Произведения векторов. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
 Скачать 0.72 Mb.
|
|
СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ СКАЛЯРНОЕ произведение векторов СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ двух ненулевых векторов 𝑎 и 𝑏 - это ЧИСЛО , равное ПРОИЗВЕДЕНИЮ ДЛИН (модулей) этих векторов на КОСИНУС угла между ними. Обозначение скалярного произведения: 𝑎 𝑏, или 𝑎 ∙ 𝑏, или 𝑎 , 𝑏 : где 𝜑 = 𝑎, 𝑏 − угол между векторами 𝑎 и 𝑏. Тогда формуле скалярного произведения можно придать другой вид : 𝑎 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 , 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑏 𝑎 𝜑 Вспомним, что: 𝑎 ∙ cos 𝜑 = 𝑏 ∙ cos 𝜑 = пр 𝑏 𝑎; пр 𝑎 𝑏; 𝑎 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 , 𝑏 = 𝑎 ∙ пр 𝑎 𝑏 = 𝑏 ∙ пр 𝑏 𝑎 Свойства скалярного произведения 4. СКАЛЯРНЫЙ КВАДРАТ вектора( то есть скалярное произведение вектора на себя) равен КВАДРАТУ его ДЛИНЫ ( МОДУЛЯ ) : 1. При ПЕРЕСТАНОВКЕ МНОЖИТЕЛЕЙ скалярное произведение НЕ ИЗМЕНЯЕТСЯ : 𝑎 , 𝑏 = 𝑏 , 𝑎 2. ЧИСЛО МОЖНО ВЫНОСИТЬ за скалярное произведение : 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 𝜆𝑎 , 𝑏 = 𝜆 𝑎 , 𝑏 3. При скалярном умножении вектора на сумму векторов МОЖНО РАСКРЫТЬ СКОБКИ : 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 ЗАМЕЧАНИЕ : поэтому если вектор 𝑎 возвести СКАЛЯРНО в квадрат и затем извлечь КОРЕНЬ, то получим НЕ первоначальный ВЕКТОР, а его МОДУЛЬ : 𝑎 2 = 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ cos 0 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 1 = 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 2 𝑎 2 = 𝑎 5. Критерий ортогональности векторов Пусть вектора 𝑎 и 𝑏 ортогональны ( то есть взаимно перпендикулярны ), тогда угол между ними 𝜑 = 𝑎, 𝑏 = Если известно, что 𝑎 , 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 0 и 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, то 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 0 , ВОПРОС: чему равно скалярное произведение координатных ортов: НЕНУЛЕВЫЕ векторы 𝑎 и 𝑏 ОРТОГОНАЛЬНЫ (ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ) тогда и только тогда, когда их СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНО НУЛЮ : При 𝑎 ⊥ 𝑏 угол между ними равен 𝜋 2 𝑎 ⊥ 𝑏 ⇔ 𝑎 , 𝑏 = 0 𝜋 2 ; cos 𝜑 = cos 𝜋 2 = 0, поэтому ⇒ ⇐ 𝑎 , 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos 𝜋 2 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 0 = 0. 