указывать не нужно.

Решение

Представим шестнадцатеричное число в двоичной системе счисления.

Найдем минимальное четырёхзначное число, содержащее 6 нулей.

1 0000 0011 11112

Переведем найденное число в шестнадцатеричную систему счисления

103F16

Ответ: 103F

Демо 2015

42014 + 22015 – 8

Решение 1

Приведем все числа к степени 2

42014 + 22015 – 8 = (22)2014 + 22015 - 23 = 24028 + 22015 – 23

Число 22015 – 23 содержит 2015 – 3 = 2012 единиц

Число 24028 содержит ровно 1 единицу

Всего: 2012 + 1 = 2013 единиц

Решение 2

x = bin(4**2014+2**2015-8)

print( x.count( '1' ) )

Ответ: 2013

2016

Сколько единиц в двоичной записи числа (2 × 108)2010 – 42011 + 22012

Решение 1

108 = 8 дес

Приведем все числа к степени 2

162010 – 42011 + 22012 = (24)2010 – (22)2011 + 22012 = 28040 – 24022 + 22012

Число 28040 – 24022 содержит 8040 – 4022 = 4018 единиц

Число 22012 содержит ровно 1 единицу

Всего: 4018 + 1 = 4019 единиц

Решение 2

x = bin((2*int('10',8))**2010-4**2011+2**2012)

print( x.count( '1' ) )

Ответ: 4019

Уравнения

Решите уравнение 608 + x = 1207, Ответ запишите в шестеричной системе счисления.

Решение 1: Переведем все числа в десятичную систему счисления 608 = 48 1207 = 63

Решим уравнение 48 + x = 63 x = 15 1510 = 236

Решение 2: преобразуем выражение: х= 1207 - 608

x = int('120', 7) - int('60', 8)

print('в 10 c.c:', x)

s = ''

while x:

s = str( x%6 ) + s

x //= 6

print( 'Ответ в 6 с.с:', s )

Ответ: 23

Уравнения

Решите уравнение 122x – 12x = 610

Решение 1

122x = 1×(2x)1 + 2×(2x)0 = 2x + 2

12x = 1×x1 + 2×x0 = x + 2

Получим уравнение

2x + 2 – x – 2 = 6

x = 6

Решение 2. Писать программу нет смысла

Ответ: 6

2015. Решение 1

1)т.к. запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 1, то остаток от деления числа 67 на N равен 1, т.е:

Значит основание N- делитель числа 66

2) запись числа содержит 4 цифры:

3) выпишем кубы и четвертые степени первых натуральных чисел, которые являются делителями числа 66:

4) только для числа N = 3 выполняется условие

Ответ: 3

2015. Решение 2

Решение2:

for N in range(2, 101): # подбираем осн. от 2 до 100

x = 67

k = 0 # счетчик цифр (разрядов) N-ичного числа

while x:

d = x % N # очередная цифра (digit)

k += 1

if k == 1: d0 = d # d0 - младшая цифра

x //= N

if d0 == 1 and k == 4:

print( N )

break

Ответ: 15

Демо 2014

Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись десятичного числа 30 имеет ровно три значащих разряда.

Решение

Обозначим основание искомой системы счисления как x.

Тогда

100x ≤ 3010 < 1000x

x2 ≤ 3010 < x3

x = 4 x = 5

Наименьшее основание x = 4

Ответ: 4

Демо 2020

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 48 + 28 – 8?

Решение 1

216 + 28 – 23 – стоят в порядке убывания степеней

8-3+1=6

Решение 2

x = bin(4**8+2**8-8)

print( x.count( '1' ) )

6

Демо 2021

Значение арифметического выражения: 497 + 721 – 7 записали в системе счисления с основанием 7.

Сколько цифр 6 содержится в этой записи?

13

Приведём все числа к степеням «7»: 714 + 721 – 71

расставим степени в порядке убывания: 721 + 714 – 71

Шестерки в разности: 714 – 71, количество:14-1=13

Без символьных строк:

x = 49**7 + 7**21 - 7

count6 = 0

while x:

if x % 7 == 6:

count6 += 1

x //= 7

print( count6 )

С символьными строками:

x = 49**7 + 7**21 - 7

x6 = ''

while x:

x6 = str(x%7) + x6

x //= 7

print(x6.count(‘6') )

Вопрос 14

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Анализируем условие:

• младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на N , а две младших цифры – это остаток от деления на N2 и т.д.

• здесь N=4, остаток от деления числа на N2 должен быть равен 114 = 5

• задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и дают остаток 5 при делении на 16

Вопрос 14. 1 способ

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

1 способ

• Общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16: k·16+5, где k – целое неотрицательное число(0,1,2…)
• Среди ряда чисел нужно выбрать те, что <=25(не превосходят 25); при k=0 это 5, при k=1 это 21

2 способ

1) в четверичной СС 25=1214 , подходящие нам числа не больше 1214

2)Нам нужны числа оканчивающиеся на 11, это 114

и 1114. 114= 5; 1114 =21

Вопрос 14. 2 способ

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?





for i in range(1,31):# перебираем ответы

x = i

x4 = ''

while x > 0:# перевод в 4-ю систему

x4 += str(x%4)

x //=4

x4 = x4[::-1]# разворот числа

if x4[-2:]== "11":

print(i, end=",")

for d in '0', '1': # d - цифра(digit).При d > 1 - выход за 25

# int - переводит из 4-ой в 10-ую систему

print( int( d+'11', 4 ), end = ',' )

3·438+2·428+420+3·45+2·44+1

записали в системе счисления с основанием 16. Сколько значащих нулей содержится в этой записи?

Демо 2022

x = 3*4**38+2*4**23+4**20+3*4**5+2*4**4+1

c0 = 0

while x:

if x % 16 == 0: c0 += 1

x //= 16

print( c0 )

Ответ: 15

ТР 27.10.2021

x = 4**36+3*4**20+4**15+2*4**7+49

d = ''

while x:

d = str((hex(x % 16)[2:]))+d

x //= 16

print( d)

Будет напечатано:1000000030040008031

Ответ: 5