𝜑 = 𝑎, 𝑏 = 𝜋 2 , то есть вектора 𝑎 и 𝑏 ортогональны : откуда следует 𝑎 ⊥ 𝑏. 𝑖, 𝑗 = 𝑗, 𝑘 = 𝑖, 𝑘 = Выражение скалярного произведения через координаты Пусть заданы два вектора : 𝑎 = 𝑎 𝑥 , 𝑎 𝑦 , 𝑎 𝑧 ; 𝑏 = 𝑏 𝑥 , 𝑏 𝑦 , 𝑏 𝑧 ПРИМЕР. Составим вектора, лежащие на диагоналях данного четырехугольника: Найдем скалярное произведение этих векторов: По свойству 5 это значит, что 𝑎 , 𝑏 = 𝑎 𝑥 ∙ 𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 ∙ 𝑏 𝑦 + 𝑎 𝑧 ∙ 𝑏 𝑧 Тогда их СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ равно СУММЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ их ОДНОИМЕННЫХ (или , другими словами, СООТВЕТСВУЮЩИХ ) КООРДИНАТ: 𝐴𝐵𝐶𝐷 − четырехугольник; заданы координаты точек-вершин : 𝐴 −4, −4, 4 , 𝐵 −3, 2, 2 , 𝐶 2, 5, 1 , 𝐷 3, −2, 2 . Доказать, что диагонали четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 взаимно перпендикулярны (ортогональны). РЕШЕНИЕ: 𝐵 𝐴 𝐷 𝐶 −3, 2, 2 2, 5, 1 3, −2, 2 −4, −4, 4 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = 𝐴𝐶 , 𝐵𝐷 = = 36 − 36 + 0 = 0; ортогональны, чтд. 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷 6, 9, −3 ; 2 + 4, 5 + 4, −3 = 2 − −4 , 5 − −4 , 1 − 4 = 6, −4, 0 ; 3 + 3, −4, 0 = 3 − −3 , −2 − 2, 2 − 2 = 6 ∙ 6 + 9 ∙ −4 + −3 ∙ 0 = Приложения скалярного произведения Угол между векторами Из формулы для скалярного произведения можно выразить косинус угла между ненулевыми векторами 𝑎 = 𝑎 𝑥 , 𝑎 𝑦 , 𝑎 𝑧 и 𝑏 = 𝑏 𝑥 , 𝑏 𝑦 , 𝑏 𝑧 : то есть cos 𝜑 = Проекция вектора на заданное направление пр 𝑏 𝑎 = 𝑎 , 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos 𝜑 ; cos 𝜑 = 𝑎 , 𝑏 𝑎 ∙ 𝑏 , 𝑎 𝑥 ∙ 𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 ∙ 𝑏 𝑦 + 𝑎 𝑧 ∙ 𝑏 𝑧 𝑎 𝑥 2 + 𝑎 𝑦 2 + 𝑎 𝑧 2 ∙ 𝑏 𝑥 2 + 𝑏 𝑦 2 + 𝑏 𝑧 2 ; 𝑎 , 𝑏 𝑏 = 𝑎 𝑥 ∙ 𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 ∙ 𝑏 𝑦 + 𝑎 𝑧 ∙ 𝑏 𝑧 𝑏 𝑥 2 + 𝑏 𝑦 2 + 𝑏 𝑧 2 ; Так как 𝑎 , 𝑏 = 𝑏 ∙ пр 𝑏 𝑎, то Работа постоянной силы Пусть точка перемещается из положения 𝐵 в положение 𝐶 под действием постоянной силы 𝐹 , образующей угол 𝜑 с перемещением 𝐵𝐶 = 𝑆 Из физики известно, что работа силы 𝐹 при перемещении 𝑆 равна 𝐴 = 𝐹 ∙ 𝑆 ∙ cos 𝜑, то есть 𝐴 = 𝐹 , 𝑆 Таким образом, РАБОТА постоянной силы при перемещении точки равна СКАЛЯРНОМУ ПРОИЗВЕДЕНИЮ вектора силы 𝐹 на вектор перемещения 𝑆 𝜑 𝐹 𝑆 𝐵 𝐶 ПРИМЕР . Вычислить работу, произведенную силой 𝐹 = 3; 2; 4 , если точка перемещается из положения B = 2; 4; 6 в положение C = 4; 2; 7 . Под каким углом к 𝐵𝐶 направлена сила 𝐹 ? РЕШЕНИЕ : Находим 𝑆 = 𝐵𝐶 = 4 − 2; 2 − 4; 7 − 6 = 2; −2; 1 ; Работа силы вычисляется как скалярное произведение , значит : 𝐴 = 𝐹 , 𝑆 = = 3 ∙ 2 + 2 ∙ −2 + 4 ∙ 1 = 6 − 4 + 4 = 6 Угол между векторами находим по формуле : cos 𝜑 = cos 𝜑 = = 𝜑 𝐹 𝑆 𝐵 𝐶 𝐹 , 𝑆 𝐹 ∙ 𝑆 6 3 2 + 2 2 + 4 2 ∙ 2 2 + −2 2 + 1 2 = 6 9 + 4 + 16 ∙ 4 + 4 + 1 = 6 29 ∙ 9 = 6 29 ∙ 3 = 2 29 ; 𝜑 = arccos 2 29 ; Правая и левая тройка векторов Три некомпланарных вектора 𝑎, 𝑏 и 𝑐, взятые в указанном порядке, образуют ПРАВУЮ ТРОЙКУ, если с конца третьего вектора 𝑐 кратчайший поворот от первого вектора 𝑎 ко второму вектору 𝑏 виден ПРОТИВ ЧАСОВОЙ стрелки: Если же с конца третьего вектора 𝑐 кратчайший поворот от первого вектора 𝑎 ко второму вектору 𝑏 виден ПО ЧАСОВОЙ стрелке, то тройка векторов считается ЛЕВОЙ ВОПРОС : БАЗИСНЫЕ ОРТЫ 𝑖, 𝑗, 𝑘 являются ЛЕВОЙ или ПРАВОЙ тройкой? ОТВЕТ: ПРАВАЯ тройка. 𝑏 𝑎 𝑐 𝑘 𝑗 𝑖 𝑏 𝑎 𝑐 ПРАВАЯ ТРОЙКА ЛЕВАЯ ТРОЙКА ВЕКТОРНОЕ произведение векторов ВЕКТОРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ двух ненулевых векторов 𝑎 и 𝑏 называется ВЕКТОР 𝑐, который : 1. ортогонален векторам 𝑎 и 𝑏: 𝑐 ⊥ 𝑎 , 𝑐 ⊥ 𝑏 ; Обозначение векторного произведения : 𝑏 𝑎 𝑐 𝜑 𝑐 = 𝑎, 𝑏 = 𝑎 × 𝑏 3. векторы 𝑎, 𝑏 и 𝑐 образуют ПРАВУЮ тройку. 2. имеет длину (модуль), равную числу 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ sin 𝜑 , где 𝜑 = 𝑎, 𝑏 − угол между векторами 𝑎 и 𝑏; Можно убедиться, что между базисными ортами 𝑖, 𝑗, 𝑘 верны соотношения : 𝑘 𝑗 𝑖 Проверим, например, первое равенство 𝑖, 𝑗 = 𝑘 : 𝑖, 𝑗 = 𝑘; 𝑗, 𝑘 = 𝑖; 𝑘, 𝑖 = 𝑗; 1. 𝑘 ортогонален векторам 𝑖 и 𝑗: 𝑘 ⊥ 𝑖 , 𝑘 ⊥ 𝑗 ; 3. векторы 𝑖, 𝑗, 𝑘 образуют ПРАВУЮ тройку. 2. 𝑘 = 𝑖 ∙ 𝑗 ∙ sin 𝜋 2 = 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1; ЗАДАНИЕ: Второе и третье равенство проверить дома. Свойства векторного произведения 3. При перестановке множителей векторное произведение МЕНЯЕТ ЗНАК на противоположный : 1. Постоянное число можно вносить и выносить за скобки векторного произведения : 2. При векторном умножении суммы векторов на вектор можно раскрыть скобки : 𝑎, 𝑏 = − 𝑏, 𝑎 𝜆 ∙ 𝑎, 𝑏 = 𝑎, 𝜆 ∙ 𝑏 = 𝜆 ∙ 𝑎, 𝑏 𝑎 + 𝑏, 𝑐 = 𝑎, 𝑐 + 𝑏, 𝑐 ; Геометрический смысл векторного произведения Длина (МОДУЛЬ ) 𝑐 векторного произведения 𝑐 = 𝑎, 𝑏 численно равна ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, построенного на векторах 𝑎 и 𝑏 как на сторонах: Так как площадь треугольника равна ПОЛОВИНЕ площади параллелограмма, то 𝑏 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 𝑐 𝑆пар = 𝑎, 𝑏 𝑆треуг = 1 2 ∙ 𝑎, 𝑏 Критерий коллинеарности Два ненулевых вектора 𝑎 и 𝑏 КОЛЛИНЕАРНЫ тогда и только тогда, когда их ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ равно НУЛЕВОМУ вектору: Действительно, если 𝑎 ∥ 𝑏 ,то угол между ними равен 0 или 𝜋 = 180°. Так как sin 0 = 0 и sin 𝜋 = 0 , то длина векторного произведения 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ sin 𝜑 = 0, что соответствует НУЛЕВОМУ вектору. Если же 𝑐 = 𝑎, 𝑏 = 0, то 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ sin 𝜑 = 0, и так как вектора 𝑎 и 𝑏 ненулевые, то 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0; значит sin 𝜑 = 0, то есть 𝜑 = 0 или 𝜑 = 𝜋 = 180°, и 𝑎 ∥ 𝑏 . ВОПРОС: Чему равен ВЕКТОРНЫЙ КВАДРАТ вектора 𝑎, 𝑎 ? ОТВЕТ: ВЕКТОРНЫЙ КВАДРАТ любого вектора 𝑎, 𝑎 = 0, так как любой вектор КОЛЛИНЕАРЕН самому себе. 𝑎 ∥ 𝑏 ⇔ 𝑎, 𝑏 = 0 ⇒ ⇐ Выражение векторного произведения через координаты Пусть заданы два вектора : 𝑎 = 𝑎 𝑥 , 𝑎 𝑦 , 𝑎 𝑧 ; 𝑏 = 𝑏 𝑥 , 𝑏 𝑦 , 𝑏 𝑧 Вектор 𝑐 = 𝑎, 𝑏 имеет координаты: Для запоминания этой формулы удобно использовать символ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ третьего порядка: В первой строке символического определителя стоят базисные орты 𝑖, 𝑗, 𝑘. Во второй строке - координаты первого вектора 𝑎 = 𝑎 𝑥 , 𝑎 𝑦 , 𝑎 𝑧 ; В третьей строке - координаты второго вектора 𝑏 = 𝑏 𝑥 , 𝑏 𝑦 , 𝑏 𝑧 Используя разложение определителя по элементам ПЕРВОЙ строки, получим: 𝑐 = 𝑎, 𝑏 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑏 𝑥 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 𝑐 = 𝑎 𝑦 ∙ 𝑏 𝑧 − 𝑎 𝑧 ∙ 𝑏 𝑦 ; 𝑎 𝑧 ∙ 𝑏 𝑥 − 𝑎 𝑥 ∙ 𝑏 𝑧 ; 𝑎 𝑥 ∙ 𝑏 𝑦 − 𝑎 𝑦 ∙ 𝑏 𝑥 𝑎, 𝑏 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑏 𝑥 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 = = 𝑖 ∙ −1 1+1 ∙ 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 + 𝑗 ∙ −1 1+2 ∙ 𝑎 𝑥 𝑎 𝑧 𝑏 𝑥 𝑏 𝑧 + 𝑘 ∙ −1 1+3 ∙ 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 𝑏 𝑦 ; СМЕШАННОЕ (ВЕКТОРНО -СКАЛЯРНОЕ)произведение векторов Составим произведение ТРЕХ векторов 𝑎, 𝑏 и 𝑐 таким образом: первые ДВА умножаются ВЕКТОРНО : 𝑎, 𝑏 = 𝑑, а их результат умножается на ТРЕТИЙ вектор скалярно: 𝑑 , 𝑐 : Смешанное произведение НЕ МЕНЯЕТСЯ при перемене мест знаков векторного и скалярного умножения : ВОПРОС: Смешанное произведение является ВЕКТОРОМ ИЛИ ЧИСЛОМ ? 𝑎, 𝑏 , 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 = 𝑎, 𝑏 , 𝑐 = 𝑎 , 𝑏, 𝑐 Смешанное произведение является ЧИСЛОМ 𝑑 𝑏 𝑎 𝑐 Геометрический смысл СМЕШАННОГО произведения Если построить ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД на векторах 𝑎, 𝑏 и 𝑐, то СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ этих векторов 𝑎 𝑏 𝑐 равно ОБЪЕМУ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА 𝑉, взятому со знаком « ПЛЮС », если эти векторы образуют ПРАВУЮ тройку. Если тройка векторов 𝑎, 𝑏 и 𝑐 ЛЕВАЯ , то СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ этих векторов 𝑎 𝑏 𝑐 равно ОБЪЕМУ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА, взятому со знаком « МИНУС »: −𝑉. 𝑏 𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 = ± 𝑉 Критерий КОМПЛАНАРНОСТИ трех векторов ТРИ ненулевых вектора 𝑎, 𝑏 и 𝑐 КОМПЛАНАРНЫ тогда и только тогда, когда их СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНО НУЛЮ : Теперь пусть 𝑎 𝑏 𝑐 = 0; если они НЕ компланарны, то можно построить параллелепипед с объемом 𝑉 ≠ 0. Но так как 𝑎 𝑏 𝑐 = ± 𝑉, то получим 𝑎 𝑏 𝑐 ≠ 0, что противоречит условию. Значит, предположение о том, что векторы 𝑎, 𝑏 и 𝑐 НЕ компланарны, ОШИБОЧНО , и 𝑎, 𝑏 и 𝑐 КОМПЛАНАРНЫ. ⇔ 𝑎 𝑏 𝑐 = 0 𝑎, 𝑏 и 𝑐 КОМПЛАНАРНЫ ⇐ 𝑏 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 𝑐 Пусть дано, что 𝑎, 𝑏 и 𝑐 КОМПЛАНАРНЫ, то есть параллельны одной плоскости. Тогда вектор 𝑑 = 𝑎, 𝑏 будет ортогонален этой плоскости и составит с третьим вектором 𝑐 прямой угол . Скалярное призведение таких векторов равно нулю 𝑑 , 𝑐 = 0, то есть 𝑎 𝑏 𝑐 = 0. ⇒ 𝑑 𝑏 𝑎 𝑐 Выражение смешанного произведения через координаты Пусть заданы три вектора : 𝑎 = 𝑎 𝑥 , 𝑎 𝑦 , 𝑎 𝑧 ; 𝑏 = 𝑏 𝑥 , 𝑏 𝑦 , 𝑏 𝑧 , 𝑐 = 𝑐 𝑥 , 𝑐 𝑦 , 𝑐 𝑧 ; Если найти их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений, то получим формулу: Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из КООРДИНАТ умножаемых векторов. 𝑎 𝑏 𝑐 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑏 𝑥 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 𝑐 𝑥 𝑐 𝑦 𝑐 𝑧 𝑉пир = 1 3 ∙ 𝑆 ∆ ∙ ℎ 𝑉 = 𝑆 ∙ ℎ 𝑆 ∆ = 1 2 𝑆 𝑉пир = 1 6 ∙ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑉пир = 1 3 ∙ 1 2 𝑆 ∙ ℎ = 1 6 𝑉; 𝑉 = 𝑎 𝑏 𝑐 1 6 𝑆 ∙ ℎ = 𝑏 𝑎 𝑐 Приложения смешанного произведения Вычисление объема треугольной пирамиды (тетраэдра) ВОПРОС: Зачем нужен знак модуля у смешанного произведения? ОТВЕТ: Смешанное произведение левой тройки векторов - число отрицательное, а объем тела (пирамиды) не может быть меньше нуля, поэтому требуется знак модуля. |